随机变量的特征函数

1、第四章 人数定律与中心极限定理之宇文皓月创作4.1特征函数内容提要1 .特征函数的定义设X是一个随机变量，称E(eitX )为X的特征函数,其表达式如下由于甲|川os2tx sin2tx 1,所以随机变量X的特征函数(t)总是 存在的.2 .特征函数的性质(1) | (t)(0) 1；(2) ( t)-6其中可暗示的共轲；(3)若 Y=aX+b,其中 a, b 是常数.则 丫 (t) eibt X(at)；(4)若X与Y是相互独立的随机变量，则x Y(t) X(t) Y(t)；(5) 若E(Xl)存在，则x(t)可次求导，且对1 k i,有(k) (0) ikE(Xk);(6) 一致连续性特征

2、函数在(，)上一致连续(7) 非负定性特征函数(t)是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数匕2，h和n个复数乙工，乙，有 n n(tk tj)ZkZj0;k 1 j 1(8)逆转公式设F(x)和(t)分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点X1X2,有特别对F(X)的任意两个连续点X1 X2,有(9)唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为(t).如果dt ,则3.经常使用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1ita(t) e二项分布(t) (qpeit)n,q 1 p几何分布it(t)谓"

3、;q1 p正态分布一2+2(t) expi t 尺度正态分布t2，(t) e 2均匀分布U(a,b)_itb _ itaee et(b a)it均匀分布U(-a,b)sin at(t)at指数分布(t) (1 -)1伽玛分布Ga(,)(t) (1 与2分布n(t) (1 2it) 2泊松分布(t) exp (eit 1)习题与解答4.11 .设离散随机变量X的分布列如下，试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1iti2ti 3t用牛 x(t) 0.4 0.3e0.2e0.1e2 .设离散变量X服从几何分布P (X k) (1 p)k1p,k 1,2,.试求X的特征函数，弁以此求E

4、(X)和Var( x).itpeit1 qe解 记q=1-p,则itxitk k 1itit(t) E(e ) e q p pe (e q)k 1K 1it11 qeitit 2itit it(t)pe (1 qe ) 2pe (1 qe )qeit 4(1 qe )E(X)(0)p(1 q)21E(X) 方 (0)ip(1 q)2 2 Pq(1 q)(1 q)43 .设离散随机变量 X服从巴斯卡分布k 1P(Xk) ,#r(1 "r'k，试求X的特征函数.解设X1,X2, ,Xr是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知Xj的特征函数为其

5、中q=1-p.又因为x Xi X2Xr,所以X的特征函数为rX (t)Xj (t)j 1it(产H1 qe4.求下列分布函数的特征函数，弁由特征函数求其数学期望和方差.XX(1) Fi(x) a e at|dt ( a>0); (2)F2(x) - -2dt2t a(a>0).解(1)因为此分布的密度函数为a alxPi(x) -e 122a2T2.a t所以此分布的特征函数为ax .a costxe dx02ta2',' 2a2(3t2 a2)因为 1(t)(PT7, 1(0)0 1(a2 t2)3, 1(0)所以 e(x) - 1(0) 0, V ar( X)=

6、 e(x2) g 1'(0) -22 iia(2)因为此分布的密度函数为p2(x) - 2 1 2x a所以此分布的特征函数为又因为当t>0时，有(见菲赫金哥尔茨微积分学教程第二卷第三分册或查积分表)0转dx *eat所以当t>0时，有2(t)2 a at一 e2aat而当t<0时，有 2(t) IT!) eat,所以又因为2(t)在t=0处不成导，故此分布(柯西积分)的数学期 望不存在.itx注：2(x) - wJdx也可利用复变函数中的留数理论来计 x a算，方法如下：t>0时,5 .设XN( , 2),试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.解因为正态分

7、布N( , 2)的特征函数为(t) 2t2/2,所以由此得X的3阶及4阶中心矩为6 .试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若 Xb(n , p),Y b(m , p), 且 X 与 Y独立,则 X+Y b(n + m, p).证 记 q=1-p,因为 x(t) (peit q)n, Y(t) (peit q)m,所以由X与Y的独立性得xY(t) X(t)Y(t) (peit q)nm,这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数，由唯一性定理知X+Yb(n+mp).7 .试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若 XP(1), Y P2),且 X与 Y独立，则 X+YP(1+ 2).证：

8、因为 X(t) el(eitl), Y(t) e2(eitl),所以由X与Y独立性 得这正是泊松分布 P i+ 2).的特征函数，由唯一性定理知X+YP(1+ 2).8 .试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若 XGa(ai, ), YGa(a2,)，且 X与 Y独立，则 X YGa(a a2,).证因为 X(t) (1 4a1, Y(t) (1与a2,所以由X与Y的独立性得X Y(t) X(t) Y(t)(1 与 (a1 a2),这正是伽玛分布Ga(a1 a2,)的特征函数，由唯一性定理知X YGa(a1 a2,).9.试用特征函数的方法证明2分布的可加性：若X 2(n),Y 2(m),

9、且 X与 Y独立，则 X Y 2(n m).证 因为 x(t) (1 2it)n2, Y(t) (1 2it)m2,所以由 X与 Y 的独 立性得(n m)X Y(t) x(t) Y(t)(1 2it) 2,这正是2分布2(n+m)的特征函数，由唯一性定理知X Y 2 (n m).10.设Xi独立同分布，且Xi Exp( ),i 1,2, ,n.试用特征函数 的方法证明：nYnXi -Ga(n,).i 1证因为Xi(t) (1 -) 1，所以由诸Xi的相互独立性得Yn的特 征函数为Yn(t)(1 与 这正是伽玛分布Ga(n,)的特征函数，由唯一性定理知Yn Ga(n,).11.设连续随机变量X

10、服从柯西分布，其密度函数如下：，、1P(x)2；-7， X ,(X )其中参数0,，常记为XCh(,),(1)试证X的特征函数为expi t t ,且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2)当 0,1 时，记Y=X,试证 X Y(t) X(t) Y(t),但是 X与不独立；(3)若X1,X2, ,Xn相互独立，且服从同一柯西分布，试证：与X同分布.证(1) 因为Y X 的密度函数为1p(x) -T，x ,由本节第4题知Y的特征函数y为丫(t) exp Itl .由此得X Y的特征函数X(t) 丫 (t) exp i t Y (t) exp i t t .下证柯西分布的可加性：设Xi(i 1,2)

11、服从参数为i, i的柯西分布，其密度函数为：Pi(x) 1 2, x ,i 1,2.若(x i)X1与X2相互独立，则X1 X2(t)X1 (t) x 2 (t) exp i 12 t ( 12)t ,这正是参数为12,12柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知，X1 X2服从参数为12, 12的柯西分布.(2) 当 0,1时有 X (t) exp t , Y(t) exp t ，所以exp 2t exp t exp t x (t) 丫.由于Y=X,当然XV Y不独立.此题说明，由X Y(t) x(t) Y(t)不克不及推得X与Y独立.(3) 设Xi都服从参数为，的柯西分布，则特征函数为. n

12、 n(t) expi t t .由相互独立性得，-Xi的特征函数为 n i 1(t/n) n exp i t t ,即。Xi与X具有相同的特征函数,由唯 n i 1一性定理知它们具有相同的分布.12 .设连续随机变量 X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X的特征函数为x(t).先证充分性，若x(t)是实的偶 函数，则x(t) x或x( t) x(t),这标明X与-X有相同的特 征函数，从而X与-X有相同的密度函数，而-x的密度函数为p(- x),所以得p(x)=p(- x),即p(x)关于原点是对称的.再证需要性.若p(x)=p(- x)，则X与-X有相同的密度函数， 所以X与-X有相同的特征函数.由于-X的特征函数为x(t),所以x( t)