数学分析—导数

1、 §5.1 导 数1、 实例 导数概念同数学中其他概念一样，也是客观世界事物运动规律在数量关系上的抽象.例如，物体运动的瞬时速度，曲线的切线斜率，非很稳的电流强度，化学反应速度，等等，都是导数问题.1、瞬时速度通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内运动的平均速度.例如，一汽车从甲地出发到达乙地，全程120km，行驶4h,则汽车行驶的速度是=30 kmError! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given./h,这仅是回答了汽车从甲地到乙地运行的平均速度.

2、下坡时跑得快些，上坡时跑得慢些，也可能中途停车等，即汽车每时每刻的速度是变化的.一般来说，平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬间速度.随着科学技术的发展，仅仅知道物体运动的平均速度就不够用了，还要知道物体在某一时刻的瞬间速度，即瞬时速度.例如，研究子弹的穿透能力，必须知道弹头接触目标时的瞬时速度.我们已知物体的运动规律，怎样计算物体运动的瞬时速度呢?解决这个问题我们负有双重任务：一方面要回答何谓瞬时速度？另一方面要给出计算瞬时速度的方法.如果物体作非匀速直线运动，其运动规律（函数）是 ，其中t是时间，s是距离.讨论它在时刻的瞬时速度.未知的瞬时速度并不是一个孤立的概念，它必然与某些已知的概念联

3、系着.那么未知的瞬时速度概念与哪些已知的概念联系着呢？那就是已知的物体运动的平均速度.在时刻以前或以后任取一个时刻，是时间的该变量.当>0时，在之后；当<0时，在之前.当时，设.当时，设物体运动的距离是，有 ，是物体在时间内运动的距离，是运动规律在时刻的距离该变量.已知物体在时间的平均速度（亦称距离对时间的平均变化率）是 .当变化时，平均速度也随之变化.当较小时，理所当然地应该认为，平均速度是物体在时刻的“瞬时速度”的近似值，当越小它的近似程度也越好.于是，物体在时刻的瞬时速度（亦称距离对时间在的变化率）就应是当无限趋近于0（）时，平均速度的极限，即 . (1) 瞬时速度的定义也给

4、出了计算瞬时速度的方法，即计算（1）式的极限.2.切线斜率欲求曲线上一点的切线方程，关键在于求出切线的斜率.怎样求切线斜率呢？设有一条平面曲线，如图5.1，平面曲线的方程是.求过该曲线上一点的切线斜率. yPQx 图5.1 未知的切线斜率也不是孤立的概念，它与已知点的割线斜率联系着.在曲线上任取另一点.设它的坐标是，其中由平面解析几何知，过曲线上两点与的割线斜率（即对的平均变化率） 当变化时，即点在曲线上变动时，割线的斜率也随之变化，当较小时，割线的斜率应是过曲线上点的切线斜率的近似值.当越小这个近似程度也越好.于是，当无限趋近于0时，即点沿着曲线无限趋近于点时，割线的极限位置就是曲线过点的切

5、线，同时割线的斜率的极限就应是曲线过点的切线斜率（即在的变化率），即 （2）于是，过曲线上一点的切线方程是 切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算（2）式极限.2、 导数概念 上述两例，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率，二者的实际意义完全不同.但是，从数学角度看，（1）式和（2）式的数学结构完全相同，都是函数的改变量与自变数的改变量之比的极限（当时）.这样就有下面的导数概念：定义 设函数在有定义，在自变数的该变量是，相应函数的改变量是若极限 （3）存在（有限数），称函数在可导（或存在导数），此极限称为函数在的导数（或微商），记为或，即 或 若极限（3）不存在，称函数

6、在不可导.不难看到，上段的两例都是导数问题.如果物体直接运动规律是，则物体在时刻的瞬时速度是在的导数，即如果曲线的方程是，则曲线在点的切线斜率是在的导数.有时为了方便也可将极限（3）改为下列形式： ，或 在（3）式中，如果自变数的改变量只从大于0的方向或只从小于0的方向趋近于0，有定义 若极限 与 都存在（有限数），则分别称为函数在右可导与左可导，其极限分别称为函数在的右导数与左导数，分别记为与，即 ，与 根据§2.3定理3，有 函数在可导函数在的左、右导数都存在，且相等，即. 定理1 若函数在可导，则函数在连续. 证明 设在自变数的改变量是，相应函数的改变量是 ，有 ，即函数在连续

7、.注 定理1的逆命题不成立，即函数在一点连续，函数在该点不一定可导.例如，函数在连续，但是它在不可导.事实上，设在自变数的改变量是，分别有 当时， 当时， ， ， ， ， . .显然，.于是，函数在不可导. 函数的几何图像是y1条 折线，如图5.2.函数在不可导的几何意义是，此折线在点不存在切线. 定义 若函数在区间的每一点都可导（若区间的左（右）端点 图5.2属于，函数在左（右）端点右可导（左可导），则称函数在区间可导.若函数在区间可导，则都存在（对应）唯一一个导数，称为函数在区间的导函数，也简称导数，记为 ， 或 . 三、例 根据导数定义，求函数在点的导数，应按下列步骤进行： 第一步，在点

8、给自变数改变量，并计算的函数值； 第二步，计算函数改变量，即； 第三步，作比； 第四步，求极限. 为了简化叙述，在以下诸例中，都是表示点的自变数的改变量，都是表示函数相应的改变量. 例1 求 （是常量）在的导数. 解 ，有， ，则 ，即常数函数的导数为0. 例2 求函数（是正整数）在的导数. 解 ，有， ， ，有 ，即 .特别地，当时，有. 例3 求函数 在的导数.解 ，有， . ，有 ，即 .例4 求正弦函数在的导数.解 ，有， . ，有 （已知， ），即正弦函数在任意都可导.于是它在定义域可导，并且 .同样，余弦函数在定义域也可导，并且 .例5 求对数函数在的导数.解 ，有 ， ， ，有 （已知， ），即对数函数在定义域任意都可导.于是它在可导，并且 .特别是，自然对数函数，有 .注 用导数定义计算正弦函数与对数函数的导数必须分别使用极限与.因此这两个极限在数学分析中才称为重要极限.又因为的选取弧度作单位来表示，才使得前者极限简单.因此，在数学分析中三角函数都采用弧度制.求某些函数在特定点的导数，有时要应用导数定义： .例6 求函数 在点0的导