数值分析作业及参考答案

1、数值分析第一次作业及参考答案1. 设，假定是准确的，而对的测量有秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。解： 2. 设且，求证解：由插值余项为 3. 已测得函数的三对数据：（0，1），（1，5），（2，1），（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插值多项式。解：(1)Lagrange插值基函数为同理 故 （2）令，则一阶差商、二阶差商为 实际演算中可列一张差商表：一阶差商二阶差商011542121 （3）用对角线上的数据写出插值多项式 4. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表

2、的步长应取多少？解： 5. 求在a,b上的分段线性插值函数，并估计误差。解： 6. 已知单调连续函数的如下数据0.110.001.501.801.230.101.171.58用插值法计算约为多少时（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数则问题转化为为多少时，此时可作新的关于的函数表。由单调连续知也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为故 7. 设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式，使其满足，, 。并写出误差估计式。解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式， 由题意可设为确定待定函数，作辅助函数： 则在0,3上存在四阶导数且在0,3

3、上至少有5个零点为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点使，从而得。故误差估计式为8. 设函数在节点的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数：（1） （2）解：（1）取处的一阶导数作为参数，。由于以及由三转角方程 得 由于从而 解之可得故 （2）取处的二阶导数作为参数，。由于以及由三弯矩方程 由于代入方程可得 故 9编程实现题：略。10、试求最佳一次一致逼近多项式，一致被逼近函数为（1） （2）解：（1）因为在内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为 式中 从而 （2）在内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为 得从而 11、给定，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最

4、小零偏差性质，在上求的三次最佳一致逼近多项式。解：令设为在上的三次最佳一致逼近多项式，由于的首项系数为，故 12、设，分别在上求一函数，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。解： 由结果知（1）比（2）好。13、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。 192531384419.032.349.073.397.8解：14、用格拉姆施密特方法构造正交多项式求在0，1上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书）解： 构造正交多项式 于是 所以，在0，1上的二次最佳平方逼近多项式为15、求在1，1上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交

5、多项式）解 先计算。 ； ； ；又有 ， ，得 均方误差 16、 A、B、C三点连成一条直线，AB长为，BC长为，某人测量的结果为米，米，为控制丈量的准确性，又测量米，试合理地决定和的长度。（小数点后取四位有效数字）解：令为AB的所求值，为BC的所求值，则在最小二乘意义下，要达到极小，即求的极小点。令解的。故应取。17、求函数在区间1，1上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）解：三种方法，见参考讲义。（1） 截断切比雪夫级数 由富利叶级数系数公式得，它可用数值积分方法计算，得到 由 及的公式得到（2） 拉格朗日插值余项的极小化由的4个零点

6、 做插值点可求得 ， （3） 台劳级数项数的节约应用的台劳展开，取，得作为的近似，其误差为，由于 则 其中 用做的逼近多项式，其误差为 若再用代入可求出18.编出用正交多项式(格拉姆施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书） 略。19 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。1）2）3）4）解：（1）三个参数，代入（2）三个参数，代入20、已知，（1） 推导以这三个点为求积节点在0，1上的插值型求积公式。（2） 求上述求积公式的代数精确度。（3） 用上述公式计算。解：（1）过三点的二次插值为故有 其中 故求积公式为 （2）因为上

7、述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将代入有故该求积公式的代数精度为3次。 （3）21、如果要用复化梯形公式计算积分，试问应将积分区间a,b分成多少份，才能保证误差不超过。解：已知将a,b分成n份的复化梯形公式的余项为记，则按要求应满足 故 ，为上取整。22、对积分作Romberg数值计算，并自上而下地一行一行算出数表，是近似值稳定至小数后第5位。（精确值）解：记，编制数表如下：第一行： 第二行： 第三行： 第四行： 上面的与数值已稳定至小数点后5位，故可取。23、已知勒让德（Legendre）正交多项式有三项递推关系式：试确定三点的高斯勒让德（GL）求积公式 的求积系数和节点，并利用此公式写出的计算式（无需计算结果）。解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式令，其三个零点为则所求的高斯求积公式为因三点的高斯