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文档简介
1、例例1 求一可逆矩阵求一可逆矩阵P,把把314020112A化成对角矩阵. 解 由|AE|=0,求A的全部特征值.314020112EA3412)2()2)(2(22)2)(1(. 2, 132的特征值为所以A., 0)(的特征向量求由AxEA由解方程时当. 0)(,11xEA414030111EA000010101由解方程时当. 0)2(,232xEA1140001142EA000000114.1011P得基础解系.401,110 32PP得基础解系即拼成矩阵把,321PPPP,411010101P.2000200011APP则 例例2 设矩阵设矩阵A与与B类似类似,其中其中,1132200
2、2xA A.00020001yB B1求x和y的值, 解 (1)由于AB,所以B的主对角线元素是A的特征值.因此有02112E EA AE E- -A Ayx .,21BAPPP使求可逆矩阵(2) 由于AB,所以A的特征值为. 2, 2, 1321., 0的特征值求由A AE E- -A Ax时当11220113120E EA A020100100得根底解系:,1201P P, 02xyx整理得. 20yx解得,010100100得根底解系:,1102P P时当233200213220E EA A,001100100得根底解系:,1013P P1220421320E EA A当2 2时，令可逆
3、矩阵111012100),(321PPPP即为所求.例例3 设矩阵设矩阵3241223kkA A问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵，并求出 P和相应的对角阵。解解 由由3241223kkE E- -A A10010221k0) 1() 1(2. 1, 1 :321的特征值为得A A有时对于,1 210000224 kk当k = 0 时,上式变为000000224 00000021211 对应特征向量可取为:422(0422AE )kk12112,0 .02pp 有时对于,1 34242222)( kkE EA A0202111 kk000010101 对应特征向量可取为:.1013P P 因此,当 k = 0 时,令 从上面的讨论和例题可知, A没有重特征值,那么A必可对角化,而当 A有重特征值时,就不一定有n 个线性无关的特征向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲的二重特征值不能对应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化 .而在本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也阐明不是一切方阵都能对角化.1111200021111000000A AP PP P, ,P P则一个方阵详细什么条件才干
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