第四节--对面积的曲面积分

1、第四节对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 容提要1.定义 设函数f x, y, z在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n小块 S S 也表示第i小块曲面的面积，在 Sj上任取一点 Mj( j,J，作乘积f ( i, i, i) Sj ni 1,2，n，并作和 f j, j, j s，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(j, j, j)的任意取法，当0时，上述和式的极限都存在且相等，那么称此极限值为函数f x, y,z在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf (

2、x,y,z)dS li叫 j 1 f( j, j, j) S -【注】定义中的“ S "是面积元素，因此， S 0 .2性质关于曲面具有可加性，假设12，且1与2没有公共的点，那么f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ；1 2当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S，即f (x, y, z)dS S .3. 对面积的曲面积分的计算设曲面 由z z x, y给出， 在xoy面上的投影区域为 Dxy, 函数z z x, y在Dxy上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在上连续，那么f (x, y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1Dx

3、y2 2dxdyy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSf x y,z , y,zDyz2x dydz, z:y y z,xf(x,y,z)dSx, y 乙 x , zy dzdx z4. 对面积的曲面积分的应用设曲面 上任意一点 x, y, z处的面密度是x, y, z，那么曲面的质量mx, y, z dS.曲面的质心 x, y,z111xx x, y,zdS, yy x, y, z dS z z x, y,z dSmm，m曲面的转动惯量2 2ixy zx, y,z dS5I yx2 z2x,y,z dS ,Iz x2 y2 x,y,z dS， I。 x2 y2 z2x, y, z

4、 dS4.3 典型例题与方法基此题型I :计算对面积的曲面积分例1填空题设:x2 y2 z2 4，那么(x2 y2)dS .解 由积分区域的对称性知 Ox'dS Oy2dS Oz'dS，于是而积分在上进展,'3(x2':二(x2z24y2)dSy2)dS 2 二(x23，代入上式得,22z2)dS .128128故应填"3-例2选择题AxdSxdSCzdSxdS(z0),1为在第一卦限中的局部，那么有；bydS 4 xdS ；1；°xyzdS 4 xyzdS解 因为曲面是上半球面， 关于yoz面对称且被积函数fi(x,y,z)x ,关于xoz

5、f2(x,y,z) xyz都是变量X的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地, 面对称且f3(x, y, z) y是变量y的奇函数，于是 ydS ° .而 xdS °, xyzdS ° ,1 1故应选C.事实上，由对称性，zdS 4 zdS, zdS xdS , C正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时，应注意以下技巧：1利用对称性，但要注意，曲面关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可.2利用积分曲面的方程化简被积函数.例3计算曲面积分(2x 2y z)ds,其中是平面2x 2y z 2°被三个坐

6、标面所截下的在第一卦限的局部解法一:z 2 2x2y,Zx2,Zy2 .在xoy平面上的投影是三角形，记为D : °x 1,° y 1x.(2x2y z)ds2 1 Zx2 Zy2dxdy6dxdy 3.DD2解法二 (2x 2y z)ds 2dS 2弓J 乎22 3 【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式 .例4计算|(x2 y2)dS,为立体 x2 y2 z 1的边界.【分析】根据积分曲面的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元dS，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进展计算. 2 2解设12,1为锥面

7、z x y , ° z 1，在1 上,dS2-y dxdy=j2dxdy.图4-12为z 1上x2 y21局部，在 2上，dS dxdy ,22i,2在xOy面的投影区域为D : x y 1，所以(x2 y2)dS + (x2 y2)dS1 2面，yoz面对称，被积函数是偶函数，那么有z2dS = 4 z2dS，故可利用对称性解之.解设 1 : x .4 y2,其在yoz面的投影域为0Dyz： odS1x；_2xz2dydz. 2 dydzJ4 y2z2dS = 4 z2dS=412zDyz2 6 2 2dzdy 4 z2dz2 0 024 y4 ydy 288 .(x2 y2)、2

8、dxdy(x2y2)dxdy)D2 1(.21) (x2 y2)dxdy (1.2) d3d(1.2).D1 02例5计算 z2dS，其中2 2为xy4介于z0,z6之间的局部【分析】积分曲面如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy面作投影，因为投影为曲线，不是区域.基此题型II :对面积的曲面积分的应用1 2 2例6求物质曲面S : z (x2 y2)(0z 1)的质量，其面密度z(x, y, z) S).2解 S在xoy平面上的投影区域 D : x2 y2 ( 2)2.于是，所求质量为 M1 / 22(xy2)dS(x2D2r

9、.ior dr(1 6.3)例7试求半径为 R的上半球壳的质心，其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离.解 以球心为原点，铅锤直径为z轴建立直角坐标系，那么球面方程为X2 y2 z2 R2，且任意点M(x, y,z)处的密度为-X2 y2 .设球壳的质心坐标为(x, y,z)，由对称性知，X y 0 .z dSz dS，其中为上半球面z 、.R2x22-dxdy yR,R2x2=dxdy ,y2，于是球壳的质量为m dSdxdy y2其中在xoy面上的投影域:R2利用极坐标计算上述二重积分，得Mxyz dS- RyR2 x2一 dxdy y22-R3.2z、 x2y2dSR丄丄dxdy2 2x

10、yR x2 y2dxdyDRR 2d04R (0,0,).4R2 3 厂，于是半球壳的质心坐标为R4.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(x,y, z)处它的面密度u(x, y,z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴转动惯量。解：假设u(x, y,z)在曲面上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块dS，设(x, y, z)使曲面块dS的一点，那么由曲面块 dS很小，u(x, y,z)的连续性可知， 曲面块dS的质量近似等于u(x, y, z)dS，这局部质量可近似看作集中在点(x, y, z)上，该点到x轴的距离等于x2 y2，于是曲面对于x轴的转动惯量为：2 2

11、2 2dI x (z2y2)u(x, y,z)dS，所以转动惯量为：lx (y z)u(x,y,z)dS2 按对面积的曲面积分的定义证明公式f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS，其中 由 1 和 2 组成1 2证明：因为f(x,y,z)在曲面上对面积的积分存在，所以不管把曲面怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面时，可以永远把 1和2的边界曲线作为分割线，从而保证 S整个位于1上，于是上的积分和等于1上的积分和加上2上的积分和，即f(i, i, i)Sjf(i, j, i)Sjf(i, i, i)Sj()(1)( 2)令各小块的直径的最大值趋向

12、于0,去极限得到：f(x,y,z)dS f (x,y,z)dS f(x,y,z)dS1 23.当 时xoy面的一个闭区域 D时，曲面积分f(x,y,z)dS和二重积分有什么关系。恒为f (x, y,0)，并且zx解：当 时xoy面的一个闭区域 D时， 在xoy上的投影区域即为 D , 上的f(x, y,z)zy0，所以 f (x, y,z)dS f (x, y,0)dxdy，即曲面积分与二重积分相等。4.计算曲面积分x,y,zdS,其中为抛物面z 2 x22y 在xoy面上方的局部，f x, y,z分别如下:2 f x,y,zx23 f x, y, z 3z 解2 f x,y,zdS =x2y

13、2 . 1 z2x Zy2dxdy，其中Dxy为在xoy面上Dxy的投影区域，即2 2Dxy : x y 2 z 0 .x, y, zdS =2xDxyy2 1 4(x2)dxdy149305.332Dxy计算1锥面2锥面解1影区域均为2 2Dxy : x yDxyx2Dxy2dS所以X, y, z dSx2 y21 4(x2 y2)dxdyy2 dS,其中是:3d-22011110. x2 y2与平面z- 2 23( xy )被平面中属于锥面局部为1 z 0，所以1所围成的区域的整个边界曲面0和z 3所截局部。，上底面局部为2，而1与2在xoy面上的投dS =x2 y2 dSx2y2 dS所

14、截的锥面为:.221 ZxZy dxdy(2 1)dxdy 、. 2z 3 x2 y2 (D1 6x,2.3(x2 y2)(x2 y2)dS6y2,3(x22xDxy2xy : xy2)dxdy3d3)，dxdy 2dxdy2(x2Dxyy2)dxdy 96.计算以下对面积的曲面积分:4x(z 2x -y)dS，其中为平面-41在第一卦限中的局部.4 2x 4y, dS , 1 ( 2)2( 4)2dxdy -61dxdy333(z 2x222一 a x y ,dS1 (2却2x2x2y2x-)2dxdy yaa2x2dxdy y2(x yz)dS(x yDxy22x2y2)*=dxdy y2

15、r2 (cossin )=r2 2 a rdrz 3(aah2)有限局部.(xy n2yz zx)dS,其中 为锥面z . x y 被柱面2y2 ax所截得的解dS2x2x2y2x2dxdy 、 2dxdy yDxy2(2xy2x243y，x z)dS，其中为平面2x2y z6在第一卦限中的局部解z4 2xdS 1(2)2(2)2dxdy3dxdy(2xy2x2 xz)dS(2xyDxy2x2x 6 2x2y)3dxdy33 x9273 dx00 (6 3x 2x2xy 2y)dy43(x yz)dS，其中为球面2 2 2x y za2上zh(0h a)的局部Dxy: x2 y2 2ax(xy yz zx)dSxy1(x y)(x2y2)2dxdyDxy2 a co