实数完备性定理的证明及其应用电子教案

1、实数完备性定理的证明及其应用实数完备性定理的证明及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实 数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我 们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解关键词：完备性；区间套；连续性Complete ness of the system of real nu mbers and applicatio nsAbstract : Completeness of the set of

2、 real numbers is its basic character , and it is stable backgro und of calculus .It can be described and depicted in differe nt anles , so there are con siderable fun dame ntal theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three differe nt ways in dividually to prove the e

3、quivale nee of the six prin ciple theorems is systematic discussi on about it , and makes us acquire more rec ongn iti on and un dersta nding .Key Words : Completeness ; Interval;Continuity引言众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列 所在数集有关

4、，如果在有理数集 Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一 1 n一定存在极限.例如，单调有界的有理数列1 - 就不存在极限，因为它的极n限是e,是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是 有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论 有了巩固的基础 . 所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中 占据着重要位置 .1. 实数完备性定理的定义1.1确界原理 设S为非空数集若S有上界，则S必有上确界；若S有下 界，则 S 必下确界 .1.2 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限 .1 .3区间套定理 设 an,bn 为一区间

5、套： 1. an,bn an1,bn1 ,n 1,2, .2. lnim bn an 0 ，则在实数系中存在唯一的一点an,bn ,n 1,2, .即anbn,n 1,2 .1.4有限覆盖定理 设H , 是闭区间a,b的一个无限开覆盖，即a,b 中每一个点都含于 H 中至少一个开区间 , 内，则在 H 中必存在有限个 开区间来覆盖 a,b .1.5聚点定理和致密性定理（聚点定理）直线上的任一有界无限点集 S至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可以属 于S，也可以不属于S）.（致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.6 柯西收敛准则 数列 an 收敛的充要条件是：

6、0, N N ，只要 n,m N，恒有|an am |,（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列） .2. 实数完备性定理的证明定理1 （确界原理）设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S 有下界，则 S 必下确界 .证明我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的数集必有下确界可类似证明为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数由于S有上界，故可找到非负整 数n，使得（1 ）对于任何x s有x n 1 ； （ 2）存在a。s，使a。n.对半开区间n,n 1作10等分，分点为n.1, n.2,n.9,贝U存在0,1,2,9中1的一个数m，使得（1）对于任

7、何x s有x ng; （2）存在a1 s，使得10再对半开区间nnm秸作10等分，则存在0,12,9中的一个数1n2，使得（1）对于任何x s有xn.qn?而;（2）存在a?s，使a2n.nin2.继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,存在0,1,2,9中的一个数nk，使得（1）对于任何x s有(1) ；( 2)存在 ak s，使 akngn? n1n.n-i n2nk k1 2k10k将上述步骤无限地进行下去，得到实数n. nm2 nk ，以下证明，存supS，为此只需证明：（i ）对一切x s有x ；（ii ）对任何在a s，使 a .倘若结论（i ）不成立，即

8、存在x s使x，则可找到x、 _ 1 1的k为不足近似xk，使 x kn"nk百，从而得xn.n1n2nk荷，与不等式（1）矛盾，于是（i）得证.现设，则存在k使 的k位不足近似k k，即n.ngnkk.根据数 的构造，存在as使a k，从而有，即得到 a，说明（ii ）成立.定理2 （单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限证明 不妨设 an 为有上界的递增数列，由确切原理，数列 an 有上确界，记 a sup an ，下面证明 a 就是 an 的极限，事实上，任给 0，按上确 界的定义，存在数列an中某一项3n，使得a3n，又由an的递增性，当n N时有a aN，另外，由

9、于a是an的一个上界，故对一切都有an a a，所以当n N时有a an a，这就证得|im an a，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界 .定理 3（区间套定理）设 an,bn 为一区间套： 1.an,bnan 1,bn 1 ,n 1,2, . 2.lim bnann0 ，则在实数系中存在唯一的一点an,bn ,n 1,2,.即a.bn,n 1,2（2）证明由于务a2anbnb2 d，则知an为递增有界数列，依单调有界定理，an 有极限，且有 an,n 1,2,（3）同理，递减有界数列 bn 也有极限，并按区间套的条件 2. 有lim bn lim an（4）且 bn,

10、n 1,2,（5）联合（ 3）、（ 5）即得nn（2）式，最后证明满足（ 2）式的 是唯一的，设数 也满足anbn,n 1,2, ，则由（2）式有| bn an,n 1,2, ，由区间套的条件 2.得 | lnim（bn an）0，故有.定理 4（有限覆盖定理 ）设 H , 是闭区间 a,b 的一个无限开覆盖，即 a,b 中每一个点都含于 H 中至少一个开区间 , 内，则在 H 中必存在有限 个开区间来覆盖 a,b .证明 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用 H 中有限个开区间来覆盖 a,b .将 a,b 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖，记这个子

11、区间为a1,b1 ，则 a1,b1a,b ，且(b aja)，再将印上 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区 间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为a2,b2，贝U至少1a2,b2a1,b1 ，且(b2 a2)a)，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列an,bn ，它满足an，bn%1 ,n 1,2,1bn an 2r(b a) 0,(n)即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点an,bn ,n 1,2,，由于H是a,b的一个开覆盖，故存在开区间(,)H，使 (，)，于是知，当n充分大时有an,bn(,)，这表明an,

12、bn只需用H中的一个开区间(，)就能覆盖，与挑选an,bn时的假设“不能 用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证得必存在属于 H的有限个开区间 能覆盖a,b .a2,b2，贝U印山子区间，则其中至少有一个子区间含有间，记为 a3,bs，贝U a2,b2as：区间无限地进行下去，得到一个区间列an,an 1,bn 1 ,n 1,2,，1a2,b2，且b2 a2乙 q) M，再将azb 等分为两个S中无穷多个点，取出这样的一个子区 且b3 a3 (b2 a?) M2，将此等分子 an,bn ，它满足bn an 220(n) 即定理5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集 S至少有一个聚点，即在的

13、任意小邻域内都含有S中无限多个点( 本身可以属于S，也可以不属于S).(致密性定理)任何有界数列必定有收敛的子列 .1.(聚点定理)证明 因S为有界点集，故存在M 0，使得SM , M ，记 a1,b1M,M，先将cb等分为两个子区间，因S为无限聚点，故两个子区间中至少有一个含有 S中无穷多个点，记此子区间为an,bn是区间套，且其中每一个闭区间都含有 S中无穷多个点 由区间套定理知，存在唯一的一点an,bn ,n 1,2,，且对任给的0，存在N 0，当n N时有an,bnU（,），从而U（,）内含有S中无穷多个点，则知为S的一个聚点.2.（致密性定理）证明设xn为有界数列下分两种情况讨论：（

14、i） Xn中含有无穷多个相等的项，记作Xn1 Xn2，则常数列xnk收敛；（ii ） Xn不含无穷多个相等的项，记S Xn/ nN ，则S 为有界无限点集，由聚点定理知S至少有一个聚点，由聚点的等价定义知， 存在S中各项互异的点列XnkXn S，且Xnk ,（ k ） 即佃X%k则得以一敛子列Xnk收敛于定理6 （柯西收敛准则）数列 an收敛的充要条件是：0, N N，只要n,m N，恒有|an am |,（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.证明 必要性 设lima. A，有数列极限定义，对任给的0,存在nN 0，当m,n N时有轴A|A| -，因而 |am an

15、 | |am A| |an A| 2 2充分性先证明该数列必定有界，取 ° 1，因为Xn满足柯西条件，所以 N。，n N0，有 |Xn Xn° 1 丨 1，令 M max |xJ,|x2|,Xn0 |,| Xn0 1 | 1，则 对一切n，成立| Xn | M，由致密性定理，在 x.中必有收敛子列： lim Xnk，由条件，0, N，当n, m N时有| x. Xm |，在上式中取k 2Xm Xnk，其中k充分大，满足nk N，并且令k ，于是得到|Xn |，即得到数列Xn收敛.2要证明实数完备性定理的等价性，还必须由定理6证明出定理1.用数列的柯西收敛准则证明确界原理证明

16、 设S为非空有上界数集，由实数的阿基米德性知，对任何正数，存在整数k，使得 k 为S的上界，而(k 1)不是S的上界，即存在1S，使得 (k 1)，分别取,nn1,2,，则对每一个正整数n，存在相应的n，使得n为S的上界，故存在aS，使得a(6)，又对正整数m, m是S的上界，故有a，结合(6)式得数列对任何a1丄，同理有n，从而有丨m mnl max丄,丄m n，于是，对任给存在N 0，使得当m,n收敛，记lim nnS和正整数n有a其次，对任何0(nN时有| mn|(7)现在证明由(7)式得a，由柯西收敛准则知,就是S的上确界，首先,，即是S的一个上界,)及(7)式，对充分大的n同时有-，

17、又因n11不是S的上界，故存在a S，使得a n结合上式得a，这说明为S的上确界，同理可证，若非空有下界数集，则必存在下确界3. 实数完备性定理的应用实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的 应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理的应用，认识实数完备性定理 的重要作用和地位.例1 若函数f(x)在闭区间上a,b连续，那么f(x)在闭区间a,b上有界.证明 若不然，不妨假设f(x)在a,b上无界，那么存在x.a,b，使得f (Xn) n,n 1,2,，由此得知lim f(Xn)，另外，因为 x. ( a,b)是有界数列，所以由致密性定理， xn 有收敛的子列 xnk

18、，设 lkim xnk x0 ，由于a xnk b ，有极限的不等式性质知 a x0 b ，故 f (x) 在点 x0 连续，有归结原 则导出 lim f (xn) lim f (xnk) lim f(x) f (x0 ) ，矛盾，则知假设不成立， n k k x x0从而有函数 f (x) 在闭区间上 a,b 连续，则 f (x) 在闭区间 a,b 上有界例2若函数 f 在闭区间 a,b 上连续，则 f 在 a,b 上一致连续 .证明 若不然，存在 0 0 ，以及区间 a,b 上的点列 xn , yn ，虽然lnim( xn yn) 0，但是 | f(xn) f (yn)| 0,n 1,2,

19、(7)，因为 xn 有界，所以由致密性定理， xn 有一个收敛的子列 xn ，设 lim xnk x0 ，又 kka xnk b ，由极限的不等式性质推得 a x0 b ，故 f (x) 在点 x0 连续，有归结 原则与( 7)式得 0 lkim| f(xnk) f(ynk)| | f(x0) f(y0)| 0，矛盾，则假设不 成立，从而有 f 在 a,b 上一致连续 .用有限覆盖定理证命题的一般步骤：(1) x a,b, U(x)，使得U(x)具有性质P，即H U(x)/x a,b为a,b 一个开覆盖；(2)运用有限覆盖定理(即存在H中有限个开区间)设为U(xJ,U(X2), U(xQ覆盖了 a,b ；(3) 利用U(x)具有性质P得出a,b具有性质P.例3用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理 .证明 设f(x)在区间a,b上连续，根据连续函数的局部有界性定理，对于任意的 x0a,b ，存在正数 M x0 以及正数 x0 ，当 x xox0,x0x0 I a,b 时有| f(x)| Mx0作开区间集H xx,xx/|f(x)|Mx,x a,b ,x x x,x x I a,b ，显然 H 覆 盖了区间 a,b ，根据有限覆盖定理，存在 H 中有限个开