曲线最小二乘拟合ppt课件

1、曲线最小二乘拟合主讲 孟纯军数学与计量经济学院n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.n最佳逼近或者曲线拟和也是用简单函数逼近复杂函数或未知函数），但是，逼近的原则和插值的原则不一样。n最小二乘拟合直线n最小二乘拟合多项式n线性拟合n非线性拟合最小二乘拟合直线使得求一直线处的函数值在点给定函数, ,.,.)(11bxayyyxxxfynnmin)(12niiiybxaniiiiniiiniiixybxabbaSybxaabaSybxabaS11120)(2),(0)(2),(min)(),(到由微积分基本知识，得设niiiniiniiniiniiyxbxaxybxn

2、a112111整理：2112111211211121niiniiniiniiniiiniiniiniiiniiniiniixxnyxyxnbxxnyxxxya00,/4 100,1,.,10,sinsin0,/4iixxih iyxxyx例。将区间等分，给定函数在 处的函数值，求在区间的最小二乘拟合直线。最小二乘拟合多项式1101( ),.,.,( ).(1),nnmmmyf xxxyyp xaa xa xmn 给定函数在点处的函数值求一多项式21( ()minniiip xy使得）0),(2),(min),(),(11010121010nijiimimijmniimimimxyxaxaaaa

3、aaSyxaxaaaaaS则设011112101111112011111().()()().()()().()nnnmiimiiiinnnnmiiimiiiiiinnnnmmmmiiimiiiiiinax axayx axaxax yxaxaxax y将方程整理，得到.01,.,maaa求解法方程组，得到 ，01( )( ).mmf xp xaa xa x从而得到的最小二乘拟合多项式例题k12345x00.250.500.751y11.2841.64872.1172.7183求最小二乘拟和二次多项式，拟和求最小二乘拟和二次多项式，拟和如下数据表。如下数据表/p>

4、301211115555234201211115()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiia xa xax axayx axaxax yxaxaxax y0解：设最小二乘拟和二次多项式为y=a该问题的正规方程组为所以，最小二乘拟和二次多项式为所以，最小二乘拟和二次多项式为p=1.0051+0.8642x+0.8437x2线性最小二乘拟合否则，线性无关。上线性相关。在集合称使得存在不全为零的实数满足上，函数定义：在实数集合XxxxkxkkkxxXnnnnn)(,),(0)()(,:)(,),(11111线性最小二乘拟合11( ),.,.,nnyf xxxyy

5、给定函数在点处的函数值1SS( ),.( )(),mxx mn给定子空间 ，设 的基函数为11( )( ).( ),mmp xcxcxS求21( ( )minniiip xy使得0)()(,)(2),()(,)(),(111112111niijiimmijmniiimmimxyxcxcaaaSyxcxcaaS11111111211221111111( )( ).( )( )( )( )( ).( )( )( )( )( ).( )( )( )nnniiimimiiiiinnniiimimiiiiinnmiimimimmmiiixxcxxcyxxxcxxcyxxxcxxcyx.1ni1,.,mc

6、c解法方程组，得到11( )( ).( )mmp xcxcx从而得到最小二乘拟合：2 yabx192531384419.032.349.073.397.8xy例 用最小二乘拟合如下数据：22 S1,x ,abx解 子空间 的基函数为拟合函数为，552115552421115()()()kkkkkkkkkkkaxbyxaxbx y则法方程组为：= 5a+ 5327b=270 5327a + 7277699b=369320非线性拟和n在求最小二乘逼近时，拟合函数一般是未知的，一般根据数据点进行描图，然后依据经验大概估计未知函数的图形，做为拟和函数，再进行数据拟和。x01234y1.52.53.55

7、7.5如下数据表格如下数据表格通过描图，得到近似估计函数通过描图，得到近似估计函数y=aebx其中，其中，a,b 待定。待定。00.511.522.533.54123456782121( , )( , ,)min;( , )()min;iniiinbxiiabS a byf a b xS a byae由最小二乘拟和原理：取 和112()02()0iiiinbxbxiinbxbxiiiSyaeeaSyaee axb所以有21121100iiiinnbxbxiiinnbxbxiiiiiSaey eaSaxex y ebab从而得到正规方程组：这是关于 和 的非线性方程，求解比较困难。这种拟和称为非线性拟和。n实际运用中，通常将非线性函数线性化，然后利用线性拟和。n如y=aebx,则ln(y)=ln(a)+bx,令= ln(y), A= ln(a), 原函数变为：YA+bx, 称为线性函数，然后做线性拟和，求A，b, 最后得到a,b.x01234Y=ln(