光学薄膜计算机自动优化设计_图文

1、浙江大学硕士学位论文光学薄膜计算机自动优化设计姓名：林东申请学位级别：硕士专业：检测计量技术及仪器指导教师：刘旭;李海峰硕士学位论文摘要本文给出了堂堂堕瓞生箩塑煎盟堡诂方面的一些工作，包括薄膜系统光学特性的分析和计算、煎艨遣学常数的确定，多层膜结构光学特性的优化、膜层灵敏度分析等，并将这些分任务集成在一个系统中。着重讨论了、和三种优化方法在光学薄膜自动设计上的具体实施。本文分别介绍了、和三种优化方法。系统在分别实现各算法的基础上，把三个算法合成到一个优化过程中。这样可以很好地发挥各个具体算法的优点，避开弱点，比如的局部性、在极值点附近收敛慢等等。本文尤其对方法进行了讨论。惨考其它全局优化算法的

2、思想，本系统对传统的方法做了一定的改进。包括加权型心点加速优化、避免低维流形、跳出局部最小等。实践证明这些改进大大增强了方法的优化能力。广一、。本文在膜系特性的程序计算方面提出了一些改进措施，实践证明这些改进对提高优化速度是很有效的。此外，在实际开发过程中，本设计采用了面向对象技术，提高了程序的可读性和易维护性。硕士学位论文，：，（），硕士学位论文第一章绪论光学薄膜作为现代光学的一个重要分支，越来越引起人们的重视。因为在现代光学系统中，光学薄膜已经成为不可缺少的部分，甚至是关键部分。它在光学技术、彩色摄影、彩色电视、激光及空间技术等方面都扮演十分重要的角色。特别在信息化浪潮席卷全球的今天，电脑

3、网络已迈入千家万户，网络带宽成为急待解决的瓶颈问题。用于光纤信道复用的密集波分复用技术（），最受重视的实现方法就是利用薄膜器件进行信道的筛选。随着光通讯的发展，薄膜光学在信息产业的大舞台上将会扮演越来越重要的角色。薄膜光学论述光波在单层及多层膜中的传播。光学薄膜的物理模型是均匀、各向同性的片状介质，它的主要物理参数有折射率，消光系数，以及厚度。薄膜的表面被假设为平坦光滑的。每一种膜系都是由一系列这样的基本结构不同材料的膜层所组合而成的。在光学薄膜中光在膜层的各个界面反射、透射，形成了一系列反射、透射干涉的叠加的效果。各个膜层的物理参数对于整个膜系特性的作用可以用矩阵来表示，整个膜系的光学特性是

4、由这些矩阵的连乘来表示。当还要考虑材料色散的情况的时候，每层膜归结为材料和厚度，其中材料作为对象包含了折射率和消光系数的色散信息。由于几乎所有光学薄膜的特性都是基于薄膜内的干涉效应，所以可用经典电磁场理论来解得薄膜的特性。但是由于多层膜多光束干涉的复杂性，导致计算异常复杂，不得不借助计算机来完成这些工作在近三十年时间里，随着计算机技术的发展，计算机辅助技术也蓬勃发展起来，并且在几乎所有领域都得到了广泛的应用。同样的在光学薄膜方面也有相当大的进展。从薄膜的设计、分析、生产控制到检测，无处没有计算机技术的应用。本文主要在光学薄膜的计算机辅助设计方面做一些探讨。光学薄膜的计算机辅助设计主要有两方面的

5、工作：一是膜系特性的分析，根据薄膜的结构参数计算出其光谱特性和其它一些重要特性。二是膜系的设计，即根据所要求的光谱特性来求出其应具有的结构参数。光学薄膜特性的分析，在薄膜光学中有着举足轻重的作用。光学薄膜特性分析包含的内容很多，有膜系光学特性的计算（包括反射率、透射率、反射相移、透射相移等）、薄膜内电硕士学位论文场强度的分布，以及膜系中不同膜层的灵敏度分析，薄膜的导纳分析等。所有的这些技术虽然有许多人对它们进行过深入的研究，并获得一些重要结论，但由于问题的复杂性，计算的烦琐性，使得这些技术实际应用起来显得非常困难。在计算机普遍使用的今天，借助于计算机来完成这些工作是非常有益的。作者在在这方面做

6、了一些工作，用开发了一套基于环境的光学薄膜计算机辅助设计软件。膜系的设计要比膜系特性的分析复杂得多。其中涉及的工程优化问题，随着薄膜层数的增多，优化变量也变得很多，几十甚至几百的优化变量，使得膜系的优化变得极为复杂。六十年代以前，光学薄膜的设计主要基于膜系的解析分析。这些分析包括对一些基本结构单元的分析技术，等效折射率技术，有效界面法，以及各种有效的图解分析法等。它们对于通常的干涉膜系：如减反膜，高反膜，带通滤光片等的设计十分有效。然而随着时代的发展，对研究各种类型的光学多层薄膜提出了更高的要求，以至于传统的设计方法越来越无法满足要求。于是计算机自动设计和优化膜系就越来越引起人们的重视，相继产

7、生了各种满足所需光谱特性的自动设计和优化方法，从而把薄膜设计工作推向了一个新的阶段。如果能够给出近似满足特性的初始结构（通过解析设计方法或其它途径得到），那只需借助于局部优化方法对该膜系进行优化就能得到满意的结果。诸如松弛法、最小二乘法、剃度法、阻尼最小二乘法、单纯形法和方法等方法对于一般膜系的设计是有效的。然而这些方法的主要困难是合适的初始解的选择。因为初始结构的好坏直接影响优化的最终结果。并且在有些场合，要求薄膜系统具有特殊的光谱特性，这时用解析方法设计或分析将变得非常麻烦，令人望而生畏，或者已经无法获得一个满意的初始结构。为了减小初始解对于最终结果的影响，在这些方法的基础上又发展出了带有

8、随机搜索性质的方法，在搜索过程中加入一些随机量，使得最终结果能跳出局部最优点，达到全局最优点。这些方法有很多，主要有模拟退火法”，统计试验法嘲和遗传算法等。在局部搜索方法找不到满意的解时，这些方法常常能够取得更好的解。特别需要提出的是近来在光学设计中得到广泛应用并受到好评的方法【】¨，通过在局部最小点附近添加“逃函数”来提高评价函数值从而逃离局部最小。白胜元同学在把这个方法引入膜系设计的过程中做了许多工作，提出了有创意的改进并得到较好的结果。以上的方法都没有改变膜系的层数，如果能够把层数也引入到优化变量中来，优化过程将有很大改观。这就促使了光学薄膜自动合成技术的发展。自从五十年代起，

9、人们就开始研究膜系的合成和优化问题。这方面早期的工作是等人做的，此后有了很大的发展。这是应用数学中的最优化技术和光学薄膜设计技术的不断发展和联系的结果。进入六十年代，和等人先后提出并完善了光学薄膜自动合成的渐进法【】这种方法是通过逐渐添加膜层来完成膜系设计。后来，发展了上述膜系迭加的概念，提出了一种以负滤光片为迭加单元的光学薄膜自动合成方法“减去法”。于此同时，提出了另一种设计光学薄膜的综合法傅立叶系数合成法【）。这种方法是对要求的光谱特性进行傅立叶变换，以获得折射率随厚度的变化曲线。另外还有一种于此类似的合成发傅立叶系数合成法【】。这种方法把厂曲线在给定频率间隔内展开成傅立叶系数，并以此构成

10、评价函数进行膜系设计。但是上述这些方法在实际应用时往往效果不太好，优化速度慢，影响了实际的应用。最近俄国的提出了一种新的设计方法：方法】。他通过计算当前膜系中最适于插入一层新膜系的位置，在此位置上插入一层很薄的薄膜，不断循环这一过程，从而达到优化的目的。这种方法由于是通过分析膜系的导纳而产生的，所以效果非常好，同时运算速度也很快，在最近得到了很广泛的应用。随着电脑技术的飞速发展，人们解决计算难题又多了一件利器。复杂烦琐的计算在计算机面前已经不再可怕，利用计算机进行膜系计算以及设计优化已是大势所趋。编制计算机辅助设计软件成为一件紧迫而有意义的工作。时代发展到了今天，在进行任何程序设计时，友好的界

11、面以及良好的程序接口已经成为非常重要的因素了。这在以前是不需考虑，或者说无暇考虑的，因为早期只要计算机能进行复杂的计算就已经是很满意了，人们不会提出更高的要求。而今天就不同了。随着计算机技术的发展计算机发展到了一个操作更简单、功能更强的阶段。以操作简单而论，一个完全不懂计算机的人可以借助于在线帮助（）将程序运行起来，这在以前是做不到的。以功能强大而论，即可实现多任务和所谓“所见即所得”（）。这两种的杰出代表就是界面。并且它还提供了统一的用户界面。在设计语言方面，现在最流行并且功能最强的可谓是语言了，同时它的速度也是相当快。由于其良好的移植性几乎可以不加改动或加少许改动即可方便地在大多数机器上运

12、行，所以是通用性最强的语言。近来计算机软件兴起了一种面向对象的设计方法：将一些常用的数据及其操作函数作为一个对象封装起来，用户只需关心其接口而不需关注其具体实现。这样大大方便了编程过程。尤其这类编译器提供了丰富而有用的类库（），使编程时间大大缩短。实际上，应用程序编程接（）不过是数百个函数集，是类库的基础。类库是类的集合，将常用的编程技术进行封装以简化编程。确切地说只存在两个类库，口公司的（）和公司的（。毫无疑问，使用更广泛，因为它是公司的产品，但从面向对象的标准来看，它不是最好的。它只是的简单包装，这样虽然带来易于学习的优点，但使对象显得过于透明，影响了封装性。同时，这也使它过分依赖平台，给

13、移植带来意想不到的麻烦。它还不时违反面向对象的设计原则。所以我认为，贯彻面向对象的风格很不彻底，为了更好地实现面向对象的思想，我决定放弃。在封装上做了很多工作，这使它变得十分复杂以至不易学习。时至今同，公司的可视化组件库（）出台了，它的核心与及都很不相同，它是通过属性、方法、事件等概念设计出来的。类的独立性、封装性都很好，体现了面向对象的精髓。而且易于学习，将快速应用程序开发（）的思想付著实现。十正是以为核心的开发工具，所以我们决定采用作为论文工作的开发工具。如前文所述，我币，用各种优化方法一般都能设计出满足所需特性要求的膜系，但制备出该膜系又是另一回事，即实际制备的光学薄膜器件的光学特性往往

14、与理论设计的膜系不一致，或者成品率低。这是因为在膜系制备过程中，由于各种各样误差的引入，使得实际制备出的膜系的膜层参数与理论设计值存在一定的偏差。对于某一给定的膜系，制备过程中可能引入的折射率误差和厚硕士学位论文度误差对光学特性的影响如何？在给定的监控误差下，制备出该膜系的成品率大概有多少？这是薄膜工作者一直希望回答的问题。因此利用计算机对制备膜系过程进行模拟和分析越来越显得重要和迫切。等人在监控误差的计算机模拟方面做了很多工作，并获得了一些有益的结果。在现有的监控条件下和监控精度情况下，通过监控误差的计算机模拟不仅可以知道膜系对折射率误差和厚度误差的灵敏度如何，还可以知道对于给定的膜系来说，

15、用什么样的监控方式比较合适，成品率大概是多少。本文作者在误差灵敏度分析方面也做了一些工作，将它集成在了软件里。在本次论文工作中，作者将一系列膜系的分析计算以及自动优化功能集成在一个软件里。其中包括膜系特性计算、膜层灵敏度分析、光度法反演薄膜光学常数，以及方法、方法和方法。计算过程考虑了材料色散的影响，材料的数据是记录在数据库中的，不但运行的时候可以自由读取，用户还可以动态地增加、删除、修改。优化目标可以是反射率和透射率，还可以是反射相角和透射相角，也可以是反射光和透射光的偏振情况，甚至是它们的综合。优化的过程可以由用户来决定，在什么阶段用什么样的优化方法，什么样的评价函数，都可以自由选择。用户

16、也可以用软件中的缺省设置，一步优化到底。程序是基于平台的面向对象设计，利用了面向对象的封装、继承等优越性，建立了结构严谨的类库，在可读性、易维护性、再次丌发、易修改等方面都做了充分的考虑。论文对于方法提出了改进意见，包括加权型心点加速优化、避免低维流形以及爬升逃离局部极小等。对方法提出了具体的实现步骤，将它与、等方法有机地结合在一起，形成了各方法在各阶段各自扬长避短的局面。在特性计算中也提出了一系列加速措施，缩短了计算时间，对无吸收膜系尤其如此。硕士学位论文第二章光学薄膜的特性计算第一节光学特性计算光学薄膜计算的理论基础就是经典电磁场理论。下面把计算过程简述一下。为了便于计算起见，采用特征导纳

17、矩阵来分析薄膜的光学特性。设有一层多层膜系统如下图，各层膜折射率为，消光系数为，几何厚度为（】，），入射介质的折射率为，基底折射率为。一图多层膜系结构则整个膜系的光学特性可用各层膜特征矩阵的连乘来表示，功。巧西如。历历纺三。对一偏振和一偏振光，膜层相位厚度都是：冗九一、其中九为真空中波长，折射角由定律确定：，（，一足，）易”是有效导纳，对于偏振光和一偏振光分别为：（）（）（）吁哪硕士学位论文节，（）护（一偏振光）节，（门，一）易（一偏振光）多层膜的反射率和透射率分别为反射相移皓并，？节卜觞（）（）川黔端，以上即计算光学特性时所用到的公式。（）（）由于在膜系优化过程中，要时常调用膜系的光学特性计

18、算函数。所以提高光学特性计算的速度对于提高整个优化速度来说是十分重要的。本文作者在遵照以上公式的基础上，采用了以下几个措施来提高特性计算的速度。（）改变矩阵连乘的顺序一般的特性计算中，往往把膜系的特征矩阵先连乘起来，最后乘以基板向量，得和。这样，每增加一层膜，就要做次（×）×（）的矩阵运算，也就是要做次乘法运算。我们可以从基板侧开始，依次将膜层的特征矩阵左乘基板向量。最后得到的也是和，但每增加一层膜，只要做一次（×）×（×）的矩阵运算，也就是只要做次乘法运算。不难看出，运算的复杂度减少了一半。（）不使用函数调用和矩阵数组我们很容易想到用二维数组

19、来存储特征矩阵，然后直接调用矩阵相乘的数学函数来完成计算。这是一个简单直观的方法，但这里是调用极其频繁的程序段，这个实现办法在这个场合就显得过于粗糙了。首先，程序实现函数调用的代价是很大的，需要进行复杂的栈操作和现场保护。其间浪费的时间比真计算需要的时间要多得多。如果代码的简洁和可读性确实很重要的化，我们可以用内联函数来实现。这样，程序在编译的时候就会将函数直接展开成宏，而不在运行的时候进行真正的函数调用。但这样做会增加代码段的大小并增加编译硕士学位论文时间。本文作者将矩阵乘法直接翻译成解析式，这样，一个（×）×（×）的矩阵乘法用两个赋值语句就可以实现了。其次，从

20、一个数组读数要经过多次寻址，特别是二维数组，还要读取类型大小，进行乘法和加法计算。其间的开销也比实际计算要大，所以在这样的频繁调用的场合，还是不要用数组为好。本文作者将矩阵的各个元素直接记录在变量里参与计算。（）实数计算由于涉及到很多有吸收的材料，膜层的折射率都是以复数形式表示的。在运算中也是直接进行复数运算。大家知道复数并不是卜的基本数据类型，在中复数是以类的方式实现的。它的加减乘除等运算实际上都是类的成员函数，是对运算符的重载。复数运算不但比实数运算计算量大，更重要的是还要调用重载函数。我们已经知道函数调用的开销是很大的，所以我认为在能不用复数的地方就尽量不用复数。我们也经常遇到纯粹由无吸

21、收材料组成的膜系，在这种情况下，我们可以在一定程度上用实数运算代替复数运算，这样可以大大提高运算速度。在无吸收膜系的特征矩阵中，各个元素是实数或纯虚数，并且成对角形的分布。这样它们的乘积中的元素也是实数或纯虚数，并且位置相同。于是我们可以用实数来表示纯虚数的模，在矩阵的乘法中恰当地改变某些加减号。就可以用实数矩阵代替复数的特征矩阵来进行计算了。这一改进大大提高了无吸收膜系的计算速度。具体形式如下：¨（：）（）叫（彳）一需要指出的是，这样的简化只能在（×）×（×）的矩阵连乘中进行，这样，第一种改进措施就不能使用了。不过能够不用复数，多进行几次乘法已经不在话

22、下了。以上是本文作者对膜系的光学特性计算的程序实现方面一些改进，在实际应用中，这些改进对提高整体优化速度还是很有好处的。图是膜系光学特性计算的程序框图：硕士学位论文图膜系光学特性计算的程序框图第二节膜层厚度灵敏度分析大家知道，膜层厚度的变化引起膜系光学特性的变化，从而引起评价函数的变化。那么对于每个膜层来说，它的厚度变化引起评价函数的变化是大还是小呢，也就是该膜层相对于评价函数的灵敏度如何。这个问题实际镀膜的监控过程来说，无疑是十分有意义的。讨论膜层的厚度相对于评价函数的灵敏度，实际上就是在膜层的边界处改硕士学位论文变折射率，看看能引起评价函数多大的变化。在个很小的范围内改变折射率，我们称为折

23、射率的针状变化。折射率的针状变化引起膜系等效导纳的变化，进而影响到膜系特性的变化，从而引起评价函数的变化。我们计算膜层厚度的灵敏度，实际上就是看该层的厚度变化击引起多少评价函数的变化卵。于是在膜层边界处进行折射率的针状变化，通过计算等效导纳来看看它是如何影响评价函数的。对于这个问题问题，我们有如下公式：铲以）一，（）拉（。）其中，函数是只与位置有关的函数，（）是处的折射率，将该处的折射率改成导致了折射率的针状变化。我们取每个膜层临界处的，取一”（）为相邻膜层的折射率平方差，既可以求得膜厚的变化岔引了起多少评价函数的变化铲。从而就可以得知每层膜的厚度灵敏度。这里，界面处的折射率针状变化改变的是界

24、面两边哪层膜的厚度昵？由于薄膜是向入射介质方向生长的，所以应该是计算靠近基板的膜层的厚度。函数的具体形式和推导过程将在介绍方法时进行具体介绍。幽是膜层厚度灵敏度分析的程序框图：黧金嚣嚣构卜哳和评价函数：！由基板起，依次计算各层的等效导纳由入射界面起，依次计算各界面处的函数蔫萎差差录各层卜岖的灵敏度广，结束图膜层厚度灵敏度分析程序框幽硕士学位论文第三节膜系光学常数反演为了设计和制备光学薄膜系统，就必须首先知道所用膜料的光学常数和制备工艺对它们的影响。目前绝大部分的光学薄膜是采用真空热蒸发技术制备的。这种制备技术导致不同的设备上镀制的薄膜具有不同的光学常数。这是因为不同的制各条件造成薄膜的结构和组

25、分的不同。在现有的镀膜设备上，制各条件又是难以严格控制的。因此，薄膜光学常数的测定在薄膜技术中是必不可少的。光度法是国内外普遍采用的测量薄膜光学常数和厚度的方法。本文介绍的包络线法是光度法中一个测量、反演都比较简单，易于实现的方法。等人在年提出了一个通过测量光学薄膜的光谱透过率曲线来确定弱吸收薄膜的折射率、消光系数和厚度的包络线法。这种方法要求被测样品比较厚，至少有六个四份之一波长。保留了上述包络线法的基本思想，提出了一种根据实测的透射率和反射率光谱曲线的包络线确定非均匀、弱吸收薄膜的光学常数和厚度的方法】。本文作者将两种方法有机地结合起来。在没有实测反射率光谱曲线时，我们根据实测的透射率光谱

26、曲线来求解介质膜的平均折射率、消光系数和厚度。如果给出实测的反射率光谱曲线，还可以进一步获得膜层的折射率非均匀性。以下就介绍一下包络线法的理论基础：当入射光垂直入射到薄膜上时，其透过率由下式表示：。雨巧万面再丽（删？；口（册彳）、其中，（）（。），（）（。），是入射介质的折射率，。是基板的折射率。（）（），分别是代测膜层的折射率、消光系数和厚度。当石时其最大和下最小透射率为：，：芸哄（），、（口）叫：！堕坐：竺（）（，：）。一。硕士学位论文这里，式（）和式（）没有考虑基板后表面的影响，而实测的透射率和反射率的光谱曲线都包含了基板后表面的反射。因此，有必要对式（）和式（）进行一些修正。我们假定基

27、板相对于膜层来说是无穷厚的，所以不考虑干涉效应。这样，考虑基板后表面反射的影响时，式（）和式（）变成：士一譬（击）：哗（），。、玎，以。”，九口吖去一扣志杀，警陋固其中，（），（），（）这里，。，和。，分别是实测的透射率最大值和最小值。由（）和（）两式即可求得膜层的折射率：（一，？。”；）！（）舯华甓陋哪根据极值点处的折射率和波长可求得膜层厚度：了旨鬲（）（五）彳：一（五：）彳。其中，为两个极值点之间干涉级次之差。把膜层的折射率带入修正过的透射率极值表达式（）和（），即可求得：三口：兰掣攀（）爿其中：；（）；，一（）（。一）肚跏以”亡去，；（），（）（，）至此，我们通过薄膜的实测透射率光谱曲线

28、，已经求得了薄膜的平均折射硕士学位论文率、消光系数和厚度。如果同时还给出了实测反射率光谱曲线，那么还可以求出膜层的非均匀性。具体分析如下：对于非均匀薄膜，其特性可以由如下的导纳特征矩阵来表示】：（生）万盯（，）万（）（生）万门其中，：一）：口一侈以令：芒（”。）（，炉上等一（叩（，），（曼）？（生）（旦）一（生）”它们与反射率和透射率极值的关系为鲥警例。警（）：孚竺¨所一以等而与反射率和透射率的极值又有如下关系！二里竺二坐竺：、一。坚些）。生兰？月（）（）（）（、硕士学位论文其中，为膜层靠近入射介质处的折射率，为膜层靠近基板处的折射率，它们分别等于：（，）（）这样，我们把由实测透射率

29、光谱曲线确定的值作为求解膜层非均匀性的初始解，通过（）、（）、（）和（）各式的多次迭代，最终得到，和，并得到膜层的平均折射率（。），以及消光系数和厚度。图是包络线法反演薄膜光学常数的程序框图：幽包络线法反演薄膜光学常数的程序框图一一一一硕士学位论文第三章薄膜优化技术光学薄膜的优化问题就是给定光学薄膜所要求达到的光学特性，进而求出每一层的物理参数。而光学特性往往是在某一个波长范围或角度范围内对于反射率、透过率、相角变化等值的要求。我们在优化过程中需要一个能够描述结果优劣的单值函数，这就是评价函数的由来。一般我们构造的评价函数，都是函数值越小则结果越好。在构造好评价函数以后，如何找到评价函数值很小

30、或达到我们要求的结构，则是诸多优化算法要解决的问题。本章在介绍评价函数构成以后，将要介绍在薄膜设计中常用的三个优化方法：方法、方法、方法。第一节评价函数的构造如何把优化的目标由曲线转化为便于处理的单值函数这就是评价函数所要达到的目的。实现的方法当然有很多种，最直观的当然是求取积分的方法：（）（卫）一（名）】（，）其中和九。分别是起始波长和终止波长，（九）是在此波长点的权重，（）为目标值，即希望的膜系特性，它可以是反射率，透射率等。（）是膜系实际达到的值。这是对于波长进行计算的情况，如果是相对于入射角的情况可以以此为类推。上述的评价函数实际上是通过求取相对误差的平方积分来确定评价函数值的。在一般

31、情况下，本公式运算方便，并且可以很好地反映两条曲线：要求的理想曲线和膜系所实际达到的光谱曲线的接近程度。但它对于在波长窄小范围内的大规模的变化就很难反映出来。不过一般来说，对于光学薄膜优化问题，当膜系的层数不是很大时，可以忽略这种情况。在实际运算中，上述的积分过程是被累加过程所代替的，这是因为取离散的波长点可以减少计算量，同时也方便了计算。这时候上述公式就演变为：赫（）硕士学位论文巧，为容限。若崛取则代表膜系特性与期望特性之间误差的平均百分比。在本设计中万一般都取。这样最后的评价函数值就有了物理意义：如果最后，则表示获得的曲线和要求的曲线平均偏差有。在上述公式中引入权重因子，是因为在实际的设计

32、问题中，很多时候对于不同波长上的特性有不同的要求，比如设计双波段的减反射膜系时，对于可见光波段，要求的反射率尽量小，但红外时就没有那么严格的要求了，这时选取不同的权重因子，更符合实际情况。权重因子的另一个作用就是减少计算量。当设计带通滤波片时，如果带通的波段很窄，而截止的波段较宽，这时如果采用按等波长间隔取值的话，则很难得到理想的结果，原因是截止区间取值过多，使得带通区间的要求被忽略，这时当然可以在截止区、加密取点数，但是这样计算量增加了，这时简单的提高截止区间的权重因子就能很好地达到目的。在上述评价函数中，还有一个因素需要考虑：那就是所要求的特性早面，如果既有对于反射率或透过率的要求，又有对

33、于相角的要求，就存在一个量纲统一的问题。因为相角范围一般是取，而反利率和透过率范围是。在本设计中，考虑到相角的误差一般是在。之间，所以将所有相角的误差都除以来处理，这样最后的评价函数值仍然具有明显的物理意义。在光学薄膜的设计问题中，有很多问题需要有一条平坦的特性曲线，比如说在设计无色差的减反射膜问题中就是如此。当处理这一类的问题是下面的评价函数形式可能会更合适一些：（；一）万（卜）此外，膜系设计的优化目标往往不是单一的透射率或反射率，而是包括相角和偏振状态的综合考虑，这样以上各个函数就不能完整表征结构的优劣了。我们可以对每个单一的优化目标取评价函数，总的评价函数就是它们的加权和：，（）这样的评

34、价函数还可以被灵活地应用，比如取式（一）和式（一卜）所表示的评价函数的和，这样就可以综合考虑平均误差和最大误差。也可以将成品硕士学位论文率因素考虑在评价函数里¨：，（）（）其中是膜系在定的监控误差下用计算机模拟制备过程估算得到的成品率。是成品率因素的权重，一开始取，让特性现满足要求。当优化的结构比较好时就取一定的数值，将成品率因素考虑进去。这样可以设计出在特定的监控情况下容差较好的膜系，无疑是很有意义的。在膜系优化过程中，灵活地应用评价函数将起到很好的效果。人为地在局部区间修改权重将有助于促进特性曲线上优化不好的区域接近要求，在这个基础上继续优化下去，可以达到跳出局部最小的目的。此外

35、，在寻求初始解的时候，我们可以只取特性要求曲线上的几个极值点和拐点处的特性值来构造评价函数，这样，膜系实际特性曲线的性状就会迅速靠近目标曲线，为我们进一步优化构造了良好的初始解。总之，评价函数的构造是优化问题中的一个关键部分。第二节方法方法又称方向加速法，是由）提出的一种共轭方向法【”。它不用目标函数的梯度来产生共轭方向，而是通过不同出发点平行方向上的一维搜索来获得共轭方向。对二次函数这种方法具有二阶截止性质，对于非二次函数也有相当好的收敛性，尤其采用修正算法后，效果更好，是直接法中最有效的一种算法之一。介绍方法之前，我们先要介绍一下共轭向量和共轭方向定理¨】。定义：设是阶对称正定矩

36、阵，如果中有（）个非零向量，满足（），一，（）则称，”关于共轭，或称它们是的共轭向量。定理：共轭方向定理设是×阶对称正定矩阵，非零向量，”（）是的共轭向量，考察二次函数“），从任意初始点“丌始，依次进行如下次一维搜索，求得响应极小点：“，一，则必有硕士学位论文（），一上述点列。至多步将收敛于问题的极小点。证明从略。也就是说对于定二次函数，依次沿个共轭方向一维搜索，一定能达到极小点。既所谓的二阶截止性质。对于非二次函数，虽然不能在第个方向上求得极小点，但重复这个过程，可以很好地求得近似极小点。我们是基于这样一个考虑：在极值点附近函数的性状近似于二次函数。所以该方法具有广泛的适用性。如何

37、找到个共轭的方向呢？可以证明：对于正定二次函数及任意一向量，通过不同的两点，（其连线不与平行），分别沿作一维搜索，所得极小点。，：（既函数不同值等值线的切点）的连线必与关于共轭，既有：（）（）基于这个几何事实，我们构造算法如下：在中，从起始点。开始依次沿两两正交的个方向（通常取坐标轴方向），：，。一维搜索，得新点。，取）（，沿，继续搜索得新点。用，代替。，从开始依次沿，。一维搜索，得新点。，：，。，沿继续搜索得新点：。用：代替：，从：开始依次沿，。，：一维搜索，以此类推：从。开始依次沿。，。，。一维搜索，得新点，。，沿。继续搜索得新点。用。代替，继续搜索。可以看出，。是两个点沿方向一维搜索得到

38、的极小值的连线方向，由以上几何事实知道，如果对于正定二次函数，。和，是共轭的。沿个这样的共轭方向一维搜索，最多次就能达到极小值。如果不是二次函数，不断重复这样的方向替代过程，也可以较快地找到近似极小值。终止准则可以取为：（）图以三元正定二次函数为例，说明方法的优化过程。硕士学位论文图方法的优化过程基本算法有一个严重缺点，搜索的方向总是用统一的模式而不顾条件的不同。当维数较多时，容易发生所求的共轭方向接近于线性相关而不能张成维空间，无法找到极小点。为了克服这个缺点，提出了修正的方法，实际上流形的方法就是指修汇的方法。对基本方法的修正主要是两条：（）方向是否替换要看该次搜索产生的新方向是否好。若有

39、助于共轭向量系的形成则替换，否则不替换。设，取（）（，）（；”）若，表明将换入并不有利，原搜索方向保持不变，不作替换。若，再作如下判断：记上一次迭代各个方向一维搜索产生的相邻各点目标函数下降值为，（）硕士学位论文取其中最大值。、（），记录该下标，并判别（，）（。）。（）如果成立则肯定吸取。有利，否则仍不作替换。（）吸取。作下一次的第个方向，原基本方法总是去掉上一次的第一个方向，修的，方法是去掉上一次的第个方向，因为这样做能使新的个方向所构成的新矩阵的行列式最大，有利于形成共轭方向系。证明从略。图是方法的程序流程图硕士学位论文幽方法的程序流程图硕士学位论文第三节单纯形法（方法）单纯形法】是光学薄

40、膜的优化中运用较多的方法，它具有方法更强的寻找全局最优点的能力，受初始结构的影响小。其数学方法简述如下：在维空间”中的单纯形是指具有（十）个顶点的多面体，当各棱边长度彼此相等时，称为正规单纯形。单纯形各项点的函数值大小在一定程度上反映了（）在”中函数值的变化规律。单纯形法就是利用这种概念找出下降方向来寻求下降点。求得一个下降点后就使其替代函数值最坏的顶点，形成新的单纯形，如此重复，使单纯形沿着函数的下降途径移动、翻滚、缩小，直到单纯形压缩到充分小，就取其中的最小点作为近似最小点。、初始单纯形的构成初始单纯形一般取下规单纯形，即空间中个点，任意两点之间的距离相等。在中，给定一个初始点和规单纯形的

41、棱边长，那么）个顶点的坐标分别为：。？，：，一；，一，？，一，：】（工？），（：），一，（？），一，（：）工（？），（；），（？），一，（：）（）（？叮），（；），（：），一，（膏：）】工”（？），（；），一，（？十），（工：）根据任意两点的距离和边长的关系，即：一。（），一，”（）一（），七，七，一，可求得参数：以玎一百“；鬲一一盯将、的值代入式（），即可求得各个顶点的坐标。（）硕士学位论文初始单纯形的棱边长应根据具体问题确定，一般地，如果已知优化变量的上下界，。（一），则可取口（垒卫），或视情况做适当、，调整。在光学薄膜的优化中，由于存在折射率和厚度这两种差别很大的优化变量，我们必须对边长

42、的取值做一定的修正。我们知道，对于折射率变量，其取值范围一般是，对于厚度变量，一般取中心波长的倍，那么就是几十或几百的数值。如果在构造初始单纯形的时候直接用变量数值代入的话，明显与我们需要的数值有很大出入。也就是说，在单纯形所在的空间中，各个方向上的量度应该是相当的，如果是相同的就更好。于是，我将折射率变量修正如下：（）垒兰，（）一”一生一其中，”。表示折射率变量，表示厚度变量。这样，在”。，】中均匀分布的折射率变量，就转化成在，石扣均匀分布的优化变量。于是，在优化过程中，折射率变量和厚度变量的取值空问是完全相同的，这样就给单纯形提供了一个良好的搜索空间。而在计算特性的时候，也就是将空间顶点翻

43、译成膜系结构的时候，做一次逆变换就行了。至此，我们对于给定的边长，已经可以构造一个如（）式所表示的初始单纯形。这个单纯形的任意两点距离都是。这里，是由优化变量的上下界决定的。优化变量在程序中设有默认值，用户也可以在运行过程中动态地设置。我们也可以对（一）式进行简化，取，于是构造如下形式的初始单纯形：（，）（，）（）（，）（，）硕士学位论文这个单纯形实际上不是正规单纯形，因为各变的边长是不相等的。但是如果，。的数值在同一量级内的话，我们看到各边的边长是差不多的，也就是说这个单纯形没有方向性，是“张开”的。所以可以用这个简化的单纯形来代替正规单纯形来做初始单纯形。、单纯形法的迭代过程（）定义劣点、

44、次劣点、好点、和几何型心点如下（）反射企（）厂（。）女“（。）厂（）（，）厂（）一（一），：”“。（一）（）（）其中口为反射系数，常取或，”是。对于。的反射点。计算（”），根据（”）的大小决定“取代”、“延伸”、“收缩”或“压缩”。（）取代如果（，）（”）（），则用取代工。，形成新的单纯形，回到（）。下一次迭代用原来的扎作为“。（）延伸如果（”）（，），说明该方向下降性很好，作延伸运算”。（“”一。）其中，为延伸系数，常取，如果有（”）（”），则以”取代石。形成新的单纯形，回到（）。否则以”取代。，形成新的单纯形，回到（）。硕士学位论文（）收缩如果（”）（。），则要进行收缩运算。收缩运算分两种

45、情况进行当（”。）（。）时，收缩运算为工”。矽一。）（）当（”）（。）时，收缩运算为。，（一。）（）如果有”。，则以”取代形成新的单纯形，亘（）：否则就要进行压缩。这里，称为收缩系数，常取。（）压缩收缩失败后，使单纯形所有顶点向好点压缩，压缩运算为：，三（，）（，）。，：一，（）由，及新的个顶点形成新的单纯形，回到（）。（）终止准则单纯形经过上述变更（一般成为调优运算）后，逐渐向函数的极小点压缩，当缩，足够小的区域内或各顶点的评价函数值差别足够小的时候，就认为找到了一个极小值。这样，终止准则如下式所示：畦占（）或：【六薹（，功；（）式中和一为事先给定的小的正数。当单纯形满足终止准则以后，就以当时顶点中的最优点作为极小点，结束这次优化过程。、对单纯形法的一些改进单纯形法简单易行，可以广泛适用于各种目标的优化。但是它有一个固有的缺陷，就是容易出现降维现象。既单纯形经过反复变动后变得“扁平”、“狭长”，成为所谓的“低维流形”，不能反映（）在维空阳中的性质，以至无法硕士学位论文找到极小点。特别在维数多的情况下，这种情况尤为突出。为了解决这种情况，我们可以用两种改进的方法。是在迭代的过程中人为检测降维的发生，以重新张开形成接近正规的单纯形。这种方法过多地干预了单纯形的行动，使它反映函数走向的特点不能很好地表现，而且算法复杂，开销也大。所以我决定采用另一种方法。这种方法更加