响应不变法设计数字低通滤波器

1、燕山大学课 程 设 计 说 明 书题目： 脉冲响应不变法设计数字低通滤波器 学院（系）：电气工程学院 年级专业：10级精密仪器及机械2班学 号： 学生姓名： 指导教师： 刘永红 教师职称： 讲师 电气工程学院课程设计任务书课程名称： 数字信号处理课程设计 基层教学单位：仪器科学与工程系 指导教师： 学号学生姓名（专业）班级 设计题目7、 脉冲响应不变法设计数字低通滤波器设计技术参数给定技术指标为：，采样频率。设计要求设计Butterworth低通滤波器，用脉冲响应不变法转换成数字滤波器。参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料周次前半周后半周应完成内容收集消化资料、学习MATLAB软件

2、，进行相关参数计算编写仿真程序、调试指导教师签字基层教学单位主任签字 目录第一章 前言 4第二章 数字信号处理基础知识部分 52.1 巴特沃斯滤波器的设计 52.2 数字滤波器IIR 9第三章 matlab部分基础知识143.1 MATLAB介绍 143.2巴特沃斯matlab函数介绍15第四章 仿真部分及仿真图164.1数字滤波器的设计步骤164.2 MATLAB程序 174.3仿真结果 18第五章 结论 19第六章 参考文献 20第一章 前言数字信号处理课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB的结合后的基本实验以后开设的。本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实

3、现一个较为完整的小型滤波系统。滤波器是自动控制、信号处理和通信领域的重要组成部分,广泛地应用于各种系统中。MATLAB语言是一种简单、高效的高级语言,是一种内容丰富、功能强大的分析工具，其应用范围几乎覆盖了所有的科学和工程计算领域。MATLAB中提供了丰富的用于模拟滤波器设计的函数,通过编程可以很容易实现低通、高通、带通、带阻滤波器,并能画出滤波器的幅频特性曲线，大大简化了模拟滤波器设计。本文将通过利用MATLAB滤波器设计函数直接实现巴特沃斯低通滤波器的设计，找到应用MATLAB来设计低通滤波器的方法。介绍了用脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器的基本理论和设计思想，给出了基于MATLAB设

4、计巴特沃斯低通滤波器的具体步骤，文中还给出了利用MATLAB产生的滤波器的幅频及相频特性曲线。详细介绍了在基于MATLAB设计低通滤波器过程中常用到的工具和命令。 第二章 数字信号处理基础知识部分2.1巴特沃斯滤波器的设计 1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点 巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是 （2-1-1） 式中N为整数，是滤波器的阶次。=0时，=1时；当=时，=1/ ，所以称为半功率点。此时通带内衰减lg，所以又被称为3dB截止频率。巴特沃斯滤波器的振幅特性如图2.1.1所示。由图可见，当时，随加大，幅度迅速下降。下降的速度与阶次N有关，N越 大，幅度下降速度越快，过渡带

5、越窄。 图2.1.1 巴特沃斯幅度特性和N的关系2.幅度平方函数的极点分布及的构成 将幅度平方函数写成s的函数（2-1-2） 此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点用下式表示 k=0,1,2，2N-1（2-1-3） 这2N个极点分布在s平面半径为的圆（称为巴特沃斯圆）上，角度间隔是/N弧度。N=3时，极点间隔为/3弧度或60度，如图2.1.2所示。图2.1.2 三阶巴特沃斯滤波器极点分布极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上。当N是奇数时，实轴上有极点；当N为偶数时，则实轴上没有极点。巴特沃斯滤波器的N个极点为 （2-1-4）则的表达式即滤波器的系统函数为 （2-1-5）3.频率归一化问题式（2

6、-1-5）即为所求滤波器的系统函数，可看出与有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要不同，就不一样。为使设计统一，可将所以的频率归一化。这里采用对3dB截止频率见归一化，归一化后的表示为=（2-1-6），令，称为归一化频率，则，记为p称归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为（2-1-7）式中为归一化极点，=，（2-1-8）。这样，只要根据技术指标求出阶数N，便可按式（2-1-8）求出N个归一化极点，再按照式（2-1-7）得到归一化的传输函数。4.阶数N的确定 阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由和确定。令， ,则N由下式表示： （2-1-9） 关于3dB截止频率，如果技术指标未

7、给出，则按下式求出：（2-1-10）。5.设计步骤总结以上讨论，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：1）根据技术指标和，用式（2-1-9）求出N。 2）按照（2-1-8），求出归一化极点，代入（2-1-7），得到归一化传输函数。也可以直接查表. 3)将去归一化。将p=s/代入，得到实际的滤波器传输函数。如果技术指标没有给出3dB截止频率，可以按照式（2-1-10）求出。2.2数字滤波器IIR1.IIR滤波器基础IIR滤波器的设计就是在给定了滤波器的技术指标后，确定滤波器的阶数N和系数。在设计IIR滤波器时，常用的方法是利用模拟滤波器来设计数字滤波器，设计方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对应的

8、模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器，最后将设计出的模拟滤波器转换为满足技术指标的数字滤波器。将系统函数从s平面转换到z平面的方法很多，主要有两种：一种是使数字滤波器的近似于模拟滤波器的，可导出脉冲响应不变法；另一种是使数字滤波器的差分方程近似于滤波器的微分方程，由此可导出双线性变换法。为保证转换后的稳定且满足技术要求，对转换关系提出以下两点要求：（1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其系统函数的极点全部位于s平面的左半平面；数字滤波器因果稳定则要求的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。（2）

9、数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器频率响应，s平面的虚轴映射z平面单位圆。2.脉冲响应不变法 脉冲响应不变法的核心是通过对连续函数等间隔采样得到离散序列，使（其中T为采样间隔）,因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下 设模拟滤波器只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将用部分分式表示，则 （2-2-1） 式中，为的单阶极点。将进行拉氏逆变换得到 （2-2-2） 式中，单阶阶跃函数。对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 （2-2-3） 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数 （2-2-4）由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方便，对任一极点，

10、到得转换可直接用下式来完成 (2-2-5)将式（2-2-1）的和式（2-2-4）的加以比较，可以看出：1）S平面的单极点变换到z平面上处的单极点。2）与的部分分式的系数是相同的，都是。3）如果模拟滤波器是稳定的，所有极点位于s平面的左半平面，及极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。 3.与的关系下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里以采样信号作为桥梁，推导其映射关系。将的采样信号用表示， 对进行拉式逆变换，得到 式中，是在采样点t=nT时的幅度值，它与序列的幅度相等，即，

11、因此得到(2-2-6)上式说明采样信号的拉氏变换与相应的Z变换之间的映射关系为 (2-2-7)已知模拟信号的傅立叶变换和其采样信号的傅立叶变换之间的关系满足 （2-2-8）其中，将s=j带入上式，得 （2-2-9） （2-2-10）上式表明将模拟信号的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期延拓后，再按上式的映射关系映射到Z平面上，就得到H(z)。可称为标准映射关系。图2.2.1 冲击响应不变法的映射关系设 则得到： (2-2-11)那么 上面关系式说明，s平面左半平面映射z平面单位圆内，s平面的虚轴映射z平面的单位圆上，s平面右半平面映射z平面单位圆外。这说明：第一，如果因果稳定，转换后得到仍因果稳

12、定；第二，数字滤波器频率响应模仿模拟滤波器的频率响应，满足转换关系的两点要求。与二者关系可由式（2-2-10）导出，考虑，且，则得到（2-2-12）。这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应以为周期的周期延拓。因而正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是有限的，且带限于折叠频率以内时，即，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即。4.频率混叠现象实际上，任何一个模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。如果原模拟信号的频带不是限于+/-/T之间，则会在他的奇数倍附近产生

13、频率混叠，从而映射到z平面上，在=+/-附近产生频率混叠。脉冲响应不变法的频率混叠现象如下图所示图2.2.2脉冲响应不变法的频率混叠现象5.脉冲响应不变法的优点脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。 第三章 matlab部分基础知识3.1 MATLAB介绍 设计平台MATLAB7.1 MATLAB 是美国 MathWorks 公司生产的一个为科学和工程计算专门设计的 交互式大型软件，是一个可以完成各种精确计算和数据处理的、可视化的、强大 的计算工具。 它集图示和精确计算于一身， 在应用数学、 物理、

14、 化工、 机电工程、 医学、金融和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。它不仅是一个 在各类工程设计中便于使用的计算工具，而且也是一个在数学、数值分析和工程 计算等课程教学中的优秀的数学工具，在世界各地的高和大型计算机上运行，适 用于 Windows、UNIX 等多种系统平台。 MATLAB 作为一种科学计算的高级语言之所以受欢迎， 就是因为它有丰富的 函数资源和工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编 写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语 言的 MATLAB 最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境3.2巴特沃斯mat

15、lab函数介绍1. buttordN,wc=buttord(wp，ws，p，s) 用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。调用参数wp，ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0wp1，0ws1且对于低通滤波器wp<ws。1表示数字频率pi。2.butterb，a=butter（N，wc，ftype）计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值（关于pi归一化），一般是调用N,wc=buttord(wp，ws，p，s)格式计算N和wc。系数b、a是按照z-1的

16、升幂排列。3freqz计算离散系统在0范围内的N个频率等分点的频率响应的值。4. absAbs（H）为取H得幅度。5. angleAngle（H）为取H的相位角，单位为弧度，用pha显示计算的相位。6. axisaxis(xmin xmax ymin ymax) 中分别给出x轴和y轴的最大值、最小值7. subplotsubplot(m,n,p) 将多个图画到一个平面上的工具。其中，m表示是图排成m行，n表示图排成n列，p是指你现在要把曲线画到figure中哪个图上。8. plot plot(x,y)是绘制二维图形的最基本函数， 以x 元素为横坐标值，y 

17、;元素为纵坐标值绘制曲线。9. Xlabelx轴注解Ylabely轴注解Title标题注解Grid on开启网格格式 第四章 仿真部分及仿真图4.1数字滤波器的设计步骤 设计流程图4.2 MATLAB程序Fs=1000; fp=100; fs=300; Ap=3; As=20;Wp=fp/(Fs/2); Ws=fs/(Fs/2);N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As); b,a=butter(N,Wc);H,F=freqz(b,a,500,Fs);subplot(2,2,2)plot(F,20*log10(abs(H) xlabel('频率(Hz)'); ylabe

18、l('幅度(dB)') axis(0 500 -40 3); title('数字滤波器分频曲线')grid onsubplot(2,2,1)plot(F,abs(H); xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度');title('数字滤波器幅频曲线')grid on;subplot(2,2,3)pha=angle(H);plot(F,pha);xlabel('频率(Hz)'); ylabel('相位(rad)')grid ontitle('数字低通滤波器相频曲线')4.3仿真结果 第五章 结论 本次课程设计的数字低通滤波器首先要设计出相应的巴特沃斯低通滤波器，由我们课上学过的知识，根据所给的设计参数确定滤波器的阶数，