勾股定理的实际应用

1、生活中的勾股定理数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题下面举例分析如下：一. 地基挖的合格吗？例1如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,ADF=BC=6Mac=9请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问 题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，来验证它是否为直角三角形. AD2 DC262 82100,AC292 81,二AD2 DC2 AC2

2、,所以 ADC不是直角三角形， ADC 900,而标准为长方形，所以四个角应为直角.所以该农民挖的不合格.评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、 有着广泛的应用，可以用它来判定直角， 家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下， 工人是如常利用勾股 定理的逆定理得到直角.二. 木棒能放进木箱吗？例1 有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm, 30cm, 40cm的木箱中, 能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按 各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度.解：能放进去.如图

3、4，连接AG, ACi,22222在 Rt A1B1C1 中，46&B,BQ,502 3022 2 2 2在 Rt AA1C1 中,AC1AA1A1C1402 34002T 5000 > 70 , AC170 (cm) 70cm长的木棒，能放进这只木箱中.评注：解决此题的关键在于明确 AC1即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力.勾股定理的实际应用勾股定理是数学中的重要定理.它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题下面举例分析如下.一、计划修筑

4、的公路会不会穿过公园例1如图1,某市为方便相距 2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（即 图中的线段 AB）,经测量，在 A处的北偏东60°方向、B处北偏西45°方向的C处有一半径 为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？为什么？分析：关键是求点 C到AB的距离CD，即CD的长是否大于0.7，大于0.7则不会穿过 公园，小于0.7则会穿过公园.解：过 C 作 CD 丄 AB 于 D，则/ CAB=30° , / CBA=45° .在 Rt CDB 中，/ CBA=45° ,所以 BD=CD .在 Rt CDA 中，

5、/ CAB=30° ,所以 AC=2CD .设 CD = DB=x，贝U AC=2x.由勾股定理得ad=、3x.因为 AD + DB=2，所以.3x x 2 .所以计划修筑的这条公路不会穿过公园.、铺地毯需要花多少元例2如图2,在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽分析：从表面看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平 方向的长度和为 AC，竖直方向的长度和为 BC，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC，再求AC+BC即可.解：在 Rt ABC 中，AC2+BC2=AB2,所以 AC2=AB2-BC2=52-32=2

6、5-9=16 .所以AC=4 （米）.所以地毯长度为 AC+BC=4+3=7 （米）.所以地毯总面积为 7X2=14 （平方米）.所以需花30X14=420 （元）.说明：本题是一道生活中的实际问题，解决此问题的关键是从实际问题中构建数学模型直角三角形，借助勾股定理求出AC的长.三、B点与入射点的距离是多少例3 如图3，两点A, B都与平面镜相距 4米，且A, B两点相距6米，一束光由 A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点间的距离.分析：此题的关键是找出入射点 0,利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点0,再运用勾股定理进行求解.解：作出B点关于CD的对称点B',连

7、接AB',交CD于点0,贝U 0点就是光的入射点.连接 0B .因为 AC=BD，/ AC0= / BDO=90° / A0C = Z BOD .所以 AOC BOD .1所以 OC = OD=AB=3 米.2在 Rt ODB 中，OD2+ BD2= OB2,所以 OB2= 32 + 42= 25.所以OB=5 （米）.说明：勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用.四、两船相距多远例4 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距多远分析：根据题意画出图形，得到两轮船航线的夹角为90°分别求出两船航行1.5小时的路程，再根据勾股定理求出两船相距的距离.解:故两艘船航行的方向 OA,OB 成直角，OA=16 X1.5=24 （海里），OB=12 X1.5=18 （海里）.连接 AB,