应用技术统计学复习例题

1、命大于 225小时?例题1:某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度 为10.5cm。今在某段时间内随机地抽取15段进行测量，结果为(单位：cm):10.5 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7假定金属棒长度服从正态分布。此段时间内该机工 作是否正常（a =0.05 ）解：需要检验：例题2:某种电子元件的寿命 X（单位：小时）服从正态分布,今随机地抽取16只元件进行测量，结果为：159 280 101 212 224 379 仃9 264 222 362 168 250 149 260 4

2、85 仃0问是否有理由认为元件的寿（a =0.05 ?解：需要检验：H0: g< 225H1: g ?22, n=16, S=98.7259, X =241.5H0:卩=10.5 , H1:卩工 10.5 , n=15 , S=0.2356 ,X =10.4867-0S / . n241 5- 22598.7259 / 16= 0.6685X-匕 _ 10.4867 -10.5S/、n 0.2356 / 15=0.2192to.o25（14）=2.1448|t|<to.O25（14）,不能拒绝原假设，认为此段时间内该 机工作正常。S =等于计算器上n -1,x=统计的平均值，用计算

3、器输入计算t0.05(15)=1.76 1 3T<t0.05（15），没有理由认为元件的寿命大于225小时例题3:随机地挑选20位志愿者， 分别服用甲、乙两种药, 记录下他们药效时间（单位：分），得数据如下：服用79.172.476.274.377.4甲药78.476.075.576.777.3服用78.181.077.379.180.0乙药79.179.177.380.281.2假定药效时间分别服从 N(卩1, a 12)、N(卩2, a 22), 显著性水平a =0.05，检验：1) H0： a 12 = a 22 , H1 : a 12 工 a 222) H0: g 1= g 2,

4、 H1 : g 1< g 2解：1)变量1变量2平均76.3379.33方差3.8401112.397889观测值1010df99F1.61455解：2)2Sw =3.1190, Sw=1.7661 ,变量1变量2平均76.3379.33方差3.8401112.397889观测值1010合并方差3.119假设平均值0df18T stat-3.79838t=-3.7989 , t a(n 1+n2-2)= 1 0.05(18)=1.7341 t<-t «(n1+n2-2),故拒绝原假设Fa2(n1-1,n2-1)= F 0.025(9,9)=4.03F1- a2(n1-1,

5、n2-1)=F o.975(9,9)=1/F 0.025(9,9)=1/4.03=0.2481F1-迖n1-1,n2-1)<F<F a/2(n1-1,n2-1),不能拒绝原假设。认为a 12= a 22。解:方差来源平方和自由度均方F比判断因素ASar-1,Sa ， r -1/查表（0.05 和 0.01）横竖2.750030.916670.5323-因素BSbs-1,邑，s1/查表（0.05 和 0.01）横竖27.1667213.583357.8872*交叉 作用A XBSi(r-1)(s-1)-_Sl,(r -1炉1)/查表（0.05 和 0.01）横竖73.5000612.

6、25007.1130*误差Sers(t-1),Se rs (t T )41.3333241.7222总和Strst-1144.750035自由度：r代表A的下标数字，s代表B的下标数字t代表A于B比较产生的数值，这里为 3例题4:三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量如下表。机器记为因素 A，操作工记为因素 B。 设A、B水平的每对组合（Ai，Bj）的试验服从N （i j , b 2）,且每次试验都是独立的。请完成如下的方 差分析表：A水平B水平BiB2B3Ai151916151918171621A2171519171522171522A3151818171718161618A 418

7、1517201617221717表格中的-，-代表计算岀来的数值，为后续计算提供的数据。 判断：F比的数值小于查表值用“-”，大于查表值用“ * ”，间于查表值“ *例题5:设总体X的概率密度为:2d-：:：x ：:试求；:的极大似然估计；并问所得估计是否无偏。解:nL 二 IIixu)CFni Ae -, In L - - n In 2 n In ；二nziaXiEXi人 d l n L 令n= 2IId craa1 :J1nE X = E-ZXi尸z,n i二Jni 7i三1n0,Xi1nE X 二 ' E x 二 E；|xni2*2：，-hxj-0 xdex-xe+Xj o e

8、Cdx-He o-Ha0 dex-e=二无偏，故二，无偏估计例题6:设分别从独立总体 N (卩1, a 2)和N (卩2, a 2)中抽取容量为m , n的两个样本，其样本方差分别为S12,S22。试证：对于任意常数 a和b (a + b =1), Z = a S12+b S22都是a 2的无偏估计。并确定常数 a和b, 使D(Z)达到最小。解：E S；2,E S；E Z 二 E aS； bS； = aE S12bE S；二 a b 二 2D Z = D aSj bS；二 a2D S12b2D S；二二 22二4 u 22 二 4汇:b2m - 1n - 1n"S；x2n1,(m 一

9、1怡応x2 m - 11 , D S12 '：-mina如令fa令fa厂m -1a 二m为-2 n -4 b =m "+n -22am - 12am - 1厂 2a,m _ 11 -a 2n - 12 1 - an _ 1b _ m -1c £ '2bn -17f1 -b 2n - 121 一 b门m1 n1例题7:设总体N ( g , b 2)，其中b 2已知，问需抽取容量n为多大的样本，才能使 卩的置信度为1- a的置信区间 的长度不大于给定正值 L。解：min置信度为1 -的置信区间长度为:Ct2 一-L , nx. naL2-2,2込ax. n例题8

10、:设总体N ( g , b 2)，其中卩,b 2未知，设x1, x2, , xn为来自总体的一个样本。求关于卩的置信度为1-a的置信区间的长度L的平方的数学期望。4S2t-解：L = 2 孚怙（n 一 1 ）, L2 n 24- 2t2 n2例题9:试述一元线性回归模型。解:试述一元线性回归模型1、描述因变量y如何依赖于自变量x和误差 的方程称为回归模型2、一元线性回归模型可表示为：y = '-0+ Ux+e (总体回归模型) y是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于 x的变化而引起的y的变化误差项是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对 y的影响是不能由x和

11、y之间的线性关系所解释的变异性 0和'1称为模型的参数例题10:网上查的试述单因子方差分析的数学模型： 单因子方差分析模型如下:Lyij=g+aji=1,2,，r; j=1,2, t(8.2)“ ij N(0, b)这里yi看成第i个水平下的试验结果，引N(gi, 2也在Ai水平下做了 t次试验，获得t个数据yj(i=1,t需检验假设：Ho：沪吃=为(8.3)现把参数形式改变一下：记i = 1,r我们称卩为一般平均，a i为因子A的第i个水平的效应，r个效应满足rr关系式：v :-i-0i _1i 1于是单因子方差分析模型(8.2)可改写成：y i j =卩+ £iji =1

12、，”r, j =1,t5j N( 0, b2)rZ a =0i 土所要检验的假设(8.3)可改写为：H o： a= a2= = a=0(8.5)(8.4)需指出的是在模型(8.4)或(8.2)中，观察到的是yj,而哥是观察不到的，通常称可为随机误差或随机干扰下面就来讨论(8.5)的检验引起yj的波动Ho为真,波动由随机误差引起Ho不真导致我们首先分析引起yj波动的原因，有如下两个今后我们的yjj视情况不同可以表示随机变量，也可以表示观测数据，下面就从分解平方和入手，找出 反映上述两个原因的量来，为此先引入(8.6)yijyi.t j 1 t_1 r t1 ty=EEyij =E yi.其中 n = rt(8.7)n i m j仝 n 称.是从第i个母体抽得的子样的平均，常称为组平均值，而 y称为样本总平均值，我们称r t& =為為y)2Q8)i妊j珀为总偏差平方和t_，i=1,r由于有工(yj -y) =0j丘r t_所以(yj yj® y) =° i j 故总偏差平方和有如下分解式r tS 八' (yij -y)2i 4 j