浅谈中专数学中的数形结合

1、浅谈中专数学中利用“数形结合”法解题在数学中，“数形结合”是一种非常重要的解题思想方法，它不仅给我们的解题带来方便，更重要的是让我们形象的体会到数学各分支之间的内在联系和数学的美。在中专数学中，几乎每一章书里都或多或少涉及了“数形结合”的思想：“集合与逻辑用语”中的“文氏图”，“不等式”中的“利用数轴来比较两个实数的大小”，“函数的概念和性质”中“函数的图像”、“一元二次函数的图像”等，“指数函数与对数函数”中利用“指数函数与对数函数的图像来研究函数的性质”，“三角函数”中的“三角函数的图像”、“解三角形”等，“数列”中“在解决实际问题的时候常常要利用到辅助图像”；至于“平面向量”、“直线”、

2、“二次曲线”中，“数形结合”的思想就不必一一列举了。因此掌握这种方法十分关键，那么如何能够较好的运用“数形结合”呢？一学会画草图。所谓草图，就是能够基本反映题目要求的图像。例如：一元一次函数和二元一次方程就是直线，而两点就能够确定一条直线；一元二次函数就是抛物线，而顶点及开口方向就能基本确定一条抛物线；等等。例1 判断反比例函数在（0，+）上的单调性。0 xy解析：在直角坐标系中画出反比例函数在（0，+）上的草图：所以，反比例函数在（0，+）上是减函数。当然，草图越精确就越有利于解题。因此：二草图要画得基本准确。所谓基本准确，就是说图像要能较好的反映题目的要求。例如：画函数的草图，那么要求能够

3、通过图像直接反映出函数的增减性、奇偶性（对称性）、极值、与x轴的交点、与y轴的交点等等；又如，在同一直角坐标系中，有两个或两个以上的图像时，它们之间的交点位置、上下左右关系等，都要在图像中清楚明了，这样才有利用比较。例2 设，求。此题可以通过解一元二次方程组来解，通过联立两个方程与，解出，立刻得到。-1 0 1 1.5 2 xy210.5-1但是我们也可以用“数形结合”法来解：在同一直角坐标系中画出直线与的图像， 两条直线的交点为（1.5，0.5），所以。例3 判断直线与圆的位置关系。此题可以通过解二元二次方程组来解，通过联立两个方程与，如果方程组无解，那么直线与圆相离；如果方程组有一组解，那

4、么直线与圆相切；如果方程组有两组解，那么直线与圆相交。但是解二元二次方程组对于许多中专生来说并不是一件容易的事，因此我们考虑用“数形结合”法来解：-2 -1 0 1 2 xy21在同一直角坐标系中画出直线与圆的图像：直线与圆有一个交点，因此直线与圆相切。三利用“数形结合”，要学会选择适当的函数。例4 判断方程的解的个数。解法1：考虑到一元二次函数与x轴的交点的个数即为方程的解的个数； ，一元二次函数是开口方向是向上，顶点为：的抛物线；0 xy画一元二次函数的草图：从图像可以看出一元二次函数与x轴有两个交点，因此方程有两个解。解法2：把方程进行变形，得：，考虑到一元二次函数与直线的交点的个数即为方程的解的个数； 一元二次函数是原点为顶点，开口向上的抛物线；-2 0 xy2画一元二次函数和直线的草图：从图像可以看出一元二次函数与直线有两个交点，因此方程有两个解。上例可以看出，由相同的方程可以构造出的不同函数，不会影响到结果。但是如果构造的函数适当的话，可以给数形结合思想带来很大的方便和简洁。例5 判断方程的解的个数。分析：考虑到函数与x轴的交点的个数即为方程的解的个数，但是，要画出函数的图像并不是一件容易的事，所以先把方程进行变形，得：，再考虑函数与的交点的个数。解：把方程进行变形，得：，画出函数与的草图