高等数学第六节未定型的极限ppt课件

1、.,., ,)( ,00 题题它它较较好好地地解解决决了了此此类类问问洛洛必必达达法法则则法法的的方方本本节节介介绍绍一一个个求求未未定定型型没没有有统统一一的的方方法法是是不不同同的的用用的的方方法法但但对对不不同同类类型型的的极极限限使使已已经经介介绍绍过过一一些些求求法法在在第第二二章章中中的的极极限限称称为为未未定定型型型型对对于于 .),203(可以用不同形式表示可以用不同形式表示曲线曲线如图如图从几何角度看从几何角度看AB 203 图图xoyAB C:如果用参数方程表示如果用参数方程表示 ),(),(tGytFx?什什么么形形式式变变成成微微分分中中值值定定理理的的结结论论将将:如

2、果用参数方程表示如果用参数方程表示 ),(),(tGytFx?什什么么形形式式变变成成微微分分中中值值定定理理的的结结论论将将事实上等式事实上等式)()()( fabafbf :,的坐标来表示的坐标来表示的端点的端点的左边也可用曲线的左边也可用曲线BAAB ,dd xABABxyxxyy.,和横坐标和横坐标的纵坐标的纵坐标与点与点分别表示点分别表示点与与其中其中ABxxyyABAB203 图图xoyAB C.,和横坐标和横坐标的纵坐标的纵坐标与点与点分别表示点分别表示点与与其中其中ABxxyyABAB,1Att对对应应于于点点时时设设 ,dd xABABxyxxyy则则对对应应于于点点时时设设

3、,2Btt ).(),( ),(),(2211ttFBttFA ,Ct对对应应于于点点时时如如果果当当 则则而而,)()(ddtFtxy .)()(dd Fxyt 式式就就表表示示为为这这样样 ,.)()()()()()(1212 FtFtFtt 式式就就表表示示为为这这样样 ,.)()()()()()(1212 FtFtFtt .推广推广这就是微分中值定理的这就是微分中值定理的,)(),(上连续上连续在闭区间在闭区间设函数设函数baxFx , 0)(,),( xFba且且内内可可微微在在使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在,),( ba.)()()()()()( FaFbFab 定理定理

4、:,)()(0且满足且满足的一个邻域内可微的一个邻域内可微在在设函数设函数xx、Fx ; 0)(lim)(lim )1(00 xFxxxxx; 0)( )2( xF),()()(lim )3(0 或或AxFxxx则则).()()(lim0 或或AxFxxx即即 )()(lim0 xFxxx.)()(lim0 xFxxx 证明证明,0的一个邻域内任意一点的一个邻域内任意一点是是设设xx所所以以有有中中值值定定理理的的条条件件满满足足广广义义微微分分上上函函数数或或在在那那么么,)(),(,00 xFxxxxx ,)()()()()()(00 FxFxFxx .0之之间间与与在在其其中中xx ,)

5、(),(00处也是连续的处也是连续的所以在所以在处可微处可微在在因函数因函数xxxFx , 0)()(, 0)(lim)(lim0000 xFxxFxxxxx故故有有上式简化为上式简化为.)()()()( FxFx .,00 xxx 时时注注意意到到两两边边取取极极限限上式简化为上式简化为.)()()()( FxFx .,00 xxx 时时注注意意到到两两边边取取极极限限,)()(lim)()(lim00 FxFxxxx ),()()(lim )3(0 或或知知由由条条件件AFx )()(lim)()(lim00 xFxxFxxxxx ).( 或或A附带阐明几点附带阐明几点( (不加证明不加证

6、明):):.,)()()1( 0甚至可以没有定义甚至可以没有定义处可以不可微处可以不可微在在函数函数xx、Fx .,0)(lim)(lim )2( 结论仍成立结论仍成立在满足相应的条件下在满足相应的条件下情形情形对于对于 xFxxx.,)(lim)(lim )3( 结论仍成立结论仍成立在满足相相应的条件下在满足相相应的条件下对于对于 xFx不管自变量不管自变量型型型与型与只要是只要是简而言之简而言之,”“”00“, ,0 或或趋向于趋向于x.,结结论论均均成成立立在在满满足足相相应应的的条条件件下下例例1 1.2sin)1ln(lim0 xxx 求求解解,02sin)(),1ln()(可可微微

7、的的一一个个邻邻域域内内在在 xxxFxx而而且且, 02sinlim, 0)1ln(lim00 xxxx.212cos211lim)()(lim00 xxxFxxx有有所以所以满足洛必达法则的条件满足洛必达法则的条件, xxx2sin)1ln(lim0.212cos211lim0 xxx例例2 2.sinlim30 xxxx 求求解解.00型型是是 30sinlimxxxx.3cos1lim20 xxx ,00可继续使用洛必达法则可继续使用洛必达法则型型这仍是这仍是 30sinlimxxxx203cos1limxxx xxx6sinlim0 .61 例例3 3.lnlimxxx求求解解.,用

8、洛必达法则用洛必达法则型型 xxxlnlim1 1limxx . 0 例例4 4.lncotlnlim0 xxx 求求解解.型型 xxxlncotlnlim0 xxxx1)csc(cot1lim20 xxxxcossinlim0 xxxxxsinlimcos1lim00 . 1 例例5 5.1lim2xxx 求求解解.型型 xxx21lim11lim2xxx 21limxxx 211limxxx .1lim2xxx .洛洛必必达达法法则则失失效效.其实这题易求其实这题易求 xxx21lim11lim2 xx. 1 ., 效果会更好些效果会更好些无穷小代换综合使用无穷小代换综合使用有时洛必达法则

9、与等价有时洛必达法则与等价例例6 6.)1e (sinlim20 xxxxx求求解解 )1e (sinlim20 xxxxx20sinlimxxxxx )1e (22xx 203cos1limxxx .61 限限其其他他类类型型的的未未定定型型的的极极型型0.1 .00型型型型或或可可变变形形为为 例例7 7.lnlim0 xxx 求求解解.0型型 xxxlnlim0 xxx1 ln lim0 )(型型 2011limxxx )(lim0 xx . 0 例例8 8.ln)11ln(limxxx 求求解解.0型型 .先先用用等等价价无无穷穷小小代代换换.)11ln(,xxx 时时 xxxln)1

10、1ln(limxxxlnlim 1 1limxx . 0 型型.2 .00型型型型或或可可化化为为 例例9 9).ln11(lim1xxxx 求求解解.型型 .00型型把它化为把它化为 )ln11(lim1xxxxxxxxxxln)1(1lnlim1 )00(型型xxxxxln11ln1lim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 .21 解解例例1010304sin22lim2xxxexx 原式原式22012cos2)24(lim2xxexxx xxexxxxx24sin2)488(lim230 24224408 .3cos2lim 402xxexx 求求.127 解解.

11、,coslim出出但但不不能能用用洛洛必必达达法法则则得得存存在在验验证证xxxx 1sin1limxx 原原式式),sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法那么失效洛必达法那么失效.由洛必达法那么由洛必达法那么, , 得得: :实践上实践上,)cos11(limxxx 原式原式. 1 1 1、本节根本要求、本节根本要求 掌握洛必达法那么掌握洛必达法那么. .2 2、本节重点、难点、本节重点、难点 重点：洛必达法那么在未定型极限中的运用重点：洛必达法那么在未定型极限中的运用. . 难点：洛必达法那么在未定型极限中的运用难点：洛必达法那么在未定型极限中的运用. .未定型的极限未定型的极

12、限柯西定理柯西定理广义中值定理广义中值定理洛必达法那么洛必达法那么柯西定理柯西定理广义微分中值定理广义微分中值定理定理定理3 3、本节知识构造、本节知识构造未定型极限的计算未定型极限的计算,0,00 柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家,1809年当上一名工程师,后听从拉格朗日和拉普拉斯的劝告转攻数学.1816年提升为巴黎综合工科学院的教授.他终身写的论文800多篇.出版专著7本,选集共27卷.从23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中,平均每月发表两篇论文.仅1849年8月至12月的科学院9次会上,他就提交24篇短文和15篇研讨报告.终身中最大奉献之一是在微积分中引是严厉的方法. 1821年出版的“分析教程以及以后的“无穷小计算讲义和“无穷小计算在几何中的运用具有划时代的价值,其中给出了分析学一系列根本概念的严厉定义. 洛必达