《工程电磁场原理》课程讲稿(有限元)

1、二维静态电磁场的有限元方法(FEM)简介静电场： 特定条件才有解析解稳恒磁场： 特定条件才有解析解，不适合工程应用。第一节 加权余量法(Weighted Residual Method)-伽辽金法（Galerikin Mehtod）一 加权余量法(Weighted Residual Method) 有一边值问题方程： 算符，对函数u的运算，f是已知函数，求解u。为了求解u，有一系列线性无关函数u1,u2,ui，也叫基（序列）函数。 取前m项近似求u-即u的线性组合。 （当m, ）则余量差（误差）： 精确解：R=0;但是，如果在误差允许范围内，满足需要即可。满足强制余量的加权（weight）积分

2、为零: Wi叫权函数序列，亦线性无关。二 伽辽金法（Galerikin Mehtod）-最常用方法若取权函数与基函数相等， 这种方法叫做伽辽金方程（Galerikin Mehtod）加权余量方法。第二节 有限元方法的基本思想1有限元方法的基本思想首先，将一个闭合场域进行有限元剖分，也就是把一个闭合场域划分为N个微小的有限单元（简称有限元或单元），即其次，在每个单元上构造插值函数逼近真解，将待求函数用各单元上的表示为在单元上，进一步地将用插值函数和节点待求函数值表示为其中，i为单元上节点序号，r为单元的总的节点数。第三，求各个单元上的加权余量方程，并将各个单元上的加权余量方程相加获得代数方程组（

3、或将每个单元插值合成的总插值函数代泛定方程的等价泛函并求极值获得代数方程组）。第四，求解代数方程组即得场域中的各节点函数值，从而完成函数的数值求解。进一步求解其他相关问题。下面，对二维静态电磁场的有限元方法进行介绍。第三节 单元剖分与插值函数1单元剖分在单元剖分过程中，一般应该遵守如下几条规则：（1）场域是一个封闭区域（对于开区域问题，需特殊处理）；（2）单元不能跨越边界或介质交界；（3）单元上的点不能落在相邻单元的边或面上，只能与相邻单元的点重合；（4）各个单元不能共交；（5）全部单元应充满整个场域。图1电机的单元剖分图。图1 电机定子与转子结构2单纯形单元（1）一维空间设是一维空间待求的解

4、函数，和分别为一维问题中场域的边界点。首先，将场域剖分为如图2所示的N个线段形的单元（e=1, 2, , N），即这些线段形单元的长短可以不同，在一维空间中，最简单的单元形状是线段，因此线段又被称为一维空间中的单纯形。在每个单元上构造插值函数，并用单元两个端点和上的节点函数插值和来逼近单元上的解，即 在上图2 一维场域的单元剖分和线性逼近其次，将所有单元上的近似解合成，构成整个场域的近似解，即 在上可以看出，在有限元方法中一个重要的问题就是插值函数的选取。通常将插值函数选为x的函数，即 在上其中称为单元上节点i的插值函数。因此在单元上近似解可以表示为 在上显然，在各单元之间的节点上应该是连续的

5、。从上式可以推断出，插值函数应该具有下面的特性，当时，时，（2）二维空间设是二维问题中场域上的解函数，场域的边界为。首先，将场域剖分为如图3所示的N个三角形的单元（e=1, 2, , N），即图3 二维场域的单元剖分和线性逼近这些单元的形状可以是多样的，既可以是三角形也可以是四边形或其他形状等。在二维空间中，最简单的单元形状是三角形，因此三角形又被称为二维空间中的单纯形（三维空间的单纯形为四面体）。本讲义只讨论单元为三角形的情况。将三角形单元上的三个节点函数值选为待求变量，则在单元上解函数可以被三个节点函数插值表示为 在上其中i, j, k分别单元上的三个节点编号，称为三角形单元上节点i的插值

6、函数。其次，将各个单元上的近似解合成在一起，即得场域上的近似解函数为 在上显然，和在各单元之间的节点上应该是连续的。如以标示三角形单元上节点的坐标，由单元上的近似式，推得当时， ，当时，当时，而在单元分析时，一个关键的问题是插值函数的选取及相应的计算公式。下面，分节进行详细讨论。3插值函数以上讨论中引入的插值函数又常被称为形状函数，即称为单元上节点的形状函数。由以上讨论知，它具有如下性质不妨设，即，为单元上的节点总数，则有（归一化特性）（1）一维空间在一维空间上，一个线段构成一维空间的单纯形。设单元落在区间，如图4所示。图4 一维形状函数显然，有写成矩阵形式有由此，可以求出形状函数和。易知显然

7、，上述行列式就是线段单元的长度，即进一步，得显然，形状函数就是与相应节点线段的长度之比。当时， ，当时， ，在有限元方法中，常常用到如下形状函数的积分运算，即为计算该积分方便，考虑如下问题。由于，且，这就形成了与的线性变换。而可以被线性表示，即。显然对于的积分不如对的积分具有普遍性，因为后者的积分的上下限分别为0和1。其微元变换为当时，；当时，。因此，有为计算上式积分，讨论如下典型积分所以利用上述公式，得（2）二维空间在二维空间上，三角形构成单纯形。设单元落在图5所示的三角形上。则有图5 二维形状函数上式即确定了单元上的三个形状函数，即、和。为求形状函数方便，将上述方程组写为矩阵形式，有为使行

8、列式取正值，本讲义设三角形的三个节点编号1、2、3依次按逆时针顺序编号。其行列式为可见，上式行列式为单纯形单元面积的两倍。下面，求形状函数得从上式可见，单元上各节点的形状函数为该节点对应的三角形面积与单元三角形面积之比。故形状函数又称为面积坐标，又由于它在0到1的区间内取值，也称为自然坐标。今后，为编制程序方便，将节点1 置换为，将节点2置换为，将节点3置换为，则可以求出单元上节点的形状函数为 最后一项三角形剖分式中其中，下标按模3相加。在有限元方法中，常常用到以下积分计算，即为计算积分方便，将坐标系变换到坐标系，如图6所示。因为，所以，其微元变换为（雅可比变换-Jacobi Transfor

9、mation）图6 二维坐标变换积分计算如下所以，得第四节 单元分析与单元合成1二维静态电磁场的泊松方程现在，对如下泊松方程边值问题进行有限元分析，即 对于静电场问题，为标量电位，为介电常数，为自由电荷体密度。其边值问题为对于恒定磁场问题，为矢量磁位的z轴分量A，为磁阻率，为自由电流密度。其边值问题为 2单元分析首先，选择单元上的每个节点的形状函数Nie为权函数ui（Galerkin Method），这里 , ,fj为待定常数。然后在单元上对泊松方程进行加权积分，将泊松方程在场域内任意一点满足放松为在单元的加权积分下满足。例如对于单元上的节点i而言，代入Galerikin 方程 又由格林定理（

10、Green Theorem）(p333,13) 做替换， 并代入 将上式整理为 在单元上，将待解函数用单元上的节点形状函数和节点待解函数值近似为（加权将上式代入前面的方程，得 ， i=1，2，3（三角形三个顶点）上式被称为单元上的有限元方程。3单元合成在上述单元有限元方程中，可以看出存在一个单元边界积分项，即 显然，单元的边界无外乎下列三种情况。（1）为单元与其他单元的交界面。此时可以看出，上述恰为静电场边界条件和恒定磁场边界条件中的相关项，又考虑到相邻两个单元交界面的法线方向相反，因此，如果将两个相邻单元的有限元方程相加，并利用边界条件，可知相邻单元的边界积分将相互抵消，即不出现在相加后的两

11、个有限元方程中。以此类推，将所有单元的有限元方程相加，则在有限元方程中仅仅剩下场域外边界上的边界积分。（2）单元边界落在第二类边界上。此时有由于在第二类边界上给定，为已知量，直接进行积分即可。为记述方便，引入如下符号 i, j=1,2,3可以看出(互易reciprocal)。单元上的有限元方程就可以写为如写成矩阵方程为由于，所以上述有限元方程的矩阵为对称矩阵。可以看出，上述讨论主要是围绕单元进行的，所以我们又将这个过程称为单元分析过程。将全部单元的有限元方程进行合成，得总的有限元方程为将单元求和与节点求和进行换序，并整理得 i, j=1,2,3上式给出的有限元方程可以简写为或写为矩阵形式其中由

12、于，所以，即S为对称矩阵。（3）单元边界落在第一类边界上, 若第k个点是第一类边界条件的结点，。此时为未知量，需做特殊处理. 总系数矩阵S和右端列向量G，F做如下处理：(i) 令;(ii) 余量做替换 (i=1,2,3n)。(iii) ;(iv)具体实施方法：在有限元方程中，对应于第一类边界的边界积分为未知量，需做特殊处理。由于它是未知的，因此第一类边界上节点对应的有限元方程的右端项中也是未知的。此时，这个节点对应的方程可以用该节点给定的值来替代，即。在有限元计算程序中，通常采用如下的强加方法处理。设原有限元方程为改为其中，m为一个确保（可以忽略其它项）远远大于矩阵元素的整数，以确保方程求解后

13、使得（第i个方程变为。这种方法被称为第一类边界条件强加方法。对所有边界点进行强加处理后，再代入已完成的矩阵方程，即可进行求解。可以看出，上述矩阵和列向量中的各个元素是在总矩阵和总列向量中通过各个单元上节点对应的元素叠加获得的。所以，上式叠加过程又被称为单元合成过程。为了清楚计算过程，结合图7对单元合成时的有限元方程的形成过程进行讨论。单元、和的单元方程矩阵方程和在单元合成后在总矩阵方程的位置分别如下。图7 单元和节点编号（55 matrices）单元： 单元： 单元： 三个单元合成后总的矩阵方程为推广到n个节点(n/3)个三角形网格5二维静态电磁场的单元分析现在，以二维空间为例作进一步的讨论。选三角形单元为剖分（meshing）单元，则形状函数/权函数为单元矩阵的元素计算公式为 单元矩阵方程的右端列向量为按(i-1,i,i+1)次序综上，得（1）二维静电场有限元方程。对于静电场问题，。其有限元方程为 求解上式方程即得各个节点电位。各个单元上的电场强度为 （2）二维恒定磁场有限元方程。对于静电场问，。其有限元方程为 求解上式方程即得各个节点的矢量磁位的纵向分