实数完备性定理相互等价的证明

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27、71;机 fiuil易证 bn . (n 。因此0, N1 0. n N1 ,有 fin* bnU(:。由于bn都为S的上界，所以 也为S的上界。从而可知，1 M, x S,工a nbn U (.。即X，故 为 S的上确界。(38定理7 定理2(Cauchy收敛准则单调有界定理 证不妨设xn 为单增有上界数列。假设x n 无极限，Cauchy收敛准则可知，00* 0. m n N,但是x I】x in 0。由N的任意性，不难得到x n 的 一个严格单增的子列xn k ，满足xnk丨xnk 0 xnk 12 0xnl k ()。由于 时，有 xnk 100，故x n 收敛。所以当上。这与x n

28、为有界数列矛盾，(39定理7 定理3(Cauchy收敛准则 Cantor区间套定理 证设 a n , bn 是Can tor区间套。则由hll 盯必(1】 可知，幺 N 山 n 时，有bii 前 。由于a n 单调递增，bn 中的每一个元素 都为a n 的上界。故 m H N，则 有8111011 bll印1。故由Cauchy收敛准则可知a n收敛，记其极限为 。由(3.1易证bn .(口 。由a n ， bn 的单调 性可知有慎n , bn 。(40定理7定理4(Cauchy收敛准则Hli皿-Borel有限覆盖定理 证仮证法假设闭区间a, b有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖。定义性质

29、P :不能用中有限个开区间覆盖。仿(9的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套 a n , bn 。仿(39的证明可知，艮 an . tm血 ，从而 U( 、 U ，"n N , 有a n , bn U (. U ，这与a n , bn具有性质P矛盾。这就证明了 Hei ne-Borel有限复盖定理。(41定理7 定理5(Cauchy收敛准则 WeiCTStraSS聚点原 理证设S为直线上有界点集，则 乩b R使得S 迅b。定义性质P :至少 含有S中的无限多个点。利用二等分法容易构造出具有性质P的区间套 a n ,bn 满足(3.1。由性质P任意挑选S中不同的点构成的数列x

30、 n 使得xn a n , bn。0，由(3.1和极限定义知，由定义知x n 是Cauchy列。由C辿沁 N 0, n m K有xil X111an 。收敛准则知，R使得lim x n。从而可知即为s的一个聚点。n (42定理7定理6(Cauchy收敛准则BobailO致密性定理 证设x n 为有界无限点集。则由（10, （11的证明，从x n 中可抽出一单调有界子列。 对该子列重复（38的证 明，可以得知该子列收敛，故x n 必存在一个数列子列。4.定理8与前7个定 理的互证（43定理1 定理8（确界原理 Dedekind准则11证设（A.A 是r的一个划分，则a为非空有上界数集，A为非空有

31、下界数集，则由确界原理可知1 s叩扎 2 inf A 。若 1 A则A有最大元，否则 1 A ，则由上确界的定义可知，1是A所有上界中最小的，即1二2为A的最小元。（44定理2 定理8（单调有界定理Dedekind准则证设（A、A 是R的一个划分，因为A、A 非空，故 社 A. b A 且 a b，构造区间a, b。定义性质P :存在一点属于A，但区间的右端点属于 A 。仿（9的证明，利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套 a n , bn且满足（3.1。所以an 为单增有上界数列，所以由有单调有界原理可知1 2R :bn J为单减有下界的数列。使得lim a n 1，li即加 2。由（3.

32、1易知，12 。又由an 和bn 的单调性可11 知H N都有anbn。不难证明是A的一个上界，且是A的一个下界。若则显然 为a的最大元，否则A ，则同理 为A 的最小元.（45定理3 定理8（Cantor区间套定理Dedekind准则 证仿上题的证明，构造出区间套 a n , bn ，其中皿入血 扎。则由区间套定理可知，存 在唯一的实数an, bn，且|jm aillim bl】。由a n 和bn 的单调111性不难证明是A的一个上界，且是A的一个下界，若A，贝U显然为A的最大元，否则 A，贝U同理为A 的最小元。（46定理斗定理8（Hein-Borei有限覆盖定理Dedekind准则 证仮

33、证法 因为 入A非空，所以 a A. b A ，构造区间a, b。假设A无最大元且A 无 最小元，则 x 辺b，必存在U （扎 ，使得U （兀 A，或u（& A （如若不然，即诃 超b，使得A，且U （須* A，则由于A A R ,不难证明x0或为A的最大元或为A 的最小元。从而得a, b的一个开覆盖（3.2记为 。由Heine- Borel有限覆盖定理可知存 在的一个有限子覆盖（3.3记为 1。因此必有一一个，不妨设为I1 ,包含b。因为b不属于A，故U（xl .1 A（定义为性质P。从而与11（x1、1相交的 中的邻域也具有性质P。依次类推下去，将有包含a的 1中的邻域也应具有性质

34、P ,这与8 m矛盾，故或 A有最大元或A 。 （47定理5 定理8（Weierstrass聚点原理Dedekind准则证仿（44的证明，构造出区间套a n , bn ，其中肌人血 A 。由Weierstrass聚点原理可知，a n 和bn 都至少存在一个聚点分别记为1 :2。容易证得 12:，则显然anbn。若 A，则由bn的取法可知， 为A的最大元;若 A ,则由an的取法可知，为A的最小元。（48定理6定理8（Bolzano致密性定理Dedekind准则证仿（44的证明，构造出区间套 a n , bn，其中tin A, bn A 。由Bolzano致密性定理可知，a n 和bn 各自至少

35、存在一个收敛子列。又由于 a n 和bn 单 调，容易证明an 和bn收敛。再由（3.1可知，且血bn苗11和bn 收敛于同一点 ，则不难证明 （49定理7 定理8（Cauchy收敛准则 间套 a n , bn ，其中 tin A, bn 收敛于同一点或为A的最大元，或为A 的最小元。Dedekind准则 证仿（44的证明，构造出区A 。仿（44的证明可知，a n 和bn ，且anbll。，则由an ，bn 的单调性12及lim（bn ail 0 ,由柯西收敛准则易证an ，bn 收敛于同一点，仿（47的证g 明可知 或为A的最大元，或为A 的最小元。（50定理8 定理1（Dedekind准则确界原理 证明：设S为有上界集合。若S,为S的上界，那么容易知道，supS。否则，记S的上界集为A ，令AR A 。显然S A