弹性杆动力学模型及其数值方法

1、青岛大学硕士学位论文弹性杆动力学模型及其数值方法姓名:贾美娟申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:赵维加20090605 第一章预备知识兰/兰j=l彳(纺,仍e一,(仍白=。 c, . 2-7 i =11f彳(纺,仍e一,(仍b=o (1.J 由y&的任意性,即q,乞,勺的任意性,可得出线性方程组彳(纺,纪0=,(仍,(1f三次样条函数:三次样条函数的概念:在区间【口,6】上,给定疗+1个互不相同的节点a=xo<五<<毛宝6(1.2-9函数少=,(x在这些节点的值为厂(=乃,i=o,l,。如果分段表示的函数 s(x满足下列条件(Is(x在予区间【薯,薯+。】上的表

2、达式置(x都是次数不超过3的多项式;(2s(玉=咒;(3s(xC2【口,b】.则称y=厂(x为三次样条插值函数,简称为三次样条。三次样条函数具有良好的数学性质,它是C2类函数,能满足工程设计关于光滑 性的要求,且不论型值点增加多少,在两个相邻节点之间均为分段3次多项式。 7青岛大学硕士学位论文第二章弹性杆动力学模型2.1一阶动力学平衡方程给定惯性坐标系(D一勿f中,把坐标轴分别记为%,%,设弹性杆中心线 r(s,t为弧坐标s和时问t的二元连续函数。记55a a磊瓦i瓦假设截面是刚性的。先平移瓦孬到面,则PQ=PoPo=纰=e3口As再把截面刚性旋转角p得到新的坐标系记为el,岛,岛,使得硒旋转

3、到砸。 (2.1-1第二章弹性杆动力学模型冠=,=万丢+趸蚕=(岛巳+e2e:+(1+岛岛g (2.1-4 则(喜。;刀,f,=cel,e2,1+e3,r c2.-一5, 记J:墼盟,则得到F描述了弹性杆的剪切拉伸,称为剪切拉伸变量。设7=掣,=Tar(s,t它们分别是速度和剪切拉伸变量。以,(s,f上任意一点P为原点,在弹性杆的截面 .卜建立截面主轴坐标系(Pd,d:以作为局部坐标系1131,与文献【20】巾的局部坐标不 同,我们取一(s,t,吒(J,f为位于弹性杆截而上的两个相互垂直的单位向量;在弹 性杆不发生拉伸变形的情况下,即当rl=,2=o,3=l时,心(s,t为在点尸处,(J,t

4、的单位切向量,其中,l,厂2,3是指,的3个分量,下同。记为角速度,Q为弯扭度,则有誓以;誓一畋。设为弹性杆的能量密度函数,则p=等,掰=芸,=蒡,膨=誓p 2百肛面H2而朋。面9青岛大学硕士学位论文分别为动量,角动量,内力和内力矩。将,分解为它=t七s其中乞表不弹性杆的动能密度函数,鬈表不弹性势能密度函数,即乞=要【岛。y.,+.,.国】乞=吉(厂一J。c(,一J。+(Q一臼。D(Q一臼。其中如为线密度,.,为惯量矩阵,C、D为弹性常量矩阵,F4、口。分别为原始剪 切拉伸量和原始弯扭度。设弹性杆各向同性,此时C、D为对角阵,且C=diag(4,蜀,c1,D=西昭(4,垦,巴,其中4,骂为截面

5、绕哦轴和以轴的抗剪刚度,G为截面绕以轴的抗拉刚度,4,垦为 截面绕d。轴和d:轴的抗弯刚度,Q为截面绕哝轴的抗扭刚度。.所以有=三几】,】,+,-,缈+(厂一,。c(J一J。+(Q一臼”D-(口一口。(2.16 注意到p=成。】,肌=勘,F=C(F-F。,M=D(QQ。在惯性坐标系(D一勿f中,利用连续性得到 豢:睾 (2.I-8 af孤7方程(2.18在截面主轴坐标系(P一以吐以中的投影为【28】 坚+缈×J:耋+口×】, (2.1-9 Ot Os 。另外在(D一勿f中,由于52以一52dkmm 3t3s利用国和口的定义得到塑型:避型(2.1-10O t dS lO第二章

6、弹性杆动力学模型注意到在(尸一d,以以中,喀是坐标轴,当然此时喀是常向量,故在【P一以吐以上 挚:o,塑:o (2.1-11 Os dt方程(2.1一lo在(P-d,畋以的投影为警×畋+×(Q×畋=等×以+Q×(×以(2.1-12 利用向量积恒等式×(Q×畋+(×畋×Q=(×Q×以 (2.1-13 方程(2.1-12化为争一卦例,k=1,2,3(2.1-14, 注意到以线性无关,故对于任何向量口,都有争一一卦删(2.1-15,即有擎+×Q:挈 (2.1-16 dt

7、ds设弹性杆在力和力矩作用下任意运动,考虑弧坐标分别为s和s+As的尸和,点 之间的微元弧段。设尸点的负截面在t时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 一F和一M,点的正截而在f+f时刻受临近截而作用的内力和内力矩分别为 F+AF和M+埘,和M均为s和t的二元连续函数。假设弧段上作用的单位长 度分布力g和分布力偶h,将全部作用力对P点简化,jj保留各增量的一阶小量, 根据牛顿力学的动量定理和对质心的动量矩定理,得到【20】肌如铲: (2.1-17af ,l 1” 埘+,×F+厅厶:厶竺dtI一式各项除以纽。令血一0,可得 第三章平衡方程的离散与求解C(s一%(s一。一2(s一%+2(

8、s一%小凼=一等(2当l=刀一l时I谚彩幽=万1eI-N(s一%M(s一%2(2(J一%一(J一%。一+(s一%+2ds h2=一一60I力珈=吾(s一%一(s一%2(J一%+2(J一%一凼=嘉 (3当,=刀+l时f力么出=古e。(s一。一(s一%2(2(s一&一(J一卜+(s一%小2dsh一-_-一60f谚私=吾C”(s一.(s一%2(J一%+2(J一毛H一凼=刍 (4当,=玎一N时l力珈=嘉(一刊2(t+扣“(去一珈1凼+ f一嘉嘉(s一%一2(s一%_(-一去(s一%一凼=一去+嘉 I谚咖=。吉卜洲一一2(一吾÷吾(+秘飞-卜 f一嘉(s一磊(5一毛纠2(一i5F+嘉(

9、t+去(s一%一凼 155h=一一.一一一104h26Jll lO(5当,=刀一1一时r谚彤凼=,r(ss+。一。(SSN+n2(,+去cs一毛(吾一t一(去一砉(s一%出h2=一一27青岛大学硕士学位论文I力酗=嘉(s一曲州(8-SN+n2吾(s一%+2(s一%。凼=嘉(6当,=刀+lN时赛巍成ds=一p粪嘭(,r力彤出N N+pZZ(a。(f×z,(rr欢呜吮凼一一p嘭(,f。力彤出 。(f×z,(fr。欢呜吮凼一,=O I=1k=l 。=c善q(r(碱岳一旃彩晤+r力咖+善N善N(6,(,×(ca。(,N N,善善勿(f×(D以(fIL力么7仡凼+

10、岛(f×(加。Il。饬么幽+丢N善N口,(,×(ca。(,r谚7织瓴出+口小×(or9r谚饯凼+I.谚,凼 当订=2,3,Nl时,把上面结果代入上面两式,再由其中 hi×乃2Kj(1f拧=0,±l,±拂,(3.2-11 (3.2-12第三章平衡方程的离散与求解E 2雕引 一苎芸竽玩厂警坂一斋吃+,丢坛制一(一西31+.168。1h、/hih一丧髓胁.,+i94ho Kd+2633h。K。厅¨+元h2(瓦协,+置屯.,+盖瓦.。吒+等瓦以 +盖眉。+,吼+互4532h0、"K+¨一置+。+,吒+i94h。、

11、"K。一以+,矗。+。+瓦h2(五一置+,五川+了h西3丘.v制口.,一jh而3B+。应胁.,+瓦h2E.,五州+芝4532h。2K,",一面h3(戤椰,+置+,dN+n+j14h2i五+鲁X州+X。I一面h3Kk州+生315k。圹面43h2x氮一瓦h2E+.矗+.=E其巾J为三阶单位矩阵,屁。=qE=E(an.1,a.,a。+,a|Iv+¨,as+n,a,v+。+J,屯.J,屯,巩+J,bN+¨,bN+。,bN+。+J Gh=Gnon。.1,at,aF+l,aNt.1,aN+n,aNt+l,bt.|,bt,b"+l,bN-.1,bN,bNvl

12、, z_.,乙,z月+J,z+。.,ZN+n z+J (3.2-13 (3.2-14青岛大学硕士学位论文分别取拧=l,刀=N时得到K¨和KV”。取詹=(眉(J,K,K(r户=(E,E,7吞=(GJ,嘭,G7玄(五,也,厅2=户当刀=N+I,N+2,2N时同理可推出玄,P和吞。取置=,=G=(耋M:卜L 歹jJ置(西p舀p,厅州艺2F(3.2-15 IM(之,乞,2:。=G3.3数值结果借助于动力学比拟方法,对于固定的f,把超细长弹性杆的表面看作是一条封闭 的平面曲线点集X。=x(o,t沿着空间曲线(s=r(s,f移动和旋转得到的,即设点 30第三章平衡方程的离散与求解集墨(s=X(s

13、,f是点集K摩经过向起点位置(0=,(o,t平移,旋转以及由c(平移 到(s的复合运动得到,则置(s=4(s(x(o一(o+(s (3.3一I 其中4(s=彳(J,t=(d,(J,td2(s,t嘭(J,啪,4(s是由置。一,:(o所在平面到 X(s一(O所在平面的旋转矩阵。在(3.3-1式中对s微分得到警=苦(耶h(0+相 (3.3-2 注意到欧拉矩阵4(s是正交矩阵,利用彳左乘方程组(3.3-2得到X(O-r(O,f=4(s7(置(曲一C(s” (3.33 将(3.33式代入(3.32式得到求解曲面网线X(曲的微分方程初值问题idX,=警4(s7(墨(s一,:(J”+吹J (3.3-4 lK(o=置。从而我ff"-I得到五(曲,模拟出弹性杆。下面是一些数值结果为:2之 与 书七4 2乏 七 七缶 致谢 致谢 本文是在我的导师赵维加教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。在此我要对赵 老师致以诚挚的谢意。在论文的写作过程中，赵老师给了我许多的帮助和关怀。赵 老师学识渊博、治学严谨、平易近人。赵老师的悉心指导，不仅使我学到了扎实的 专业知识，在怎样处人处事等方面也收益很多。同时他对工作的积极热情、认真负 责、有条不紊、实事求是的态度，给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅。