第六章matlabppt课件

1、第 6章 在信号与系统中的应用例6.1 连续信号的MATLAB描述 （1单位冲激函数 （2单位阶跃函数： （3复指数函数11111( )()0tttx tt t 其余001)()(1112ttttttutxtutx)j(e)(3例6.2 LTI系统的零输入响应 n阶线性时不变连续系统的微分方程 已知y及其各阶导数的初始值为y(0),y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。解：方程的解为 p1, p2,pn是方程a1n+a2n-1+ an+ an+1 =0的根, C1，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。 ,dddddddddd111121ubtubtubyatyatyatyam

2、mmmnnnnntpntptpnCCCtyeee)(2121例6.2 LTI系统的零输入响应(续) C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0) p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0011212111DyCpCpCpnnnnnn0100211121121DD111yyyCCCppppppnnnnnnn例6.2 LTI系统的零输入响应(续) 即 VC = Y0 其解为 C =V Y0 式中 V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander。调用方法: V=vander(p)D,D,;,0100021yyyCCCnnYC1121121111nnnnnppppppV例6.3 n阶L

3、TI系统的冲激响应 n阶微分方程，写成系统函数为：冲击响应就是H(s)的拉普拉斯反变换，可以把H(s)展开为极点留数式。 其反变换为11211121)()()(nnnnmmmmasasasabsbsbsbsUsYsHnkkkpsrsH1)(nktpkkrth1e)(例6.4 卷积的计算 根据卷积公式： 因此编程的过程为： （1写出h(t)的MATLAB表达式； （2写出u(t)的MATLAB表达式； （3利用MATLAB的卷积语句y=conv(u，h)求解 （4画曲线plot(t,y)。tthuty 0 d)()()(例6.5 LTI系统的零状态响应 设二阶连续系统 求其冲激响应。若输入为u

4、= 3t + cos (0.1t)，求其零状态响应y(t)。 解：特征方程 2+2 + 8 = 0 求出其特征根为p1，p2及相应的留数r1，r2，则冲击响应为： 输出y(t)可用输入u(t)与冲击响应h(t)的卷积求得。 uytyty8dd2dd22tptpererth2121)(例6.6 有重极点时的计算 n级放大器，每级的传递函数均为0/(s+0)，求阶跃响应，画出n不同时的波形和频率特性。解：阶跃信号下系统的输出为求Y(s)的拉普拉斯反变换，即得到阶跃响应y(t)。遇到的困难是重极点，公式复杂，且结果不稳定。为了避开重极点问题，可以有意把极点拉开一些，例如设n个极点散布在-0.950到

5、1.050之间，那样也就可当非重极点来列程序。 001( )()nnY sss例6.7 方波分解为多次正弦波之和 图示的周期性方波，其傅里叶级数为 分别计算 直到9次谐波，并做图。图6.7-1 输入周期性方波-xtkktttf) 12sin(1213sin31sin4)()3sin31(sin4)(sin4)(31tttfttf例6.8 全波整流信号的频谱 周期信号f(t)可展开为直流与各次谐波之和，即 其中， 是基波角频率，T为周期。 全波整流电压Us(t)的波形如图所示。用傅里叶级数可求得其偶次谐波幅值k=2,4,6, 奇次谐波为零。)cos(2)(10kkkmtkAAtfT202441,

6、1mmkmUUAAk例6.8 全波整流信号功率续） 信号每周期的有效值Us1可由数字积分求得 取前n项分量的功率求出的有效值Us2为 用可以衡量所取谐波是否包含了原波形的主体。dsin1dsin21dsin1 0 22 0 2 0 2s1mmTmUUttUTU31222s141212142nmnUU1122ssssUUUU为的误差例6.9 周期信号的滤波 图示滤波电路，如激励电压us(t)为全波整流信号，求负载R两端的直流和各次谐波分量。 解：输入信号为多频的 网络的输出由分压确定LkkkUZZZZZZZZUZZZZZZZZZUkkkkkkkkkkkkkkkkkRs31322132s32321

7、3232112s2cos141214)(nmtnnUtu例6.9 周期信号的滤波(续) 信号幅度随频率而变 元件和系统函数都是频率的函数 因此输出电压为 由此式可求得UR的各次谐波。, 3 , 2 , 121411122snnknkUk ,111231111jj2,jj,2kkkZkLnL ZZRkCnC CkRLRkCLUCkRUkkR11s1jj例6.10 调幅信号通过带通滤波器 已知带通滤波器的系统函数为 激励电压u1(t) = (1+cost ) cos (100t) 求1带通滤器的频率响应； （2输出的稳态响应u2(t)并画出波形。 解：将激励信号u1(t)展开为傅立叶级数 2212

8、100) 1(2)()()(sssUsUsH)101cos(21)100cos()99cos(21)(1ttttu例6.10 调幅信号通过滤波器(续) 带通滤波器的频率响应为 可画出其频率响应，并求各个分量通过滤波器后的幅度和相位变化，再将各分量叠合，得到 按此信号作出图形与原有信号比较。22j100) 1j (j2)()j (ssHH2222( )(99)cos(99(99)(100)cos(100(100)(101)cos(101(101)u tUtUtUt例6.11 方波的频谱分析 将积分上下限定为010s，并将t分成N等份，用求和代替积分。这样，傅立叶变换式可写为 求和可以用f(t)行

9、向量乘以e-jtn列向量来实现。式中t是t的增量，在程序中，用dt表示。12j1jjj12(j )( )e ( ),( ),( )e,e,einNtiitttnFf ttf tf tf tt例6.11 方波的频谱分析(续) 求不同处的F值，都用同一公式，这就可以利用MATLAB中的元素群运算。将设为一个行数组，代入上式，则可写为程序中用w表示） 其中，F是与w等长的行向量，t 是列向量，w是行向量，t *w是一矩阵，其行数与t相同，列数与w相同。这样，此式就完成了傅里叶变换。 类似地也可得到傅里叶逆变换表示式为 dt)wtjexp(fF/piwdt)wexp(jFf例6.11 方波的频谱分析(

10、续) 算得的时域信号波形及其频谱图如右。 下图为采样周期较低时的情况，有明显的频率泄漏。-例6.12 信号通过滤波器 计算幅度为1，宽度为5s的矩形脉冲同例6.11通过下列滤波器的响应。 （1理想低通滤波器， （2低通滤波器 解： 滤波器输出的频谱Y(j)=F(j)H(j) 其时间响应y(t)是Y(j)的傅里叶反变换。10,10010101)j (H100020020500)(23ssssH例6.12 信号通过滤波器(续)（1理想低通滤波器的截止角频率c=10，故只取F(j)中 = 010的部分，用MATLAB语言表述，输出频率分量对应的的下标数组为n2 = find (w= wc) &

11、; (w= wc)其对应的频率数组为w2 = w(n2)频段内的频谱数组为F2 = F(n2:)，它就是滤波后的频谱数组Y2，其逆变换即y2 = F2*exp(j*n2*t)/pi*dw例6.12 信号通过滤波器(续)（2三阶低通滤波器的频率响应滤波器的输出为)200( j)201000(5001000)j (200)j (20)j (500)()j (3223jssHH)j ()j ()(12FHFty例6.13 离散信号的MATLAB表述 编写MATLAB程序，产生下列基本脉冲序列：（1单位脉冲序列，起点n0，终点nf，在ns处有一单位脉冲(n0nsnf)。n1=n0:nf; x1=zer

12、os(1,ns-n0),1,zeros(1,nf-ns);用逻辑关系编程：n1 = n0:nf; x1=(n1-ns)=0 （2单位阶跃序列，起点n0，终点nf，在ns前为0,在ns后为1(n0nsnf)。 n2=n0:nf;x2=zeros(1,ns-n0),ones(1,nf-ns+1); （3复数指数序列。 n3 = n0:nf; x3=exp(-0.2+0.5j)*n3); 例6.14 解差分方程的递推程序 描述线性时不变离散系统的差分方程为 编写解上述方程的通用程序。 解： 建模 可用递推法解差分方程，移项如下： 于是得y(n)=(b*us - a(2:na)*ys)/a(1) 这里

13、需要n = 0之前的y和u， 而MATLAB变量下标不能取负数。需要作一些技巧性的处理。 11( )(1)( )(1)naanbba y na y n nbu nb u n na(1)y(n)b(1) u(n)b(nb) u(nnb1)a(2)y(n1)a(na)y(nna1)例6.14 递推解差分方程(续) 本例中的处理方法是另设两个变量ym和um，使ym(k) = ys(k-na+1)，um(k) = us(k-na+1)，这相当于把y和u右移na-1个序号，故ym和um的第1到na-1位相当于y和u在起点之前的初值。 注意在程序中，随着计算点的右移，要随时更新相应于公式中的向量us和ys

14、。 例6.15 离散系统对输入的响应 描述LTI系统的差分方程为 y(n) - y(n-1) + 0.9y(n-2) - 0.5y(n-3) = 5u(n) - 2u(n-1) + 2u(n-2) （1如已知y(0) = -2，y(-1) = 2，y(-2) = -0.5，求零输入的响应，计算20步。 （2求单位脉冲的响应h(n)，计算20步。 （3求单位阶跃的响应g(n)，计算20步。 解：利用例6.14的通用程序 （1令us = zeros(1，20); ym = -1/2， 2，-2； （2） 令us = 1，zeros(1，19) ；ym = 0，0，0 （3令um = ones (1

15、, 20)； ym = 0，0，0； 例6.16 二阶数字滤波器的频响。 低通滤波器的系统函数传递函数为 求其频率响应。 解：利用多项式求值的函数polyval，分别求出分子分母多项式在z=exp(jw)时的值，求其比值。它是对应于w数组的复数数组，其幅值为幅特性，相角为相特性。然后绘图。也可用信号处理工具箱中的freqz函数快速求解，但为了弄清原理，这里不提倡。 )22()22(12)(22zzzzH6.4.1 模型的典型表达式模型的典型表达式1连续系统 状态空间型设x为状态变量，u为输入，y为输出，系统的状态方程为：如果系统是n阶的，输入有nu个，输出有ny个，则A为nn阶，B为nnu阶，

16、C为nyn阶，而D为nynu阶矩阵，对单输入单输出(SISO)系统，ny=nu=1。 DuCxyBuAxx6.4.1 模型的典型表达式模型的典型表达式(续续) 传递函数型单输入单输出(SISO)n阶系统的传递函数为知道分子系数矢量f =f (1)，f (2)，f (m + 1)，分母系数矢量g =g(1)，g(2)，g (n+1)，就惟一地确定了系统的模型注意系统的阶次n）。而对物理可实现的系统，必有nm。)()() 1()()2() 1 () 1()()2() 1 ()(11sgsfngsngsgsgmfsmfsfsfsHnnmm 6.4.1 模型的典型表达式模型的典型表达式(续续) 零极增

17、益型对传递函数分子和分母进行因式分解，可得令z = z(1)，z(2)，z(m)为系统的零点矢量，p = p(1)，p(2)，p(n)为系统的极点矢量，k为系统增益，它是一个标量。可以看出，H(s)有m个零点、n个极点。物理可实现系统的nm，系统的模型将由矢量z，p及增益k惟一确定，故称为零极增益模型。零极增益模型通常用于描述SISO系统。并可以推广到MISO系统。 )()2()(1 ()()2()(1 ()(npspspsmzszszsksH 6.4.1 模型的典型表达式模型的典型表达式(续续) 极点留数型如果零极增益模型中的极点都是单极点，将它分解为部分分式，可得 其中p =p(1)，p(

18、2)，p(n)仍为极点矢量，而r =r(1)，r(2)，r(n)为对应于各极点的留数矢量，p，r两个矢量及常数h惟一地决定了系统的模型。 hnpsnrpsrpsrsH )()()2()2() 1 () 1 ()(6.4.1 典型表达式的比较典型表达式的比较 比较一下这四种情况下模型系数的总个数。假定都是SISO系统，阶数为n，则状态空间型有n2+2n+1个系数；传递函数型为m+n+1个(不含g(1) (留意，由于mn，系数的数目小于等于2n+1)；零极增益型的系数个数为n+m+1；而极点留数型为2n+1。 因此，传递函数法的待定系数最少，而状态空间法的待定系数最多。这说明了状态空间法中有许多冗

19、余的系数。事实上，同一个系统可以有无数个状态空间矩阵A，B，C，D的组合来描述，其他描述方法则都是惟一的。6.4.1 离散模型的表达式离散模型的表达式 2离散系统 以上四种表示模型的方法可以全部推广至离散系统。只是将系数矩阵后面加小写字母d，便有： 状态空间型 xn + 1 = Adxn + Bdunyn = Cdxn + Ddun 传递函数型 零极增益型) 1(d)(d)2(d) 1(d)(d)2(d) 1 (d)(11 nznzzmzmzzzHnmmngggffff)(d()2(d)(1 (d()(d()2(d)(1 (d(d)(nzzzmzzzzHpppzzzk 6.4.1 离散模型的表

20、达式离散模型的表达式(续续) 极点留数型 数字信号处理模型二阶环节型表6.1列出了连续和离散线性系统的模型式。 d(1)d(2)d( )dd(1)d(2)d( )nzzznH(z)rrrhpppm - nm - n - 11 - n-n-1-11 - n-nfd(1)z+ fd(2)z+ fd(m)z+ fd(m + 1)zH(z) =1 + gd(2)z+ gd(n)z+ gd(n + 1)z0111210L1L2L0111210L1L2L-1-2-1-2-1-1-2-1-2(b+b z +b z )(b+b z +b z )H(z ) =(a+a z +a z )(a+a z +a z )

21、6.4.2 模型转换模型转换 MATLAB中各种模型转换的函数6.4.2 模型转换续）模型转换续） 传递函数型到零极增益型已知f，g，求z，p，k，即知道多项式求根。可用MATLAB内部函数roots，z=roots(f)，p=roots(g)，k= f(1)/g(1) 零极增益型到传递函数型已知z，p，k，求f，g，即已知根求多项式。可用MATLAB内部函数poly，它是roots的逆运算，即有 f=poly(z)*k，g=poly(p)6.4.2 模型转换续）模型转换续） 传递函数型到极点留数型及反向变换知道传递函数的系数g求其极点p，方法同上，而求其中某极点处留数r，可用专用函数resi

22、due，格式为 r，p，h=residue(f，g)可直接由f，g求出r，p，k。由极点留数型到传递函数型仍可用同一函数。 f，g = residue(r，p，h)residue函数根据输入变元的数目为二或三个，决定变换的方向。例6.17 由传递函数模型转换为零极增益和状态空间模型 已知描述系统的微分方程为 （1） （2） 求出它的传递函数模型、零极增益模型、极点留数模型和状态空间模型。 解：（1f = 2，-5，3; g = 2，3，5，9; （2f = 1，3，2; g = 1，5，7，3; 本例中用MATLAB的基本函数编程，在熟练后均可用工具箱函数tf2zp，tf2ss及residue

23、函数求得。 2359253yyyyuuuuuuyyyy23375 例6.18 由状态空间转为传递函数 设SISO系统的状态方程为： 如果系统是n阶的，则A为nn阶，B为n1阶，C为1n阶，而D为11阶。给定A，B，C，D，就建立了系统模型。 对状态方程取拉氏变换，解出H(s)= f(s)/ g(s)，得 故有f(s) = Cadj(s I-A) B +Dg(s)。 g = poly(eig(A) = det(sI-A) DuCxyBuAxxDAIBAICDBAICgf)(det)(adj)()()()(1ssssssH例6.19 系统的串联、并联和反馈 系统的串联由图所示，YB= WBUB =

24、 WBWAUA = WU故W(s) = WA(s) WB(s)多项式相乘由卷积函数conv实现，其表示式为： f = conv(fA，fB)， g = conv(gA，gB) 系统的并联 Y= WAU + WBU = (WA+WB) U = WU故 W(s) = WA(s) + WB(s) f = polyadd(conv(fA，gB)，conv(fB，gA) g = conv(gA，gB) 例6.19 系统的串并联和反馈 系统的反馈系统的连接方法如图6.18-3。复合系统的传递函数故MATLAB表达式为 f=conv(fA，gB) g=polyadd(conv(fA，fB)，conv(gA，gB)()()()()()()()(1)()(BABABABAAsgsgsfsfsgsfsWsWsWsH例6.20 复杂系统的信号流图计算 设信号流图中有ki个输入节点，k个中间和输出节点，它们分别代表输入信号uii=1，2，ki和系统状态xjj=1，2，k）。信号流图代表它们之间的联结关系。用拉普拉斯算子表示后，任意状态xj可以表为ui和xj的线性组合 用矩阵表示，可写成： 从而得到 传递函数 H = (I -Q)-1P 这个简明的公式就等价于梅森公式。 ikijikkkjkjupxqxi11PUQXX1()XIQPU例6.20由图列出方程为x1 = ux2 =