插值方法应用ppt课件

1、插值方法的运用插值方法的运用代数插值问题代数插值问题线性插值与二次插值公式线性插值与二次插值公式拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 13引例引例1.正弦函数正弦函数 sin x 的计算问题的计算问题2/18(1) 线性函数逼近线性函数逼近 y0 = x(2)泰勒级数逼近泰勒级数逼近 y1(x)= x x3/3! + x5/5! (3)抛物线逼近抛物线逼近 y2=4x( x)/20123400.511.50123400.511.50123400.511.500.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.6(1)复杂函数的计算复杂函数的计算;(2)函数表中非表

2、格点计算函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处置定积分的离散化处置;(6)微分方程的离散化处置微分方程的离散化处置;(7)积分方程的离散化处置积分方程的离散化处置;插值方法的运用插值方法的运用:5101551015246824683/18 xtdtexErf022)( 引例引例2. 误差函数误差函数x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.00005205. 0)1(8427. 0)5

3、 . 0(5 . 011)( xxxErf当当 x(0.5, 1)时时8427. 0)5 . 1(9661. 0)1(15 . 11)( xxxErf当当 x(1, 1.5)时时4/18知知f(x)在点在点xi上的函数值上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)那么称那么称 P(x) 为为 f(x) 的的 n 次代数插值多项式次代数插值多项式. 称称 x0, x1, , xn为为 插值结点插值结点; 称称 f(x) 为被插值函数为被插值函数. 假设假设 P(x)=a0 + a1x + anxn满足满足: P(xk)= yk (k = 0,1,n)设设 f(x)C a , b, 取点

4、取点 a x0 x1xnb代数插值问题代数插值问题插值函数插值函数插值条件插值条件5/18点点,那么满足插值条件那么满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且是独一的。存在而且是独一的。 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010证明证明: 由插值条件由插值条件P(x0)= y0P(x1)=y1P(xn)=yn定理定理5.1 假设插值结点假设插值结点x0,x1,xn 是是(n+1)个互异个互异6/18nnnnnxxxxxxA111|1100 方程组系数矩阵取行列式方

5、程组系数矩阵取行列式故方程组有独一解故方程组有独一解.从而插值多项式从而插值多项式P(x)存在而且是独一的存在而且是独一的.例例5.1 知误差函数在四个点处函数值知误差函数在四个点处函数值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x) 00.60390.91030.98910)(0 jijinxx7/18构造构造3次多项式次多项式P(x) 逼近逼近 Erf(x)设设P(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3, 令令 P(xk)=Erf(xk) 9891. 0)8 . 1()8 . 1(8 . 19103. 0)2 . 1()2 . 1(2 . 16039. 0)6 .

6、0()6 . 0(6 . 003322103322103322100aaaaaaaaaaaaa得得求解求解,得得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538所以所以, P(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x38/18x=0:.6:1.8; y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1) x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)00.511.5200.20.40.60.81MATLAB

7、数值实验数值实验9/18)()(001010 xxxxyyyxL 过两点直线方程过两点直线方程求满足求满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1的线性函数的线性函数 L(x)知函数表知函数表 x x0 x1 f(x) y0 y1例例 求求 的近似值的近似值11510.7143)100115(100121101110115 六位有效数六位有效数10.723810/1801010110)(,)(xxxxxlxxxxxl 记记当当x0 x x1时时0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x1l0(x) 1 0l1(x) 0 11100)()()(yxlyxlxL y0 y1 = 1 0y0 +

8、 0 1y100111010)(yxxxxyxxxxxL 线性插值函数线性插值函数的对称方式的对称方式11/18二次插值问题二次插值问题x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2知函数表知函数表求函数求函数 L(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足满足: L(x0)=y0 , L(x1)=y1, L(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，12/18)()()(2010210 xxxxxxxxxl 二次插值函数二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y

9、2，xx0 x1x2l0(x) 1 0 0l0(x) 100l1(x) 010l2(x) 0 0 1L(x) y0y1y2 xx0 x1 x2)()()(2101201xxxxxxxxxl )()()(1202102xxxxxxxxxl 13/18二次插值基函数图形二次插值基函数图形00.51-0.500.5100.51-0.500.5100.5100.51取取 x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 100.51-0.500.51l0(x)=2(x 0.5)(x 1);l1(x)= 4 x(x 1);l2(x) = 2(x 0.5)x14/18二次插值的一个运用二次插值的一个运用极值点近

10、似计算极值点近似计算二次插值函数二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，0)()()(221100 yxlyxlyxldxd)()(2)(1202102xxxxxxxxl 201102012220211202202122*)()()()()()(21yxxyxxyxxyxxyxxyxxx ,)()(2)(2010210 xxxxxxxxl )()(2)(2101201xxxxxxxxl 极值点近似计算公式极值点近似计算公式15/18拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式插值条件插值条件:L(xk)= yk (k = 0,1,n)nnnyxlyxlyxlxL)()()

11、()(1100 )()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl 其中其中,第第k (k=0,1,，n)个插值基函数个插值基函数nkjjjkjkxxxxxl 0)()()(或或:16/18Runge反例反例: , (-5x5)211)(xxf -5-4-3-2-1012345-0.500.511.52L10(t) f(t) f(x)取取xk= 5+k 计算计算: f(xk) (k=0,1,10) 构造构造L10(x).取取:tk= 5+0.05k (k=0,1,200),计算计算: L10(tk)17/18x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1