高考数学专题复习讲练测——专题二 函数与方程 专题复习讲练 3 函数应用性问题

1、§3函数应用性问题一、复习要点1应用函数知识解应用题的方法步骤： （1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键转化来源于对已知条件的归纳、综合、分析与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类；（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确立最佳解题方案，进行数学上的计算求解；（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答2解函数应用问题常见的错误：（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；（2）在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件二、例题讲解例1某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售该地区

2、政府每投资万元，所获利润为（1160）（40）10万元为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通公路修通后该土特产品在异地销售，每投资万元，可获利润（159160）（60）（1192）（60）万元试问：从十年的总利润来看，该项目有无开发价值?讲解：若按原来投资环境不变，由题设知，每年只要从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元这样10年总利润的最大值为10×10100（万元）若对该产

3、品开发，则前5年中，当30时，（758），前5年的总利润为（758）×5（3758）（万元） 设后5年中，万元用于本地销售投资，60万元用于异地销售投资，则总利润（1160）（40）10×5（159160）（1192）×55（30）4500从而当30时，的最大利润为4500万元于是10年总利润的最大值为37584500万元37584500100，该项目具有极大的开发价值例2某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、12万件、13万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系模拟函数可以选用二次

4、函数或函数y=abx+c（其中a、b、c为常数）已知4月份该产品的产量为137万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由讲解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于137万件，哪种函数作为模拟函数就较好故应先确定出这两个函数的具体解析式设y=f（x）=pxqx+r（p、q、r为常数，且p0），y=g（x）=abx+c（a、b、c为常数）.由已知得 f（1）=1，g（1）=1，f（2）=1.2，g（2）=1.2，f（3）=1.3g（3）=1.3.即p+q+r=1，及ab+c=1，4p+2q+r=1.2，abc=1

5、.2，9p+3q+r1.3abc=1.3.解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7;a=-0.8，b=0.5，c=1.4.f（x）=-0.05x0.35x+0.7，g（x）=-0.8×05x+1.4.f（4）=-0.05×4035×40713，g（4）=-0.8×0514135，g（4）更接近于137，故选用y=-0.8×05x14作为模拟函数较好确定两种函数的解析式是解答本题的关键例3在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一

6、半现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长（1）试写出d关于v的分段函数式（其中S为常数）；（2）问应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q（1000v）（d+S）最大?讲解：（1）本题是从实际生活中抽象出来的实际应用性问题，入手较容易车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，由此可建立如下数学模型：d=kv，其中S为常量，v、d为变量，k为比例系数，是待定的常数由题设知，当v=50千米/小时时，d=S.由此可确定k的值由Sk·50·，得k=12500.d=（12500）v为了交通安全，从实际出发，提出了一个限制条件“最小车距不得小于车身长的一半

7、”，从而增加了题目的难度，也为“函数分段”提供了依据由题意得d=（12500）v（12）S，v（25002），即v25（千米/小时）d=（12）S （v25），（12500）v （v25）.（2）当v25时，Q=（1000vd+S）=（1000v（12）S+S=（2000v3S）;当v25时，Q=1000v（12500）v2500000（v+（2500v）S.车流量Q与车速v的函数关系是Q=（2000v3S） （v25），（2500000（v+（2500v）S （v25）.v+（2500v）在25，50上是减函数，在50，）上是增函数当v=50时，（v+（2500v）min=100，从而Qma

8、x=（25000S）.又当v25时，Q=（2000v3S）（2000×253S）（25000S），当v=50千米/小时，车流量最大三、专题训练1将进货单价为80元的商品400个按90元一个售出时能全部卖完，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个为了赚得最大利润，售价应定为（）.A每个110元B每个105元C每个100元D每个95元2某物体一天中的温度T是时间t的函数：T（t）=t-3t+60，时间单位是小时，温度单位为，t=0表示12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度为（）.A8B112C58D183在本埠投寄平信，每封信不超过20时付邮费0.60元，超过20而不超过4

9、0付邮费1.20元，依次类推，每增加20需增加邮费0.60元（信的重量在100以内）如果某人所投寄一封信的重量为72.5，那么她应付邮费（）2.1元2元23元24元4图2-5是某工厂8年来某种产品产量c与时间t（年）的函数关系，下面有四种说法：图2-5前三年中产量增加的速度越来越快；前三年中产量增长速度越来越慢；第三年后，这种产品停止生产；第三年后，产量保持不变其中说法正确的是（）.ABCD5甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2km甲10时出发前往乙家，乙10时半从家中出发迎甲，图2-6表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系，其中甲在

10、公园中休息的时间是10分钟，那么y=f（x）的函数表达式是_.图2-66在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到a，a，an共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从a，a，an推出的a=_.7做一个容积为4的圆柱形油桶，若两底材料600元，侧面材料300元，则最节省的材料费约为_元（取1.5） 8某商品进货价每件50元，销售价每件x元，据市场调查，当50x80时，每天销售的件数为p=（10（x-40）若想每天获得利润最大，销售价应确定为多少元?9某食品专卖店为了弄清某食品的市场行情，进行了为期20天的调查，对每天的价格和销售量作好记录，将结果描在坐标平面上，可近似地得到价格（每件P元）与天数的关系如图27所示，销售量Q（百件）与天数的关系如图28（半圆）所示图27图28（1）求销售收入y（元）与天数（x）的函数关系式；（2）销售收入最高的大约是哪一天?此食品每件定价多少元最好?（精