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文档简介

1、 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多 于一个的情形 : 要找函数 u = f ( x , y , z , t 在条件 ( x , y, z , t = 0 , (x , y, z , t = 0 下的极值 , 先构造函数 F(x , y, z , t = f ( x , y , z , t + ( x , y , z , t + µ ( x , y , z , t , 其中 , µ 均为常数 , 可由偏导数为零及条件解出 x , y , z , t , 即得极值点的坐标 . 例6 将正数 12 分成三个正数 x , y , z 之和使得 u = x3 y2z 为最

2、大 . 解 令 F ( x , y , z = x 3 y 2 z + ( x + y + z 12 则 Fx = 3 x 2 y 2 z + = 0 3 Fy = 2 x yz + = 0 Fz = x 3 y 2 + = 0 x + y + z = 12 解得唯一驻点 (6 , 4 , 2 , 故最大值为 umax = 63 42 2 = 6912 . 某工厂的Cobb Douglas生产函数是 例7 某工厂的 生产函数是 f ( x , y = 100 x y , 表示劳动力的数量 表示资本数量 其中 x 表示劳动力的数量 , y 表示资本数量 , 函数值表 示生产量 , 当每个劳动力与

3、每单位资本的成本分别是 150元及 元及250元时。该工厂的总预算是 元时。 元及 元时 该工厂的总预算是50000元。问如 元 何分配这笔资金用于雇用劳动力及投入资本 , 使生产 量最高? 量最高 解 这是个条件极值问题 , 求在条件 3 4 1 4 150 x + 250 y = 50000 , 的最大值。 下, 函数 f ( x , y = 100 x y 的最大值。令 3 4 1 4 F ( x , y = 100 x y + (50000 150 x 250 y , 1 1 F = 75 x 4 y 4 150 = 0 x 3 3 F = 25 x 4 y 4 250 = 0 y 50000 150 x 250 y = 0 即雇用250个劳力 其余部分作 个劳力, 个劳力 解得 x

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