计算机数学基础数值部分第二单元辅导

1、计算机数学基础数值部分第二单元辅导一、重点内容1. 函数插值已知函数f(x)的函数值yk=f(xk),k=0,1,2,n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk。P(x)是插值多项式，f(x)是被插函数，xk是插值节点。误差R(x)=f(x)P(x)。2. 拉格朗日插值多项式用n次多项式 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=近似函数f(x)，即f(x)»Pn(x)，且满足 Pn(xk)=yk(k=0,1,2,n)。其中基函数 (i=0,1,2,，n)当n=1时，线性插值 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函数 ,。当n=2时，得到二

2、次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为其中，注意：过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式。3. 均差与牛顿插值多项式函数值之差与自变量之差的商就是均差，一阶均差 二阶均差 n阶均差 均差有两条常用性质：(1)均差用函数值yk的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关(对称性)。n阶均差与导数的关系为：以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)Nn(

3、x) =f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) =4. 分段线性插值用分点a=x0<x1<<xn=b将区间a,b分成n个小区间xk, xk+1(k=0,1,n1)。在区间xk, xk+1上用一次的多项式Qk(x)近似函数y=f(x)。将Qk(x)(k=0,1,n)组合在一起，得到a,b上的折线形式的函数P(x)，它满足：(1)P(x)在a ,b上连续; (2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n); (3)P(x)在xk ,xk+1上是线性函数。P(x)为分段线性插值函数 其中lk(x)(k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数

4、。具体写出为 li(x)= ln(x)= 5. 三次样条插值函数 其中S²(xk)=mk(k=0,1,2,n), hk=xk+1xk(k=0,1,2,n1),m0,m1,mn满足的方程组是 (*)其中： , (k=1,2,n1) 附加条件：(1) 当已知S¢(x0)=y¢0 ,S¢(xn)=y¢n时，(*)式中m0=1, ln=1, .(2) 当已知S²(x0)=y²0=m0, S²(xn)=y²n=mn时，(*)式化为 6. 最小二乘法用j(x)拟合n对数据(xk,yk) (k=1,2,n)，使得误差平

5、方和 最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。(1) 直线拟合 若，a0,a1满足法方程组 即a0, a1是法方程组的解。(2) 二次多项式拟合 若满足法方程组 即a0, a1，a2是法方程组的解。二、实例例1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f(1)的近似值。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= f(1)»P3(1)例2 已知函数y=f(x)的数据如表中第2，3列。试计算其各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。 kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差 0

6、0.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.186 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 920.197 30 40.901.201 523.134 107.433 4820.213 0340.031 46提示：均差计算公式为一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1) (2) 证明 (1) Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= 当f(x)º1时，1由于，故有(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,n

7、，对固定xm(0£m£n), 作拉格朗日插值多项式，有当n>m1时，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有 = =上式正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例4 已知函数ex的下 列数据用分段线性插值法x0.100.150.250.30 求x=0.2的近似值。 ex0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818 解 用分段线性插值，先求基函数。 所求分段线性插值函数为

8、所以，e0.2=P(0.2)=0.819 07×0.2+0.983 569=0.819 755例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是 kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5 解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x例6选择填空题1. 设y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的解

9、答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)=a2x2+a1x+a0, 其中a2,a1,a0是待定数。已知条件P(xk)=yk, 即 这是关于a2,a1,a0的线性方程组。因为系数行列式 根据线性代数中的克莱姆法则，线性方程组的解唯一。所以，不超过2次的多项式P(x)=a2x2+a1x+a0是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶均差为0 (C) 所有二阶均差为0 (D) 所有三阶均差为0答案：(C)解答：因为所有二阶均差为0，那么三阶均差必为0，则牛顿插值多项式为 N(x)=f

10、(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。4. 数据拟合的直线方程为y=a0+a1x，如果记那么常数a0,a1满足的方程组是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因为法方程组为由第1个方程得到，将其代入第2个方程得到整理得 ，即故(B)正确。三、练习题1.已知函

11、数y=f(x), 过点(2,5),(5,9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为 。2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x) 。3. 已知多项式P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是( ) (A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C) 3次多项式 (D) 四次多项式4.已知y=f(x)的均差, .那么f(x4,x2,x0)=( )(A) 5, (B) 9 (C)14 (D) 85. 求数据拟合的直线方程y=a0+a1x的系数a0,a1是使 最小。 6.

12、求过三个点 (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式。7. 构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8. 设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,xn 为节点的格朗日插值基函数 试证明： 9. 已知插值条件如表所 x 1 2 3示，试求三次样条插值函数。 y 2 4 12 y¢ 1110. 若互异。则当p£n时，p阶均差f(x0,x1,x2,xp)=0。11. 已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1), (12,6.4), (13,5.9)。试用二次多项式拟合这组数据

13、。12. 试推导线性拟合常数a1, a0和二次拟合常数a2,a1,a0满足的法方程组。四、练习题答案1. 2. 3. C 4. B 5. 6. x+17. 给定五对点，牛顿插值多项式是不超过4次的多项式。N4(x)=0.410 751.116 00(x0.40)0.280 00(x0.40)(x0.55) 0.197 30 (x0.40)(x0.55)(x0.65) 40.031 46(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将x=0.596代入牛顿插值多项式N4(x)中，得到：f(0.596)»N(0.596)=0.635 898.提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。证明1：列表：一阶均差 二 阶 均 差 三 阶 均 差 阶 均 差1000000000于是，l0(x)的牛顿插值多项式为证明2： 作