高中数学复习学(教)案(第65讲)二项式定理

1、题目 第十章排列、组台、二项式定理二项式定理高考要求 1正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式2会区分项的系数与项的二项式系数 3掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用4 熟练掌握二项式定理的基本问题通项公式及其应用知识点归纳 1二项式定理及其特例：（1），（2）2二项展开式的通项公式：3常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数

2、是，可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 题型讲解 例1 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×=1+，得n=8设第r+1项为有理项，T=C··x，则r是4的倍数，所以r=0，4，8有理项为T1=x4，T5=x，T9=点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定

3、系数法确定r例2 求式子（x+2）3的展开式中的常数项解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常数项的情况有：三个括号中全取2，得（2）3；一个括号取x，一个括号取，一个括号取2，得CC（2）=12，常数项为（2）3+（12）=20解法二：（|x|+2）3=（）6设第r+1项为常数项，则T=C·（1）r·（）r·|x|=（1）6·C·|x|，得62r=0，r=3T3+1=（1）3·C=20例3 求（1+x+x2+x3）（1x）7的展开式中x4的系数；求（x+4）4的展开式中的常数项；求（1+x）3+（1+x）4+（1+

4、x）50的展开式中x3的系数解：原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展开式中x4的系数为（1）4C1=14（x+4）4=，展开式中的常数项为C·（1）4=1120方法一：原式=展开式中x3的系数为C方法二：原展开式中x3的系数为C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键例4 求展开式中的系数解：令点评：是展开式中的第项，注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是，第4项的系数为，二者并不相同例5 求展开所得的多项式中，系数为有理数的项数解：依题意：，为3和2的倍数，即为6的倍数，又，构成首项为0，公差为6，

5、末项为96的等差数列，由得，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展开式中的系数解法一：故展开式中含的项为故展开式中的系数为240解法二： 要使指数为1，只有才有可能，即故的系数为解法三：由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现，其它四个括号出现常数项，则积为的一次项，此时系数为点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用例7 设an=1+q+q2+q（nN*，q±1），An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An；（2）（理）当3<q<1时，求解：（1）因为q1，所以a

6、n=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2）=1（）n因为3<q<1，且q1，所以0<| |<1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n解：在中令得 点评：记住课本结论： 注意所求式中缺少一项，不能直接等于例9 已知，求解： 令时，有令时，有 点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反

7、三例10 求展开式中系数最大的项解：设第项系数最大，则有，即又故系数最大项为点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项，的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式T=Cbr时，要注意：通项公式是表示第r1项，而不是第r项展开式中第r+1项的二项式系数C与第r+1项的系数不同通项公式中含有a，b，n，r，T五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须

8、注意n是正整数，r是非负整数且rn2证明组合恒等式常用赋值法3二项式定理应用通常有以下几类题型：通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式在概率等方面的应用学生练习 1已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，则a0+a1+a2+a9等于A29 B49 C39 D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9已知条件中只需赋值x=1即可答案：B2 2x+）4的

9、展开式中x3的系数是A6B12C24D48解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系数为C·22=24答案：C3（2x3）7的展开式中常数项是A14B14C42D42解析：设（2x3）7的展开式中的第r+1项是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x，当+3（7r）=0，即r=6时，它为常数项，C（1）6·21=14答案：A4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20 B219C220D2201解析：C+C+C=2201答案：D5已知（x）8展

10、开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是A28B38C1或38D1或28解析：T=C·x8r·（ax1）r=（a）rC·x82r令82r=0，r=4（a）4C=1120a=±2当a=2时，令x=1，则（12）8=1当a=2时，令x=1，则（12）8=38答案：C6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_（以数字作答）解析：（x+x）n的展开式中各项系数和为128，令x=1，即得所有项系数和为2n=128n=7设该二项展开式中的r+1项为T=C（x）·（x）r=C·x，令=5即r

11、=3时，x5项的系数为C=35答案：357若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_解析：ab=CC=31，n=11答案：118（x）8展开式中x5的系数为_解析：设展开式的第r+1项为T=Cx8r·（）r=（1）rCx令8=5得r=2时，x5的系数为（1）2·C=28答案：289若（x3+）n的展开式中的常数项为84，则n=_解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x令3nr=0，2n=3rn必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，C=C=84答案：910已知（x+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于

12、22，二项式系数最大项为20000，求x的值解：由题意CCC=22，即CCC=22，n=6第4项的二项式系数最大C（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=（26+0）=32点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项

13、系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或112在二项式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求的范围解：（1）设T=C（axm）12r·（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr为常数项，则有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5项（2）第5项又是系数最大的项，有Ca8b4Ca9b3 Ca8b4Ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二项式（+）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）T=C（）8r（2）r=C··x4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8展开式中x的有理项为T1=x4，T5=x，T9= x2点评：展开式中有理项的特点是字