线性代数第10讲 向量组的秩ppt课件

1、3.3 向量组的秩向量组的秩l一、极大线性无关组l二、向量组的等价性l三、向量组的秩112121212121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.3(,)(,),mmmmmmmmmmRRmRRmRR 设设向向量量与与向向量量组组则则当当时时，可可由由线线性性表表示示且且表表达达式式唯唯一一当当时时，可可由由线线性性表表示示但但表表达达式式不不唯唯一一（ ）若若，则则不不可可由由线线性性表表示示定理定理3.2.53.2.5的推论：的推论：212321231231231111 1,1 ,1,111,kkkkkk 例 设问 为何值时，(1) 可由线性表示，且表示式唯一？(2

2、) 可由线性表示，且表示式不唯一？(3) 不能由线性表示？21111111111kkkkk2131(1)2221110210rkrrrkkkkkkkkkkk 2111020kkkkkk031033kkkk且时，（）或时，（ ）1221111111111rrkkkkk 2223223(3)kkkkkkkk 31212 , (,) ().mmAmR Am 向量组线性相关它所构成的矩阵的秩小于向量个数，即定理定理3.2.43.2.4( ).R Am推论向量组线性无关4123411111220 ,21432301 例 设1 1 能否线性相关？能否线性相关？1234, 2 2找出找出 中线性无关的部分组

3、，并中线性无关的部分组，并 将它们来表示剩下的向量。将它们来表示剩下的向量。1234, 52132314241rrr +rr2rrrr2r11111111103212-100121012121430121000023010121000031232412221201 1121+0 41221422312114143232(2)2 12, 14, 12341234(,)24,R ，线性相关6一、极大线性无关向量组一、极大线性无关向量组定义定义3.3.13.3.1设向量组设向量组 S S 的部分组的部分组 满足：满足：12,r 1 1 线性无关；线性无关；12,r 2 2向量组向量组 S S 中的每

4、一个向量均可以中的每一个向量均可以12,r 由由 线性表示线性表示. .那么称那么称 是向量组是向量组 S S 的极大线性无关组，的极大线性无关组，简称极大无关组简称极大无关组. .12,r 7极大无关组极大无关组 具有以下特点：具有以下特点：12,r 1 1无关性：无关性： 极其部分组线性无关；极其部分组线性无关；12,r 2 2极大性：在这极大性：在这 r r 个向量中再添加任一向量个向量中再添加任一向量 得到的得到的 r+1 r+1 个向量必线性相关；个向量必线性相关；3 3极小性：从极小性：从 r r 个向量中减去任一向量后，个向量中减去任一向量后， 不能用来表示原向量组的全部向量；不

5、能用来表示原向量组的全部向量；4 4不独一性：任一不独一性：任一 n n 维非零向量组的极大无维非零向量组的极大无 关组必定存在，但组数不一定独一关组必定存在，但组数不一定独一. .8定义定义3.3.23.3.2二、向量组的等价性二、向量组的等价性假设假设 全都可由向量组全都可由向量组12,s 12,m 线性表示，那么称向量组线性表示，那么称向量组12,s 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示. .12,m 定义定义3.3.33.3.3假设两向量组可以相互线性表示，假设两向量组可以相互线性表示，那么称两向量组等价那么称两向量组等价. .注注: : 向量组与它的极大线性无关组等价向量组与它的极

6、大线性无关组等价; ;向量组的恣意两个极大线性无向量组的恣意两个极大线性无关组等价关组等价. .12341214, 9定理定理3.3.13.3.112,s 12,m 向量组向量组 可由向量组可由向量组线性表示线性表示矩阵矩阵 和矩阵和矩阵12(,)m 12(,)m 1 12 2s s的秩相等，即的秩相等，即1212(,)(,)mmRR 1 12 2s s证明思路1212(,)(,)mmRR 1 112(,)mR 1 12 2 12(,)mR 1 12 2s s101212,(,)(1,).mmnnRR 1 12 2s s1 12 2s s若若 维维向向量量组组可可由由 维维向向量量组组线线性性

7、表表示示, ,则则推推论论12121,(,)(,)(,).2mmmnnRRR 1 12 2s s1 12 2s s1 1s s推推论论等等价价充充要要维维向向量量组组与与 维维向向条条件件量量组组的的是是Pf:12(,)(,)mRR 1 12 2s s1 12 2s s12(,)mR 11123123(0,1,2,3) ,(3,0,1,2) ,(2,3,0,1)(2,1,1,2) ,(0, 2,1,1) ,(4,4,1,3.3.)32TTTTTT 判判断断向向量量组组与与向向量量组组是是否否等等价价例例.312123111012421301402230),321321 （因为因为解解.0000

8、00251552000751610421301 r. 3),(),(321321321 RR所所以以12123123123123124033,).000000(,)2 ,.rrR 又又 因因 为为（即即故故 向向 量量 组组可可 由由 向向 量量 组组线线 性性 表表 示示 ，但但 两两 向向 量量 组组 不不 等等 价价131212 , (,) ,().mmAmR Am 向量组线性相关它所构成的矩阵的秩小于向量个数即定理定理3.2.43.2.4( ).R Am推论向量组线性无关1412,3.m 12s12s12s12s若若可可由由线线性性表表示示，且且smsm，推推则则线线性性相相关关论论1

9、2,4.msm 12s12s12s12s若若可可由由线线性性表表示示，且且线线无无关关，则则推推性性论论12(,(,)mRRms 1 12 2s s) )Pf:12= (,(,)ms RRm 12s12s) )Pf:1512,.5msm 1 12 2s s若若与与等等价价且且两两向向量量组组都都线线性性无无关关 则则推推论论6.一一个个向向量量组组中中任任意意两两个个极极大大无无关关组组所所含含的的向向推推量量的的个个数数相相同同论论12= (,= (,)=ms RRm 12s12s) )Pf:16三、向量组的秩三、向量组的秩12,3.3.4mR 向向量量组组的的极极大大线线性性无无关关组组所

10、所含含向向量量个个数数，称称定定义义向向量量组组的的为为秩秩为为该该，记记: :由由零零向向量量组组成成的的向向量量组组的的规规定定秩秩为为零零. .rr: : 若若一一个个向向量量组组的的秩秩为为 ，则则该该向向量量组组中中的的任任意意 + +1 1向向量量都都线线性性相相关关定定理理3 3. .3 3. .2 2. .（反反证证法法）rr若若一一个个向向量量组组的的秩秩为为 ，则则该该向向量量组组中中任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量都都是是该该向向量量组组的的极极推推论论大大无无关关组组. .17222,(,).mmmRR 1 11 11 1定定理理3 3. .3 3. .4 4对

11、对任任意意向向量量组组有有22,rm 1 11 1不不妨妨设设为为的的一一个个极极大大无无关关组组，则则由由向向量量组组秩秩的的定定义义可可得得22,rmRRr 1 11 122,rm 1111由由和和等等价价22(,)(,)rmrRR 1 11 1 3.3.12定定理理的的推推论论Pf:1822,.mmRR 12s112s112s112s1若若,可可由由线线性性定定表表示示，则则,理理3.3.33.3.3等等价价的的向向量量组组推推论论有有相相同同的的秩秩 3.3.113.3.4由由定定理理的的推推论论 及及定定理理推推得得 由定理3.3.4可知，矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 由于转置不改

12、动矩阵的秩，而转置后的列向量就是原矩阵的行向量，所以矩阵 A 的秩也等于它的行向量的秩. 1912345(1,0,1,2) ,(0,1,1,2) ,( 1,1,0, ) ,3.(1,2, ,6) ,(1,1,3.42,4)TTTTTkk 求求向向量量组组的的秩秩和和一一个个极极大大无无关关组组, ,并并用用极极大大无无关关组组例例表表示示其其余余向向量量. .31412110111011210111102242rrrrkk 5 5解解 对对下下列列矩矩阵阵作作行行初初等等变变换换: :1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 1( (, , ,) )= =1 11 10

13、0k k2 22 22 2k k6 64 42433421011101121.(3.2)000000030rrrrrkk 3 3r r1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 00 0k k- -3 30 00 00 0k k0 00 02013233131323(1)1001101021.0010000000rrrrr 当当k k= =3 3时时, ,对对式式( (3 3. .2 2) )最最后后一一个个矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 03 30 00 00 00 00 00 00

14、0125123412512(,)3;,2,.R 则则是是极极大大无无关关组组, ,且且 (2)1010101101.0001000000r 当当k k= =0 0时时, ,对对式式( (3 3. .2 2) )最最后后一一个个矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 00 00 00 00 00 00 0- -3 30 021125124312512(,)3;,.R 则则是是极极大大无无关关组组, ,且且1251234(3)(,)4(,)RR 当当k k0 0, ,3 3时时 , ,对对 式式 ( (3 3. .2 2) )最最

15、 后后 一一 个个 矩矩 阵阵 作作 初初 等等 行行 变变 换换1 10 0- -1 11 11 10 01 11 12 21 10 00 0k k0 00 00 00 00 0k k- -3 30 01234512,. 则则是是 极极 大大 无无 关关 组组 ， 且且222121122123.3.5,(1,2,),().: (1),.(2),mmijjmjmijm mmmmaaajmAaAA 1 112121212设设可可由由线线性性表表示示，证证明明若若矩矩阵阵不不可可逆逆 则则,线线性性相相关关若若线线性性无无关关 则则,线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是, ,矩矩阵阵例例可可逆逆. .212(,)(,) .mmA 1 1由由已已知知条条件件得得证证明明22(1),()(,)