平面向量全部讲义

1、1.向量的有关概念第一节平面向量的概念及其线性运算例 3 :化简 AC BD + CD AB得()A.ABB.DAC.BC向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于 1个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.例4: (1)如图，在正六边形uuu uuu uuurABCDEF 中，BA + CD + EF =(uuuuuurB. BEC. ADuuu D. CF0与任一向量共线.12 uuur uuur uuur

2、设D ,E分别是 ABC的边AB,BC上的点，AD = AB,BE= BC.若DE =乃AB +力AC例1 .若向量a与b不相等，则a与b 一定()A .有不相等的模B .不共线C .不可能都是零向量D .不可能都是单位向量例2 .给出下列命题：若B, C, D是不共线的四点，则uuu uuurAB = DC等价于四边形ABCD为平行四边形；若a = b, b= c,贝U a= c;a= b 等价于 |a|= |b|且 a / b;若 a / b, b / c,贝U a / c.巩固练习：1. 将4(3a+ 2b) 2(b 2a)化简成最简式为 .2. 若 |OA + Ofe|=|O)A- O

3、)B|, 则非零向量oA, oB的关系是()疋A .平行B.重合 C .垂直不确其中正确命题的序号是()A .B .C .D .uuu uuu uuu3 .若菱形ABCD的边长为2,则I AB CB + CD |= uuu4. D是厶ABC的边AB上的中点，则向量 CD等于(uuiu C. BCCA2.向量的线性运算uuur 1 uuuuuur 1 uuuA . BC + 2BA b . BC : BA向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算平/ 11(1) 交换律：a + b = b+ a;(2) 结合律：(a + b) + c= a+ (b + c)a三角形法则II #a

4、行四边形法贝减法求a与b的相反向 量一b的和的运算 叫做a与b的差/ ba b= a + ( b)a三角形法则数乘求实数入与向量a的积的运算(1)| 刊=| 川a|;当心0时，的方向与 a的方向相同；当入v 0时， ?a的方向与a的方向相反;当入=0时，?a= 0X ua)=(入旧；(入+ p)a = 2a + a;?(a+ b)= ?a+ 25.若A, B, C, D是平面内任意四点， 给出下列式子:uuu uuu uuu AC BD = DC +uuiuAB .其中正确的有()6.如图,在厶ABC中,1 uuu-寸BAuuurAB +uuurD. BC1 uuu+寸BAuuur uuu u

5、uur uuuuuuCD = BC + DA ； AC + BD = BCD, E为边AB的两个三等分点，CA = 3a, CB= 2b,求CD, CE.uuur1 DD- 巩固练习 1。16a+ 6b 2。C 3。24。A 5。C 6.解：AB = AC + CB = 3a + 2b,为AB的两个三等分点， Ad = 3aB = a+2b= DE. CD = CA+ Ad = 3a a +£b = 2a+|b.A CE= CD +,224+ 3b a + 3匕=a + 3b.3.共线向量定理：向量a(a0)与b共线等价于存在唯一一个实数人使得b=入a例5.已知a与b是两个不共线向量

6、，且向量a + ?b与一(b 3a)共线，则 =uuuuuuuuu例6.设两个非零向量 a与b不共线，若AB = a + b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.巩固练习：uuuAD ；1给出下列命题:uuu uuu uuu点，t R)? OP = xOA + yOB (O 为平面内异于 A, P, B 的任一点，x R , y R,x+ y= 1).两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.?a = 0(入为实数)，则入必为零.人为实数,若 扫=pb,则

7、a与b共线.其中错误的命题的个数为 (2如图，已知B . 2uuur uuurAB = a, AC=b,uuuBDC. 3uuu=3 DC，用D. 4uuua, b表示AD第二节平面向量的基本定理及坐标表示A. a+ |b13B.4a+4bc.114a+4bD.3a+ 4b443.已知向量a,量 a + b+ c=(b, c中任意两个都不共线，但a + b与c共线，且C. c4如图，在 ABC中，/的长为()uuu，贝y AD =()b+ c与a共线，则向1.平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数其中，不共线的向量 ei,

8、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底uuur 1 uuurA = 60 ° / A的平分线交BC于D，若AB= 4,且AD = -ACuuu入AB (氐R)，贝y AD2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a = (xi, yi), b =(X2, y2),C. 4 3D. 5 ；3uuuruuuruuur5.在？ABCD 中，AB = a, AD = b, AN = 3 NC , M 为 BC 的中点,A. 2 '3B. 3 .'3uuuuuuu则MN =(用a,b表示).6.uuuruuu设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜

9、，BC 2= 16, |ABuuur uuuuuurAC |= |AB AC i,则 | AM | =uuuu1uuuuuu5. 3 例 6.解(1)证明：/ AB = a + b, BC = 2a+ 8b,3uuuCD = 3(a b),uuu uuuuuuuuiruuuBD = BC + CD = 2a + 8b+ 3(a b)= 2a+ 8b + 3a 3b= 5(a + b) = 5 AB . AB ,uuuBD共线,又它们有公共点 B, A, B, D三点共线./ ka+ b与a+ kb共线，存在实数人使ka+ b = ?(a+ kb),即ka+ b = 2a +入k (k ?)a

10、=(入k 1)b.a, b是不共线的两个非零向量,- k入1 = 0, - k2 1 = 0. k= ±.4.向量的中线公式：若P为线段AB的中点，O为平面内一点,uuuOP1 uuu uuu =2(oa + Ob ).5.三点共线等价关系A,P, B三点共线？uuuuuuuuruuu uuuAP = XAB (炉 0)? OP = (1 t) OA + tOB(O为平面内异于A, P, B的任则 a + b =(xi + X2, yi+ y2),ab=(xi x2,yi y2),?a=(入 x,入 y, |ax1+ yi.(2)向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即

11、为向量的坐标.uuuuuu 设 A(xi,yi),B(X2,y2)，则 AB =(X2 xi,y2 yi),| AB |= jX2 xi2+y2 yi2.3.平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b= (x2, y2)，其中 b半 0.a/ b? xiy2 x2yi = 0.例 7 .若 A(0,1), B(1,2), C(3,4)，则 AB 2BC = _uuuiu例8.已知点M(5 , 6)和向量a= (1, 2)，若MN=3a,则点N的坐标为()A . (2,0) B . ( 3,6)C. (6,2)例 9 .已知 A( 2,4), B(3, 1), C( 3, 4).设

12、求满足a = mb+ nc的实数m, n.巩固练习:1.若向量 a = (1,1), b = ( 1,1), c= (4,2)，则 c=(D. ( 2,0)uuuBe = b,uuu AB = a,3a + b2.已知向量 a= (x, y), b = ( 1,2),且 a + b= (1,3)，则 |a|等于(3.已知向量 a= ( 3,2), b= (x, 4)，若 a / b，则 x=()4 .设点A(2,0), B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|= 2|AP|,则点 A . (3,1) B. (1 , 1) C. (3,1)或(1 , 1)D .无数多个uuuCA = c.(

13、1)求 3a + b 3c;B . 3a b C. a+ 3bA. .' 2 B. . 3 C. .' 5 D. 10D. 7D. a+ 3bP的坐标为(5.已知 a= (1,2), b= ( 3,2)，当 ka+ b 与 a 3b 平行时，k=()1A.： B.6.已知向量 a= (cos 0, si nB),向量 b = (.'3, 1)，则 |2a b| 的最大值、最小值分别是)DB. 4 ;'2, 4 C. 16,0 D. 4,07.已知向量a= (1,2), b = ( 2,3), c= (4,1)，若用 a 和 b 表示 c,贝U c=B.-3C.-

14、3&已知向量a= (3,1), b = (1,3), c= (k,7)，若(a c)/ b，则 k=2.设D, E分别是 ABC的边AB, BC上的点,1AD pAB,2>->->BE = "BC .若DE = AB + AC(入，入为实数)，贝U力+茏的值为例 7. ( 3,3) 例 8.A 例 9.解：由已知得 a= (5 , 5), b= ( 6, 3), c= (1,8).(1)3a + b 3c= 3(5, 5) + ( 6, 3) 3(1,8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6, 42).3 -3.若M为 ABC内一点，且满足AM

15、 AB4-AC,则4ABM与ABC的面积之比为6m+ n= 5,(2) Tmb+ nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n ),.3m + 8n = 5,m = 1, 解得n = 1.2a b 54若点M是厶ABC所在平面内的一点，且满足5AM = AB + 3AC，则 ABM与厶ABC的面积比为平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数2B.23C£9D.25+ 耳，其中e1, e2是一组基底.特别注意：若e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,a = ?1e1 + ?ee2, b1e1例10 :4rb31:4例10: (1)如图，平面内有三个向

16、量 OA, OB, OC,其中0A与0B的夹角为120°0A与0C的夹角为30°且|0A平面向量共线的坐标表示 |= |0B|= 1 , |0C|= 2寸3，若0C = QA+ QB(入 哎 R),则的值为例 11 .已知 a = (1,2), b= ( 3,2),当实数k取何值时，ka + 2b与2a 4b平行?练习：1.已知向量 a = (2,3), b = ( 1,2)，若(ma+ nb) / (a 2b)，则；等于( )C1D.2B. 2UULT UUUUULT(2)已知AD, BE分别是 ABC的边BC, AC上的中线，且ADr UUL TULUa,BE b ,则

17、BC可用向量a,b表示为uuu(3).如图，已知 c为 OAB边 AB上一点，且 AC 2CB,OC mOA nOB(m,na),求实数k；3 .平面内给定三个向量a= (3,2), b= ( 1,2),r), W mn 二变式训练:UULT1.在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若ADUUU UUT 1 UUU2DB,CD -CA3uuuCB,则2 .已知 A(1,1), B(3, 1), C(a, b). (1)若 A, 的坐标.UULTB, C三点共线，求a, b的关系式；(2)若AC = 2 AB，求点Cc= (4,1). (1)求满足 a = mb+ nc 的实数 m, n; (2)

18、若(a + kc) / (2b例11 .解法一：/ 2a 4b丰0，二存在唯一实数得(k 6,2k+ 4) = X14, 4)，得 k 6= 14 沮 2k+ 4= 4 入 解得 k= 1.人 使ka+ 2b = ?(2a 4b).将a, b的坐标代入上式,解法二：同法一有 ka+ 2b = %2a 4b)，即(k 2 为a + (2 + 4 为b= 0.v a 与 b 不共线，二 k 2 入=°，2+ 4= 0.(2)a+ kc = (3 + 4k,2+ k), 2b a = ( 5,2)，由题意得k= 1.uuuruuuruuur uuir1. C 2 .解：(1)由已知得 AB

19、 = (2, 2), AC = (a 1, b 1),：A, B, C 三点共线，二 AB / AC.2(b 1)+ 2(a 1) = 0,即卩 a + b= 2.uuuruuua 1 = 4,a = 5,(2) / AC = 2 AB , .(a 1, b 1) = 2(2 , 2).解得b 1 = 4,b = 3.点C的坐标为(5, 3).5m+ 4n= 3,m = 9，3.解(1)由题意得(3,2) = m( 1,2) + n(4,1)，所以得2m+ n = 2,8 n =.9'2X (3 + 4k) ( 5)X (2 + k)= 0.*=-閑uuu若 A(x1, y1), B(

20、x2, y2),则 AB = (X2 X1, y2 y1)uuuAB =寸(X2 X1 )2 + (y2 y1)2a丄b的等价条件a b= 0a1b1+ a2b2= 0夹角a b cos a, b > =.a|b|(|a|b|z 0)a1 bi a2bncosa, b> =-l_J a； a；Jb； b；|a b|与 |a|b| 的 关系|a b|w|a|b|i.-22；2,2| a1b1 a2b21 J at a b1b2一、平面向量数量积的运算uuu uuu uuu例1(1)在等边三角形 ABC中，D为AB的中点，AB= 5,求AB BC , CD(2)若 a = (3, 4)

21、, b = (2,1)，求(a 2b) (2a + 3b)和|a+ 2b|.变式训练1.已知下列各式： |a|2= a2;菲=©(ab)2= a2b2 :(a- b)2= a2 2a b+ b2,其中正确的有().|a| a平面向量的数量积及应用A . 1个B. 2个C. 3个D . 4个知识梳理1.两个向量的夹角uuu(1)定义：已知两个 向量a和b,作OA = a,向量b的夹角，记作a, b>.uuuOB = b,则(2)范围：向量夹角a, b>的范围是，且=b, a>.若a3.已知: a (b c) a b a c ；rra (b c)(a rr rr0，则a

22、 0或b 0；若abc b,则 ac ;2,b 3,a与b的夹角为120。，求之(1r r a b;r2(2)a2.下列命题中2r bbrab) c ；(a其中正确的是(3)( 2：b)2rb)2|a|2|a| |b|(答：)r r(a 3b)|b| ;(3)向量垂直：如果a, b>，贝H a与b垂直，记作4.已知a 3,r r3r r r r4, a与b的夹角为 ，求(3a b) (a 2b)。42.平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义： 叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作a =.可见，a 是实数，可以等于正数、负数、零.其中|a|cos 0(|b|cos 0)叫作向量a在

23、b方向上(b在a方向上)的投影.(2)向量数量积的运算律a b=(交换律)(a + b) c=(分配律)(扫)b =5.已知a= (1,3), b= (4,6), c = (2,3),则(b c)a等于().A . (26,78)B . ( 28, 42)C. 52D. 78性质几何表示坐标表小定义a b = |a|b|cos a, b>a b = a1b1+ a2b2模a a= |a|2或 |a|=/a|a| Ja； al3. 平面向量数量积的性质：已知非零向量a = (ai, a2), b= (bi, b2)=a (力)(数乘结合律).二、求平面向量的模例2. ( 1)设向量a,b满

24、足r3arb2值 的 rb r a3求3120(2)设平面向量a= (1,2),b= (-2, y)，若a / b，则 |3a+b等于().A .5B. .6 C.17 D.265已知ad，br ukb, dr r ub , c与d的夹角为一，贝U k等于4(答:1);6.已知|a | 3 , |b | 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为(答:工)5变式训练1.已知 |al=2,| b |=5, a b =-3,则|a + b|=,|a- b |=.n2. 若向量a, b满足|a|= 1, |b|= 2且a与b的夹角为3，则|a + b| =33. ABC 中，| AB | 3 ,

25、 | AC | 4 , | BC | 5，则 AB BC(答：一9);四。利用数量积解决垂直问题u u ur ur例4若非零向量、满足ur urur，证明：LT4.已知向量 a = cos'y, si,cog, - sin|，且 xn n3, 4 .(1)求a b及|a + b|; (2)若f(x)= a b- |a+ b|,求f(x)的最大值和最小值.三、求夹角例 3 已知 |a|= 4, |b|= 3, (2a- 3b) (2a + b)= 61.(1)求 a 与 b 的夹角 0;变式训练：uuuuuuuuu uuu31.已知 OA ( 1,2),OB(3,m)，若 OA OB，则 m(答：)；2变式训练：1.已知a 1, b 运，且a b与 a垂直，求a与b的夹角2.若a,b是非零向量且满足(a2b) a , (b 2a) b，则a与b的夹角(A.B. C.63J D.32. 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB , B 90，则点B的坐标是 (答：(1,3)或(3,-1 )；3. 已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是 (答：(b, a)或(b,a)4 .已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a- c) (b- c)= 0,则|c|的最大