第五节：空间曲线及其方程ppt课件

1、第五节第五节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结四、小结 练习题练习题 0),(0),(zyxGzyxF称为空间曲线的一般方程称为空间曲线的一般方程 曲线上的点都同时曲线上的点都同时满足两个方程，同时满足满足两个方程，同时满足两个方程的点都在曲线上，两个方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时不在曲线上的点不能同时满足两个方程满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：一、

2、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程xyzoL),(zyxM 若动点若动点 M 的坐标

3、的坐标 x , y , z 均可均可表示为参数表示为参数 t 的函数的函数动点从动点从A点出发，经过点出发，经过 t 时间，时间，运动到运动到M点，设点，设 M ( x , y , z ) MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzoA螺旋线的参数方程变为螺旋线的参数方程变为 bzayaxsincos vbt ,令令重要性质：重要性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 时时

4、当当 ,costax ,sintay vtz 上升高度为上升高度为 ： b解：解：,cos x)26(31yxz 例例2：将曲线：将曲线 6321:22yzxyxL表示为参数方程形式表示为参数方程形式xyzo 如图，曲线为一圆柱面如图，曲线为一圆柱面与一平面的交线。与一平面的交线。 M),(zyx M )0 ,(yx,sin y)sincos26(31 sin31cos322sincos:zyxL 20 0),(0),(zyxGzyxFL消去变量消去变量z后得：后得：）（10),( yxH曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线以此空

5、间曲线 L 为准线，母线垂直于所投影的坐标面为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影方程方程1表示一个母线平行于表示一个母线平行于 z 轴的柱面。轴的柱面。且曲线且曲线 L 上的所有点都在该柱面上。上的所有点都在该柱面上。投影柱面与投影柱面与 xoy 面的交线称为曲线面的交线称为曲线 L 在在 xoy 面上的面上的投影曲线，简称投影。投影曲线，简称投影。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线,yoz面

6、上的投影曲线面上的投影曲线,xoz 00),(zyxH所以空间曲线所以空间曲线 L 在在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 0),(0),(zyxGzyxFL消去变量消去变量z后得：后得：）（10),( yxH曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面（2确定投影柱面与确定投影柱面与 xoy 面的交线面的交线 00),(zyxH在在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤面上的投影曲线方程的一般步骤 0),(0),(zyxGzyxFL（1消

7、去变量消去变量z后得后得 xoy 面上的投影柱面：面上的投影柱面：）（10),( yxH求空间曲线：求空间曲线：即为所求投影曲线的方程即为所求投影曲线的方程例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. . 211222zzyx例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去变量消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyxxyzo例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. . 211222zzyx解解xyzo（2因为曲线在平面因为曲线在平面 上，上，21 z所以在所以

8、在 yoz 面上的投影为线段面上的投影为线段.,021 xz23| y（3同理在同理在 xoz 面上的投面上的投 影也为线段影也为线段.23|,021 xyz截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解（1）消去）消去z得得 xoy 面面上上的的投影投影 ,004522 zxxyyx,0042522 yxxzzx（2）消去）消去 y 得得 xoz 面上的投影面上的投影 例例5 5 求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02 zyx 的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解（3）消消去去x得得 yoz 面面上上的的

9、投投影影 .00222 xzyzy四、空间曲面或立体在坐标面上的投影四、空间曲面或立体在坐标面上的投影. . M),(zyx M )0 ,(yxSDxyzo称区域称区域 D 为为空间曲面空间曲面 S在在 xoy 面上面上的投影。的投影。上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形. .空间立体空间立体曲面曲面四、空间曲面或立体在坐标面上的投影四、空间曲面或立体在坐标面上的投影. .例例6解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzCxyzo面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx面

10、上的投影为面上的投影为所求立体在所求立体在 xoy. 122 yx.,)(322面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成xoyyxz 和和由由上上半半球球面面设设一一个个立立体体224,yxz 空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT习题75: 5, 7, 8 第七章作业第七章作业第五节：空间曲线及其方程第五节：空间曲线及其方程思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222

11、与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面 , 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲面曲面zyx10922 与与yoz平面的交线是平面的交线是_；2 2、 通过曲线通过曲线162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母线平行于母线平行于y轴的柱面方程是轴的柱面方程是_；3 3、 曲线曲线01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz

12、平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程组方程组 3215xyxy在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_；5 5、 方程组方程组 319422yyx在平面解析几何中表示在平面解析几何中表示_ _ _，在空间解析几何中表示，在空间解析几何中表示_；练练 习习 题题6 6 、旋转抛物面、旋转抛物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影为面的投影为_， 在在yoz面的投影为面的投影为_， 在在zox面上的投影为面上的投影为_._. 二二、 画画出出下下列列曲曲线线在在第第一一卦卦限限的的图图形形： 1 1、 0422yxyxz 2 2、 222222azxayx 三三

13、、 将将曲曲线线 xyzyx9222化化为为参参数数方方程程 四、四、 求螺旋线求螺旋线 bzayaxsincos在三个坐标面上的投影曲线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程的直角坐标方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所围成的立体，在所围成的立体，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、两直线的交点、两直线的交点, ,两平面的交线；两平面的交线；5 5、椭圆与其