大学物理第5章刚体的定轴转动课件

1、大学物理第5章刚体的定轴转动1第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动大学物理第5章刚体的定轴转动2 质点质点 刚体刚体回顾与对比回顾与对比质量质量m转动惯量转动惯量zJ速度速度v角速度角速度加速度加速度a角加速度角加速度力矩力矩力力FM牛顿运牛顿运动定律动定律amdtvmdF)(转动定律转动定律zzzJdtJdM)(动能动能221mvEK动能动能221zKJE 动能定理动能定理KbaEsdFA动能定理动能定理KbaEdMA大学物理第5章刚体的定轴转动3动量定理动量定理PdtFtt0动量动量vmP动量守恒动量守恒0, 0PF角动量角动量角动量定理角动量定理质量质量m转动质量转动质量zJzJ

2、L zttzLdtM0角动量角动量守恒守恒0, 0LM牛顿运牛顿运动定律动定律amdtvmdF)(转动定律转动定律zzzJdtJdM)(动能动能221mvEK动能动能221zKJE 动能定理动能定理KbaEsdFA动能定理动能定理KbaEdMA 质点质点 刚体刚体回顾与对比回顾与对比大学物理第5章刚体的定轴转动4可以解决刚体的一般运动（平动加转动）可以解决刚体的一般运动（平动加转动）基本方法：基本方法： 质点系运动定理质点系运动定理 加加 刚体特性刚体特性刚体定轴转动的刚体定轴转动的 动能定理动能定理 角动量定理角动量定理平动：动量定理平动：动量定理cFma 一、一般运动一、一般运动 二、刚体

3、的定轴转动二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法三、解决刚体动力学问题的一般方法大学物理第5章刚体的定轴转动51. 1. 刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型形状和体积不变化形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变2. 2. 自由度自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数 物体的自由度数物体的自由度数sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度

4、减少一、一般运动一、一般运动大学物理第5章刚体的定轴转动63. 一般运动一般运动 = ( (平动平动) )+( (转动转动) )原则原则: 随某点随某点( (基点基点) )的平动的平动 + 过该点的定轴转动过该点的定轴转动 基点任选。基点任选。ABDABD实际实际: 因为对质心因为对质心存在存在“质心运动定理质心运动定理”所以：所以： 基点基点就选就选质心质心图示基点任选图示基点任选刚体的平动刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的任刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行一条直线都始终保持和自身平行 刚体平动刚体平动平动的特点平动的特点ABABA B ABrrAB ABrr

5、(1) (1) 刚体中各质点刚体中各质点的运动情况相同的运动情况相同大学物理第5章刚体的定轴转动7AB 常常矢矢量量0d ABdt (2) (2) 刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动BAvvBAaa大学物理第5章刚体的定轴转动8刚体的平动刚体的平动刚体运动时，在刚体内任意两点连线长度不变，方向不刚体运动时，在刚体内任意两点连线长度不变，方向不变，始终保持和自身平行变，始终保持和自身平行.ABABA B 大学物理第5章刚体的定轴转动9ABrrABBArrBAvvBAaa刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同, ,刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动

6、. .xyzOABArBr1BM2B3BnB1A2A3AnA平动的特点：平动的特点： 描述刚体的平动的自由度：描述刚体的平动的自由度：3 3个个大学物理第5章刚体的定轴转动10二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动1. 各点运动的特点各点运动的特点 在自己的转动平面内作在自己的转动平面内作圆周运动圆周运动2. 描述的物理量描述的物理量任一质点圆周运动的线量和角量的关系任一质点圆周运动的线量和角量的关系转动平面转动平面zrz1m2m12xx1O2O大学物理第5章刚体的定轴转动11刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动 _

7、 _ 刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动大学物理第5章刚体的定轴转动12)(tf角坐标角坐标zIIIIIP 描述刚体绕定轴转动的角量：描述刚体绕定轴转动的角量： rad运动学方程运动学方程刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但在相同时间内转过的角度相同。在相同时间内转过的角度相同。描述刚体绕定轴转动的自由度：描述刚体绕定轴转动的自由度：1 1个个 单位：单位：大学物理第5章刚体的定轴转动13z P过过P P点点 垂直于轴垂直于轴 取一平面取一平面N N称为称为P P点的点的转动平面转动平面NOP x(

8、1) (1) 在过在过P P点的点的转动平面内转动平面内O O点：转轴与转动面的交点点：转轴与转动面的交点过过O O点点 引入一坐标轴引入一坐标轴o ox(2) (2) 刚体转动刚体转动 P P点随之转动点随之转动从从O O点点 引向引向P P点一点一矢径矢径rr与与o ox轴的夹角为轴的夹角为 : 称为称为角坐标角坐标大学物理第5章刚体的定轴转动14(3) (3) t t时刻时刻 刚体刚体 P P点点 角坐标角坐标 1 1= = t+t+ t t时刻时刻 角坐标角坐标 2 2= = + + t t时间内时间内 转过的角度转过的角度 称为角位移称为角位移规定：选一转轴的正方向，规定：选一转轴的

9、正方向，右手定则：拇指指向转轴方向右手定则：拇指指向转轴方向 为正为正 (4) (4) 刚体角速度刚体角速度ddt 有正负，有正负，右手定则右手定则: :所定方向与转轴正向一致为正，反之为负所定方向与转轴正向一致为正，反之为负大学物理第5章刚体的定轴转动15(5) (5) 刚体角刚体角加加速度速度ddt 同向时，加速转动同向时，加速转动 反向时，减速转动反向时，减速转动(6) (6) 角量与线量的关系角量与线量的关系角量角量 线量线量 at an = r at = r an = 2r= r 2 2注：注：刚体上任意一点，在转动过程中刚体上任意一点，在转动过程中角量角量 是相同的是相同的弧弧度度

10、 秒秒大学物理第5章刚体的定轴转动16刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。刚体平面平行运动刚体平面平行运动例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮轴的平动与绕轮轴的转动的组合。轴的平动与绕轮轴的转动的组合。刚体平面运动可看做刚体的刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成平动与定轴转动的合成。描述刚体平面运动的自由度：描述刚体平面运动的自由度：3个个大学物理第5章刚体的定轴转动17定点转动定点转动刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一瞬时转轴的转动，称作瞬时转

11、轴的转动，称作定点转动定点转动。描述定点转动的自由度：描述定点转动的自由度：3个个大学物理第5章刚体的定轴转动18刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+大学物理第5章刚体的定轴转动19三、解决刚体动力学问题的一般方法三、解决刚体动力学问题的一般方法 原则原则:质点系的三个定理质点系的三个定理利用刚体的特征化简到方便形式利用刚体的特征化简到方便形式( 简便简便 好记好记)1.刚体的平动刚体的平动 质点模型质点模型 运用质心运动定理运用质心运动定理 2.刚体的定轴转动刚体的定轴转动 利用刚体的模型利用刚体的模型(无形变无形变) 化简角动量定理化简角动量定理 功能

12、原理功能原理 方便的形式方便的形式动量守恒、动量守恒、能量守恒、能量守恒、动量矩守恒动量矩守恒大学物理第5章刚体的定轴转动20 一飞轮的半径为一飞轮的半径为 0.2m, 转速为转速为150rmin, 经经30s均匀均匀 减速后减速后停止停止. 求：（求：（1）角加速度和飞轮转的圈数）角加速度和飞轮转的圈数,（2）t = 6s 时的角时的角速度速度, 飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度.解：解：10srad5601502 10srad63050- t飞轮在飞轮在30s内转过的角度为：内转过的角度为：rad752-202飞轮在飞轮在30s内

13、转过的圈数为：内转过的圈数为：r5 .372752N例例1 （1） )(2 21 02022000ttt大学物理第5章刚体的定轴转动21(2) t = 6 s 时的角速度：时的角速度：rad/s40t边缘线速度：边缘线速度：m/s5 .2rv切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：2sm105. 0ra222sm6 .31/rranv 设圆柱型电机转子由静止经设圆柱型电机转子由静止经300s后达后达18000r/min，已知转子的已知转子的角加速度角加速度与时间成正比与时间成正比. 求求: 转子在这段时间内转过的圈数转子在这段时间内转过的圈数.因角加速度因角加速度随时间而增大，设：随时

14、间而增大，设：= ct ddctt由角加速度的定义由角加速度的定义例例2 解：解：tctdd大学物理第5章刚体的定轴转动22由给定条件，由给定条件，322rad7530060022stc由角速度的定义，则任意由角速度的定义，则任意时刻的角速度可写为：时刻的角速度可写为：2150ddtt d150d020ttt得到：得到：4310330045022N转子转数：转子转数：3450 t对上式两边积分得对上式两边积分得 dd00tttc221ct大学物理第5章刚体的定轴转动23改变质点的运动状态改变质点的运动状态质点获得加速度质点获得加速度改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得

15、角加速度力对点的力矩力对点的力矩力力 力矩力矩 O .FrMOFroMsinrFMO大小：大小： 方向：指向由右手螺旋法则确定，垂直于方向：指向由右手螺旋法则确定，垂直于r 和和F确定的平面确定的平面. .回顾大学物理第5章刚体的定轴转动24 ( (质点系角动量定理微分形式的简化质点系角动量定理微分形式的简化) ) 质点系角动量定理微分形式：质点系角动量定理微分形式：LMtdd5.2 1. 力力 对对 点的力矩点的力矩FOFAxyroxyzMr FM x M y M z 对于过对于过O点点Z 轴，力矩可分解为两个分量轴，力矩可分解为两个分量()zzMMrFF OOMzzFFF大学物理第5章刚体

16、的定轴转动25()OzzMMMrFF ziMrF对于转轴对于转轴z，sinziMrFF hzrFAxyrOzzFFFiOirnFFh()()()()iizzzizrrFFFrFrrF/F平行于平行于z z轴轴不产生对不产生对z z轴的力矩轴的力矩F在转动平面内在转动平面内产生对产生对z z轴的力矩轴的力矩力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于该力对该轴的力矩等于该力对该轴的力矩大学物理第5章刚体的定轴转动26xyzLr Pr mL x L yL z v=质点对定点质点对定点o的动量矩的动量矩(角动量角动量)对对z轴的轴的动量矩动量矩izii

17、iLrm因为各质元角动量方向相同，因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加2. 任一质量元的定轴角动量大小为任一质量元的定轴角动量大小为iiLLii iirmimOLO rPSiir因为因为2()i iiLmr2i iiJmr定义定义刚体对定轴刚体对定轴的转动惯量的转动惯量LJ刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量大学物理第5章刚体的定轴转动27LJ3. 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律dLdMJdtdtMJ定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动的牛顿第二定律应用

18、转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。Fma2i iiJmr刚体对定轴的转动惯量刚体对定轴的转动惯量刚体对定轴的角动量刚体对定轴的角动量大学物理第5章刚体的定轴转动28FOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳端，的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度试计算飞轮的角加速度解解 (1)JFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 两者区别两者区别4、应用转动定律解题、应用转动定律解题mgT例例1 求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮

19、边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计不计 (见图见图) .2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T大学物理第5章刚体的定轴转动29一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 m ，半径为，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分，不能伸长的轻绳两边分别系别系 m1 和和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动. （设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）例例21m2mm求求 滑轮转动角

20、速度随时间变化的规律滑轮转动角速度随时间变化的规律.解解 以以m1 ， m2 ， m 为研究对象为研究对象, , 受力分析受力分析gm11Tgm22Tr1T2T1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa21rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210滑轮滑轮 m：物体物体 m1：物体物体 m2：大学物理第5章刚体的定轴转动30 一根长为一根长为l、质量为、质量为 m 的均匀细直棒的均匀细直棒,其一端有一固定的其一端有一固定的光滑水平轴光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动因而可以在竖直平面内转动.最初棒静止在竖最初棒静止在竖直位置直位置,由于微小扰动由于

21、微小扰动,在重力作用下由静止开始转动在重力作用下由静止开始转动. 求求: 它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.解：解：棒下摆为加速过程棒下摆为加速过程,外力矩为重力外力矩为重力 对对O的力矩的力矩. 重力作用在棒重心重力作用在棒重心 , 当棒当棒处在下摆处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：sin21mglMPl /2Ol重力对整个棒的合力矩与全部重力集重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样中作用在质心所产生的力矩一样. . 因因此棒绕轴此棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：后面讲）(312mlJ 例例3 J大学物理第5章刚体的定轴转动3

22、1lgmlmglJM2sin331sin212棒处于棒处于角时：角时：角加速度：角加速度：t dd dd dd ddddttdsin23d dlg作变换：作变换：00d23dsinlg两边积分：两边积分：cos13lg角速度：角速度：大学物理第5章刚体的定轴转动325.3 一、定义一、定义二、二、J与哪些量有关与哪些量有关三、计算三、计算四、正交轴定理四、正交轴定理大学物理第5章刚体的定轴转动33对于固定转轴的对于固定转轴的转动惯量转动惯量22()i imiJm rJr dm1m2m3m1r2r3rz321ii iiJmr例例 如图所示质点系如图所示质点系2221 12 23 3mrm rm

23、r J 的物理意义：的物理意义：转动中物体惯性的量度。转动中物体惯性的量度。一、定义一、定义大学物理第5章刚体的定轴转动34质元的选取和计算方法：质元的选取和计算方法：lmddsmddVmdd质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布、 分别为刚体质量分布的分别为刚体质量分布的线密度、面密度和体密度线密度、面密度和体密度.dm为质量元为质量元,简称质元简称质元. r如果质点系的质量连续分布，如果质点系的质量连续分布，VmrJd2大学物理第5章刚体的定轴转动35v 二二 讨论：确定转动惯量的三个要素讨论：确定转动惯量的三个要素 (1) (1)总质量总质量(2)(2)

24、质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置例：比较等长的细木棒和细铁棒绕过端点垂直于细棒的转轴的轴例：比较等长的细木棒和细铁棒绕过端点垂直于细棒的转轴的轴转动惯量。转动惯量。LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木木铁铁MM 1、J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 木铁JJ大学物理第5章刚体的定轴转动36例：圆环绕过中心垂直于环面轴旋转的转动惯量例：圆环绕过中心垂直于环面轴旋转的转动惯量例：圆盘绕过中心例：圆盘绕过中心垂直于盘面垂直于盘面轴旋转的转动惯量轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRmROmrdrsmddRmRmr

25、rRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2d222R2、 J 与质量分布有关与质量分布有关 大学物理第5章刚体的定轴转动37OLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM22/2/2121dMLxxJLLz3、 J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 因此刚体的总质量、质量分布和转轴的位置均影响刚体的转动惯量因此刚体的总质量、质量分布和转轴的位置均影响刚体的转动惯量同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。 大学物理第5章刚体的定轴转动38(2) 质量一定，与质量分布有关。质量一定，与质量分布有关。J 与那些量有关与那些量有关(1)(1)与刚体

26、总质量有关与刚体总质量有关，J大。大。大，大，Jm(3) J 和转轴有关和转轴有关平行轴定理平行轴定理三、计算三、计算 1) 对称的对称的 简单的简单的 查表查表 2) 平行轴定理平行轴定理 (parallel axis theorem)2ocJJmdmcdo在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小.大学物理第5章刚体的定轴转动39odCmcoJcJdOLxdxMz2231)2(MLLMJJzzLOxdxM2222121dMLxxJLLz/z刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量. 刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴. 两轴间垂直距离两轴间垂直距

27、离. 平行轴定理平行轴定理例子：例子： 2ocJJmd大学物理第5章刚体的定轴转动40J 和转轴有关和转轴有关 :同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 oo平行轴平行轴2112Jml2221111243Jmlmlml214Jmroooo212Jmroo223JmR225JmR大学物理第5章刚体的定轴转动41薄板状刚体对板面内两正交轴的转动惯量之和等于该刚体薄板状刚体对板面内两正交轴的转动惯量之和等于该刚体对通过两轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量。这个关系称为对通过两轴交点且垂直于板面的轴的转动惯量。这个关系称为正交轴定理。证明如下：如图。正交轴定理。证明

28、如下：如图。2xiiiJm y2yiiiJm x22()xyiiiiJJm xyxyzJJJ此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内此定理只适用于平面薄板状的物体，并限于板内的两轴相互垂直，的两轴相互垂直，Z 轴与板面正交。轴与板面正交。2i iimrimixiyxyzirO四、正交轴定理四、正交轴定理( 了解了解)大学物理第5章刚体的定轴转动42竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？大学物理第5章刚体的定轴转动43三、三、J 的计算的计算（1）按定义计算）按定义计算求长为求长为L质量为质量为m 的均匀细棒对图中

29、不同轴的转动惯量的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量.ABLxdm解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm = dx9d23232/mLxxJLLA12/d2222mLxxJLLCBL/2L/2Cxdm2222913611216mLmLmLLmJJCA例例1 1： 大学物理第5章刚体的定轴转动44 求质量为求质量为m、半径为、半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心环平面垂直并通过圆心.解：解：mRJd2对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同. .ROdm例例2 2mRRlR202dmRJd22mR

30、RhRhmRhRRh22d2202dh大学物理第5章刚体的定轴转动45 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量的均匀圆盘的转动惯量.轴轴与盘平面垂直并通过盘心与盘平面垂直并通过盘心.Rordrdm解：解：lrrmd2drlrmrJd2dd3224032121d2dmRlRrlrJJRlRm2例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2 .例例3 .圆环质量圆环质量:圆环转动惯量圆环转动惯量:圆盘转动惯量圆盘转动惯量:圆盘密度圆盘密度:mRJd212221mRhRhRmRhRRh22202221d21大学物理第5章刚体的定轴转

31、动46 例例4：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？ (棒长为棒长为L、圆盘半径为、圆盘半径为R）2131LmJLL221RmJoo2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴

32、的转动惯量：解：解：大学物理第5章刚体的定轴转动47练习练习1 如图，一质量为如图，一质量为 m 半径为半径为 R 的实心球，求绕过的实心球，求绕过球心的转轴的转动惯量。球心的转轴的转动惯量。解解：343mRdmdV2dVrdy2dmr dy 212dJdm r取有一定厚度的圆盘，圆盘对取有一定厚度的圆盘，圆盘对O 轴的转动惯量轴的转动惯量ryROdy412rdy222rRy变量代换变量代换2221()2RRJRydy42241(2)2RRRR yydy225JmR得得25GrR回旋半径回旋半径大学物理第5章刚体的定轴转动48练习练习2 已知定滑轮已知定滑轮解解:受力图受力图RM、轻绳（不伸长

33、）无相对滑动。、轻绳（不伸长）无相对滑动。求求：1）物体加速度）物体加速度a；2）绳子的张力）绳子的张力T；3 ) 滑轮转动的角加速度滑轮转动的角加速度 。1T1m g2Ta 213T RT RJ 2222m gTm a1m2m21mm设设2T2m ga 1111Tm gm a1TaR212JMR能自行求解吗？能自行求解吗？大学物理第5章刚体的定轴转动49练习练习3 已知：如图一质量为已知：如图一质量为 ，长为，长为 的匀质细杆，可的匀质细杆，可绕过端点绕过端点 与杆垂直的水平轴转动。与杆垂直的水平轴转动。 杆水平放置，然杆水平放置，然后释放。求：杆转到和竖直方向成后释放。求：杆转到和竖直方向

34、成 时，时，mlO0t ，030？解：研究对象解：研究对象杆。杆。0OGmgM重重力力矩矩受受力力，21cos23ldmgmldt030mgOcos2lMmg；MJ213dmldt转动：转动：O O点支持力矩点支持力矩cosg23dld23ddlddt003cos2gddl 23sin2gl0033360sin602ggll取取，代代入入，0390gl，。大学物理第5章刚体的定轴转动50动能定理动能定理 221122KiiiEmJ1）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能KAAE内外质点系动能定理质点系动能定理kE 222i iimr2212i iimrkiE212

35、iiimiirJ、2i iJmr对同一转轴对同一转轴5.4 大学物理第5章刚体的定轴转动512） 用角量表示的用角量表示的力做功的形式力做功的形式AFsMddd3） 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理形式动能定理形式 0A 内rimddSF21zOdA dSrd0coscos(90)sin dA F dScosFdSsinFrdMd内力矩内力矩不做功不做功力矩的功和动能关系力矩的功和动能关系A 21J d 作用于刚体合（外）力矩的功等效于刚体动能的增量作用于刚体合（外）力矩的功等效于刚体动能的增量刚体动能定理。刚体动能定理。MdJd dJddt22211122JJ大学物理第5章刚体的定轴转动

36、52系统系统- - 刚体刚体 + + 地球地球212cEmghJkpEEE机机械械能能。刚体势能用质心势能表示。刚体势能用质心势能表示。机械能守恒的条件仍为机械能守恒的条件仍为0AA外力非保力，E 恒恒量量4）机械能守恒）机械能守恒例例1 在阿特武德机中装在光滑水平轴承的在阿特武德机中装在光滑水平轴承的滑轮半径为滑轮半径为 ，一边挂一，一边挂一 的物的物体体 ，另一边挂，另一边挂 。当当 由静止释放后，在由静止释放后，在 内下降了内下降了 试用转动定理与能量关系两种试用转动定理与能量关系两种方法确定滑轮的转动惯量。方法确定滑轮的转动惯量。25 10Rm 10.46mkg20.5mkg2m0.5

37、s0.75hm1m2mhJ大学物理第5章刚体的定轴转动5312,R又又212hatat而而2,ht21()mm gh212222()JhmmRt222211 122111()0222mm ghJmm2212211()22JmmR解解 用能量守恒：以初始时位置的势能为零用能量守恒：以初始时位置的势能为零2221212()()(2 /)(2 /)Rmm gmmh tJh t1m2mhhJ大学物理第5章刚体的定轴转动54解解 分析棒受力：分析棒受力： ， 点的支撑点的支撑力力 （变力，大小方向均变），轴（变力，大小方向均变），轴与棒摩擦力略。与棒摩擦力略。mgON例例2 已知质量为已知质量为 长为长

38、为 细棒，绕过细棒，绕过 点的水平光滑轴在竖点的水平光滑轴在竖直面内转动，直面内转动， 点距点距 点点 ，棒由静止位置开始释放，求：，棒由静止位置开始释放，求：（1）棒在水平位置刚释放时的角加速度。）棒在水平位置刚释放时的角加速度。（2）杆转到竖直位置时的角速度和角加速度。）杆转到竖直位置时的角速度和角加速度。（3）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度。）棒在竖直位置时，棒的两端和中点的速度和加速度。mlO3lOA/ 3lACCmgOB0PE 对对 点轴产生力矩的只有点轴产生力矩的只有 ， 对棒转动不做功（对棒转动不做功（ 对棒有作对棒有作用是变力用是变力,但但 ）。）。0NMOmgN

39、N1MJ（）求求 ，2/6CJJm OCOCl由平行轴定理由平行轴定理大学物理第5章刚体的定轴转动55221/612Jmlml166lMmgmgl219mlMJ32gl62lmg（）机机械械能能守守恒恒，212J22118ml3gl（用重力矩做功也可以）。过竖直位置瞬间，作用（用重力矩做功也可以）。过竖直位置瞬间，作用于刚体的力矩为零。此时于刚体的力矩为零。此时03CbCbAAaaa（）求求垂垂直直位位置置的的， ，/12COCgl4/3bObgl/3AOAgl此时加速度为向心加速度。此时加速度为向心加速度。00ta，tnara 2/2CaOCg22 /32Balg2/3Aalg/ 3lACC

40、mgOB0PE 大学物理第5章刚体的定轴转动56质点的角动量质点的角动量刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律质点的角动量定理质点的角动量定理刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律质点质点刚体刚体刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理OLrmvdLM dt0 ML，常zzLJzzdLMdt外0 zzML，常量5.5 大学物理第5章刚体的定轴转动57一、刚体绕定轴转动的动量矩一、刚体绕定轴转动的动量矩zii iiLmr2()i imrzJ刚体上任一质点刚体上任一质点 ，它对，它对 轴的动量矩为轴的动量矩为 ，方向沿方向沿 轴，整个刚体

41、对轴，整个刚体对 轴的动量矩轴的动量矩()ii iiimr rimzzLzzimiriz()()ddrmrmrdtddLMtdm rdtdd JJdtdtrdt v)00()()tztztztJJM dt0tztM dt称为在时间称为在时间 内的冲量矩，它表示了力矩内的冲量矩，它表示了力矩在一段时间间隔内的累积效应。在一段时间间隔内的累积效应。0tt动量矩定理不仅适用于刚体，而且动量矩定理不仅适用于刚体，而且适用于绕定轴转动的可变形物体。适用于绕定轴转动的可变形物体。微分形式微分形式积分形式积分形式大学物理第5章刚体的定轴转动582. 角动量守恒定律角动量守恒定律0const.vectorML

42、00iiiiJJ由多个刚体组由多个刚体组成的刚体体系成的刚体体系当物体所受的合当物体所受的合外力矩为零时，外力矩为零时，这个结论是普遍适用的，也可以不是刚体而是其他质点系。这个结论是普遍适用的，也可以不是刚体而是其他质点系。分以下几种情况：分以下几种情况：（1）对刚体，）对刚体， 不变不变 刚体作匀角速转动，又叫刚体作匀角速转动，又叫惯性转动惯性转动。这一结果与质点。这一结果与质点的惯性运动相对应。的惯性运动相对应。zJ，恒恒定定（2）在一孤立系统中，如果系统某一部分的角动量因内在）在一孤立系统中，如果系统某一部分的角动量因内在相互作用而有所改变时，系统的其余部分必须出现一等量相互作用而有所改

43、变时，系统的其余部分必须出现一等量（但反向）角动量改变，使（但反向）角动量改变，使总角动量保持守恒总角动量保持守恒。（3） 同时改变，但乘积保持不变。同时改变，但乘积保持不变。zJ、11ziizJJ大学物理第5章刚体的定轴转动59大学物理第5章刚体的定轴转动60演示演示花样滑冰花样滑冰 跳水跳水mm1r2r大学物理第5章刚体的定轴转动61例例1 人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地心在其一焦点O上，如图所示。已知轨道的近地点上，如图所示。已知轨道的近地点P 距地面距地面145km。远地。远地点点A距地面距地面151km，地球半径，地球半径R=6400km

44、。试求卫星在近地。试求卫星在近地点点P的动能与其在远地点的动能与其在远地点A的动能的比值。的动能的比值。解解 设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 ，人造卫星对，人造卫星对 点的角动点的角动量守恒。量守恒。mOP PA AmrmrPAAPrr而卫星在而卫星在P、A两点两点的动能之比为：的动能之比为：22PAKPKAEEPAPrArPAOKPKAEE22APrr2222()(6400 161)1.01()(6400 145)APRhRh大学物理第5章刚体的定轴转动62例例2 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)。解解：过程过程1 质点与细棒相碰撞。质点与细棒相碰撞。

45、碰撞过程碰撞过程中系统对中系统对O 点的合力矩为点的合力矩为0M oM lm0设碰撞完全非弹性。设碰撞完全非弹性。求求：棒摆的最大角度。：棒摆的最大角度。所以，系统对所以，系统对O点的角动量守恒，即点的角动量守恒，即12LL 220113mlMlml 2221 111 cos1 cos22 32MlmlMglmgl细棒势能细棒势能过程过程2 质点、细棒上摆，系统中包括地球，质点、细棒上摆，系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点设末态为势能零点质点势能质点势能大学物理第5章刚体的定轴转动63例例3 有一细棒长为有一细棒长为 质量为

46、质量为 均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为均匀分布，静止放在滑动摩擦系数为 的水的水平桌面上，它可绕通过其端点平桌面上，它可绕通过其端点 ，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，另有一水平运动的小滑块，质量为一水平运动的小滑块，质量为 ，以水平速度，以水平速度 从左侧垂直与棒的另一端从左侧垂直与棒的另一端 作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始作完全弹性碰撞，碰撞时间极短（可忽略摩擦）。求从细棒在碰撞后开始转动到停止转动过程中所经历的时间。转动到停止转动过程中所经历的时间。lMOm解：合外力矩：解：合外力矩：0M合合外外力力设动量矩向上的方向

47、为正，碰撞瞬间：设动量矩向上的方向为正，碰撞瞬间：m lmulJ 222111222mJmuo0L 机械能守恒机械能守恒(3 )3MmuMm63mMm在棒上取质量元在棒上取质量元 ，离轴，离轴 的距离为的距离为 dmOx0lfMgdm x12Mgl 0lgx dx又由动量矩定理又由动量矩定理0tfMdt fM t0J2/3JMl4(3 )m ltg Mm 大学物理第5章刚体的定轴转动64大学物理第5章刚体的定轴转动65二、基本特征二、基本特征回转仪回转仪 绕对称轴高速旋转绕对称轴高速旋转 陀螺陀螺 1)对称轴对称轴 高速高速 2)定点定点 外力对定点求力矩外力对定点求力矩 对称轴绕定点旋转对称

48、轴绕定点旋转L三、解释三、解释 1）必须具有对称轴必须具有对称轴 2）高速旋转高速旋转 重力对定点重力对定点O 的力矩的力矩0cMrmg0ML0LMtdd每每瞬时瞬时外力矩只改变角动量的外力矩只改变角动量的方向方向不改变角动量的大小不改变角动量的大小ocrmg一、进动现象一、进动现象已经自转的物体在外力矩的作用下，自已经自转的物体在外力矩的作用下，自转轴绕另一轴转动的现象称为进动。转轴绕另一轴转动的现象称为进动。5.6 刚体的定点运动刚体的定点运动 进动进动 大学物理第5章刚体的定轴转动66OLmgMdL陀螺的自旋角动量为陀螺的自旋角动量为LJMdtdL/dL M当当ML时时则则只改变方向，不

49、改变大小（进动）只改变方向，不改变大小（进动）L角动量定理角动量定理大学物理第5章刚体的定轴转动67OLsinLd进动角速度进动角速度sindLLd 而且而且MdtdLsinM dtdLLd 1sinsinMMddtJL 以上只是近似讨论，只适用高速自转，即以上只是近似讨论，只适用高速自转，即角动量定理角动量定理Ld大学物理第5章刚体的定轴转动68万万向向支支架架基基 座座回转体回转体（转动惯量转动惯量 I）AABBOO陀螺仪定向原理陀螺仪定向原理应用应用不受外力矩作用高速不受外力矩作用高速旋转的陀螺，由于旋转的陀螺，由于角角动量守恒动量守恒，因而其转，因而其转动轴的方向不变。动轴的方向不变。

50、自由陀螺的定向特性自由陀螺的定向特性在航天、航空等领域在航天、航空等领域中具有重要的意义。中具有重要的意义。大学物理第5章刚体的定轴转动69岁差（进动）岁差（进动）2753027530年周期年周期大学物理第5章刚体的定轴转动70刚体力学小结刚体力学小结描写刚体转动的物理量描写刚体转动的物理量1. 角量：角量： 线量：线量： rra微积分关系微积分关系2. 角量与线量的关系角量与线量的关系 srrar2nar3. 方向：方向： 右手螺旋法右手螺旋法与与的关系：的关系：r4. 匀角加速转动公式匀角加速转动公式 2012tt0t22002 () 大学物理第5章刚体的定轴转动71二、动力学二、动力学1

51、. 基本概念：基本概念： 力矩：力矩： Mr F 转动惯量：转动惯量： 2i iJmr2Jr dm 转动动能：转动动能： 212kEJ 转动角动量：转动角动量： Lrm 定轴转动：定轴转动： LJ（定点、定轴）（定点、定轴） （定点）（定点） 2. 基本定理：基本定理： 转动定律：转动定律： MJ（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）大学物理第5章刚体的定轴转动72 转动动能定理：转动动能定理： 212201122MdJJ 角动量定理：角动量定理： 2100ttMdtJJ力矩的持续力矩的持续作用规律作用规律 功能原理：功能原理： 0AAEE外非 守恒定律：守恒定律：

52、0M外时，时， 守恒守恒 L0AA外非 时，时， 守恒守恒 E3. 解题思路：解题思路： 平动部分：平动部分： 分析外力分析外力Fma 转动部分：转动部分： 分析力矩分析力矩MJ 平动与转动的联系：平动与转动的联系： 角量和线量的关系角量和线量的关系（隔离分析方法）（隔离分析方法）大学物理第5章刚体的定轴转动73 如图所示如图所示例例1解析：解析：1M1R2R2M1m2m（平动转动）（平动转动）隔离分析受力（矩）隔离分析受力（矩）规定正方向：逆时针规定正方向：逆时针 平动：分析受力平动：分析受力1m g1T111m gTm a2m g2T222Tm gm a 转动：分析力矩转动：分析力矩3T1T2113111112T RT RM R2T2322222212T RT RM R 线量与角量关系：线量与角量关系：1122aRR六个未知数，六个方六个未知数，六个方程，可求解程，可求解T1，T2，T3，a， 1， 2大学物理第5章刚体的定轴转动744. 力矩的瞬时作用规律力矩的瞬时作用规律 力矩的持续作用规律力矩的持续作用规律 守恒定律守恒定律（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析某一时刻合外力矩与转动状态的关系）（分析过程特点，选取始末状态）（分析过程特点，选取始末状态） （判断守恒条件）（判断守恒条件）例例ABAB