商品房还贷方案优化设计

1、摘要本文针对购房还贷问题进行了讨论。我们通过上网搜索了相关知识，依据每 个问题中的不同情况，建立相应的模型进行求解，并运用Lingo软件对数据进行处 理，给出了各种情况下的购房还贷优化方案。针对问题一，通过分析我们建立了差分方程模型，求解出每月还款额公式：(I + 厂)-1并推算出每月被银行拿走利息的计算公式：7 = (Pxr-w)(l + r)w_,最后用ling。编程求解出一万元借贷十年的还款总额为13164. 828以及逐月被银 行拿走的利息钱见表。针对问题二，因等额本息还贷比较适合收入稳定的工薪阶层。所以我们采用 等额本息还款模式，然后分别建立十年还贷、五年还贷以及是否提前还款不同情况

2、 下的模型，通过对比得出贷款33万用54个月还清的最优方案。其中2007年3月 10日志2011年3月10日月消费上限为2250元，2011年3月10日至2012年3月 10日的月消费上限为3090元。针对问题三，在王先生及其外甥A收入、开销、年终奖及现有可支配金额都 不相同的条件下，我们把王先生及其外甥两家当做一个整体，以还贷总利息最小作 为LI标建立模型，设讣出最优方案，然后将节省下来的利息合理分配到两家，达到 使两家都满意的效果。针对问题四，在问题三的基础上对模型进行修整，仍将王先生及其六个外甥 看做一个整体，将各个家庭收入、开销及年终奖等合并到一起，然后以最大额度用于首付，使贷款最小，

3、已取得利息最少的目的。通过具体汁算得出六个外甥各向 银行贷款贷款121624.5元、还贷期限均为3年、并且每次年终奖都用于提前还款 的最优还贷方案，此方案总共向银行支付利息80935. 4元，总共节约了 103040. 5 兀O针对问题五，根据题中所给数据，运用有效投资组合，对各个项U的收益 率、方差进行计算，并使用MATLAB编程进行求解，然后将投资三个项LI的收益与 银行贷款付息相比，判断方案可行，最终确定对项H中投资43. 5万元、项口乙投 资6. 5万元，年收益为25099. 582775元的最优方案。关键词：等额本息差分方程有效投资组合 Lingo、MATLAB软件一、问题重述购房策

4、略问题问题背景：近些年来，我国商品房销售火爆。山于升值潜力大，不少人愿意投资于房 产。但是，高位的房价乂迫使大多数人不得不向银行贷款。然后，用按揭的方式逐 月偿还银行贷款额。注意：向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3 年.等。问题提出：第一问：2007年9月1号，某高校教师王先生到某商品房去看房，销售小姐 向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。这个明细表给出了若向 银行借了 1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。王先生不知还款公式怎样写，请 你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。如果向银行借1万元，借10年。 请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被

5、银行拿走的利息 钱。表1借银行1万元为例每月等额房贷还款明细表:年限实际还款年利率月利率月还款（元）15. 5080. 4590858. 4025. 5080. 4590440. 9935. 5080. 4590302. 0045. 5080. 4590232. 6055. 5080. 4590191. 05105. 73750.478125109.71155. 73750.47812582. 97205. 73750.47812570. 14第二问：王先生看中了一套135m2单价为3230/m2的房子，准备9月10号 前成交。他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服

6、从均匀分 布，每年还有3万元的年终奖金。这时候王先生手头有15万元的可支配的现金， 现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设讣还贷 方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：首付不得低于20%）。第三问：但事情有变：2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息 的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买 了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%,但外甥A手头只有可支配现金5 万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分 布。她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新 方案

7、，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？第四问：但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这 一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见 表2。那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？请你帮她拿出详细的方案。即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前 还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。表1:借银行1万元为例每月等额房贷还款明细表：购买房子的总价手头可支配的现金每月开销（均匀分布）每月家 庭 总收入首付最低比例年终 奖外甥B35万15万1500-2000 元5000 元30%2

8、万元外甥C30万20万1200-1800 元1000 元30%0万元外甥D15万10万1000-1500 元3500 元40%3万元外甥E25万8万1200-1500 元4500 元30%0万元外甥F20万9万800-1200 元3000 元40%5万元第五问：王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出 来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？请说明理由。如 果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项LI,各投资多少？表3三种项H （屮、乙、丙）12年中后一年相对于前一年资产每年的增长悄况年份项目甲项目乙项目丙19961.3001.2251. 1491

9、9971. 1031.2901.26019981.2161.2161.41919990. 9540. 7280. 92220000. 9291. 1441. 16920011.0561. 1070. 96520021.0381.3211. 13320031.0891.3051. 73220041.0901. 1951.02120051.0831.3901. 13120061.0350. 9281.00620071. 1761.7151.908注：例如1996年项U甲1.300的意思是：1996年项訂屮的最后资产是1995 年最后资产的1.3倍，其他类推。四、问题分析4. 1问题一的分析：通过上

10、网查阅相关知识，我们了解到等额本息还贷规则，建立差分方程模型 推导出每月还款金额公式以及逐月还款利息公式，最后运用Lingo对数据进行处 理，得出逐月还款利息。4.2问题二的分析：首先将等额本息还款和等额本金还款两种不同还款模式进行分析比较，通过 上网查阅资料我们了解到:等额本息还款就是按按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到 还款期限的每个月中。作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中的 本金比重逐月递增、利息比重逐月递减，适合收入稳定的群体。等额本金还款方式将本金分摊到每个月内，同时付清上一还款日至本次还款 日之间的利息。借款人可随还贷年份增加逐渐减轻负担，适合口前收入

11、较高的人 群。考虑到王先生家庭收入稳定，并且每月收入并不是很高，因此我们采用等额 本息还款模式，然后通过计算将不同贷款年限以及贷款金额不同的情况作对比，并 考虑提前还款对方案作具体调整，最终得出最优还贷方案。4. 3问题三的分析：王先生至少要借给外甥3万元，外甥才足以支付买房首付。要使得两家人对 方案都满意，就要使付给银行的利息最少。因此，我们可以把王先生及其外甥两家 合并到一起，通过具体讣算对比出可支配现金如何分配才能使支付银行的利息达到 最少，确定最优方案。然后将节省下来的钱按两家节省利息的比列分配给两家，以 达到两家收益平衡。4.4问题四的分析：在问题三的基础上对模型进行修整，仍将王先生

12、及其六个外甥看做一个整 体， 将各个家庭收入、开销及年终奖等合并到一起，然后以最大额度用于首付， 使贷款达到最少，已取得利息最少的目的。4.5问题五的分析：首先要考虑到投资三个项U与银行贷款付息相比是否获利，若获利，获利多 少，在获利的情况下，贷款越多越好。高利率存在高风险，在有风险的情况下，应 该选择哪个投资项LI。先算岀每个项LI的获利情况、风险大小、利率曾长趋势，综 合三个因素，确定最优投资方案。二、模型假设(1) 假设还款期限不受外界因素的影响。(2) 假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值。(3) 假设在贷款期限内利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀等因素的影

13、 响。(4) 假设每个月的收入只用于月开销与还款，不用于其他方面。(5) 假设王先生以及各个外甥的年终奖金都在每年3月10号发放。(6) 假设年终奖金在每年3月10日发。三、符号说明P:贷款总额n:贷款时间(月):贷款月利率:每个月的还款利息tn:月还款数:贷款后笫k个月时欠款余数R:贷款总利息五、模型建立与求解5. 1问题一的模型建立与求解：5. 1. 1模型建立根据题意并查阅相关资料我们知道，若贷款总额为P,月利率为，贷款年限为rn,每月还贷金额为 m9Pk为第个k个月还贷后的本息和，则第一个月：片=P(1 + /) - m第二个月：P2 =片(1+)-加个月:第个月：+1昇=耳（1 +门

14、加模型求解针对本题，我们主要是为了求解每月的还款额m,因此我们令4 = 4 - Pk = 1.2,3 /2由（1）知：4 = Pd-m9理（1 +厂）-皿则:4.1 = 4（1+ 厂），k = L2,3./;山上式递推可得:A.=4（i+厂）IllA + P- = 4 + A-i + -2 二二 4 + 4d + 卩得Pk则：=人1 + (1 +厂)+ (1 +(1 +厂)人r,、(1+讥1=(pr - in)=P(l+A-1 力(1 + r)k - 1则：到第个月后，,代入上式得:即+讥如nn则此时本息和几, = 0,k = n空P(1 + /T-1月还款额二月利率x(l十月利率护數(1十月

15、利率屮辿1X货款木金逐月利息公式为:r = (P x r - /n)(l + r)1 +m如果向银行贷款1万元，贷款期限为10年。我们运用Lingo编程求解出还款 总额为13164. 828元，逐月被银行拿走的利息钱见下表：表 5. 1. 1：年份月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月第一年47. 8147. 5247. 2246. 9246. 6246. 3216. 0245.7145.4145. 144. 7944. 48第二年44. 1743.8543. 5443.2242.942. 5842. 2641.9441.6241.2940. 9640. 64第三年40.

16、3139.9739. 6439. 3138. 9738. 6338. 2937. 9537.6137. 2636. 9236. 57第四年36.2235.8735.5135. 1634.834. 4434. 0833. 7233. 3632. 9932. 6332.26第五年31.8931.5231. 1430. 7730. 3930.0129. 6329.2528. 8628. 4728. 0927.7第六年27.326.9126.5126. 1225. 7225. 3224.9124.5124. 123. 6923. 2822.87第七年22.4522.0321.6121. 1920. 7720. 3419. 9219.4919.