对气体等温气压公式的修正doc

1、对气体等温气压公式的修正 魏国柱，顾永伟，杜安在<<大学物理>>和一些热学教材中，都给出了气体等温气压公式，其推导步骤如下：设N 和N 0分别是离地面高度z 和地面z =0处的气体分子数密度，是气体分子的摩尔质量，g 是重力加速度，R 是气体常 数，T 是绝对温度，则气体分子在重力场中按高度的分布公式是N =N 0e -gz /RT ， （1）再利用理想气体状态方程p =Nk B T ， （2）其中k B 是玻尔兹曼常数，和等温平衡过程方程（3） T =c ，得到气体等温气压公式p =p 0e -gz /RT . （4）式（4）表明，在温度均匀情形下，大气压强随高度增加

2、按指数衰减. 由式（4）可得z =RT p 0 . （5）ln g p由于实际上大气的温度是随离地面的高度而变化的，因此在爬山和航空中，由式（5）根据所测定的大气压强随高度的变化来计算上升的高度时，得到的只是近似结果. 为了得到比较接近实际的结果，必须把式（4）和式（5）进行修正. 在热力学中，表示实际过程中理想气体的压强和体积关系的是多方过程. 显然, 考虑到大气温度随高度的变化，当同样把大气作为理想气体，用多方平衡过程方程取代等温平衡过程方程，推导出相应的气压公式会比较接近实际. 1 气体多方平衡过程的气压公式的推导取坐标如图1所示，在气体中沿Z 方向隔离一个圆柱形体积微元，这一体积微元的

3、力学平衡条件为（6） pS =(p +dp S +gSdz ，其中S 是圆柱形体积微元的底面积，是离地面高度z 处的气体密度，dp 是在高度z +dz 和z 处之间的压强差. 容易得到dp =-gdz . （7）理想气体的多方平衡过程方程是 z zpV n =c ， （8）其中n 是多方指数，显然当 n =1时对应的是等温平衡过程.对一定质量的气体，体积 V 和密度成反比，多方平衡过程方程可改写为p -n =c '. （9）式（8）和式（9）中的 c 和 c '是常数. 如果大气在地面 压强为p 0，在高度为z =0的密度为0，z 时的密度为，压强为p ，则有：p -n =p

4、00-n ， （10）得1p n=( 0. （11）p 0把式（11）代入式（7）得 p dp =-p 00gdz . （12）完成自地面 z =0 到离地面的高度 z 的积分有n -1n -11n -n n(p -p 0 =-p 0n 0gz ， （13） n -1-1n-1n整理后得-1nRT 0p n nz =1-( ， （14）(n -1 g p 0其中 T 0 是地面 z =0 处的绝对温度. 在得到式（14）时我们用到了理想气体的状态方程式（2）. 由此得到气体多方过程的气压公式：(n -1 gz n n p =p 01-1 . （15）nRT 0有意思的是，若令x =-(n -1 gz， （16）nRT 0则式（15）可写成p =p 0(1+x 1-gzRT 0x， （17）当 n 1，即等温平衡过程 ，x 0，利用lim (1+x =e ，x 01x有p =p 0e-gzRT