第八章学案2双曲线ppt课件

1、名师伴你行名师伴你行1.1.双曲线的定义双曲线的定义（1 1第一定义：平面内与两个定点第一定义：平面内与两个定点F1F1，F2F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a2a2a|F1F2|2a1)(e1)的动点的轨迹叫的动点的轨迹叫做做 . .其中常数其中常数e e叫做叫做 . .双曲线双曲线 焦点焦点 焦距焦距 双曲线双曲线 离心率离心率名师伴你行2.2.双曲线的方程双曲线的方程焦点坐标为焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)F1(-c,0),F2(c,0)，实轴长为，实轴长为2a2a的双曲线的标准的双曲线的标准方程为方程为 ; ;焦点坐标为焦点坐标为F1(0,-c)F

2、1(0,-c)，F2F20,c0,c），实轴长为），实轴长为2a2a的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程为为 . .3.3.双曲线的几何性质双曲线的几何性质以以 (a0,b0)(a0,b0)为例为例. .（1 1范围：范围： ；（2 2对称对称性：性： ；（3 3顶顶点：点： ； 实轴：实轴： 虚虚轴轴 ： ；1 1c c- -a ay ya ax x2 22 22 22 22 21 1c c- -a ax xa ay y2 22 22 22 22 21 1b by ya ax x2 22 22 22 2|x|a,y R 对称轴：对称轴：x=0,y=0，对称中心为，对称中心为O0,0） A(a

3、,0),A(-a,0),B(0,b)，B(0,-b)|AA|=2a|BB|=2b名师伴你行（5准线：准线： ；（6渐近线：渐近线： ；（7焦半径：焦半径：|PF1|= ， |PF2|= . a-ex0, P在左支上在左支上 ex0-a, P在右支上在右支上|a-ex0|= -a-ex0, P在左支上在左支上 a+ex0, P在右支上在右支上|a+ex0|=y= xa ab bx= c ca a2 2（4离心率：离心率： ；e= ,e1a ac c名师伴你行考点一考点一 求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 【例【例1】已知双曲线的渐近线方程为】已知双曲线的渐近线方程为y= x，并，并且焦点都在

4、圆且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程上，求双曲线方程.【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在点可能在x轴上，也可能在轴上，也可能在y轴上，故应分两种情况讨轴上，故应分两种情况讨论求解论求解.3 34 4名师伴你行【解析】（【解析】（1当焦点在当焦点在x轴上时，设双曲线方程为轴上时，设双曲线方程为 =1a0,b0）.因渐近线方程为因渐近线方程为y= x，那，那么么 . 又由焦点在圆又由焦点在圆x2+y2=100上知上知c=10，即有，即有a2+b2=100. 由式由式解得解得a=6,b=8.双曲线方程为双曲线方程为 =1.

5、2 22 22 22 2b by y- -a ax x3 34 43 34 4a ab b6 64 4y y- -3 36 6x x2 22 2名师伴你行（2当焦点在当焦点在y轴上时，设双曲线方程为轴上时，设双曲线方程为 =1(a0,b0),由题设得由题设得 a2+b2=100 ,解得解得a=8,b=6.另一条双曲线方程为另一条双曲线方程为 =1.2 22 22 22 2b by y- -a ax x3 34 4a ab b3636x x6464y y2 22 2名师伴你行【评析】双曲线【评析】双曲线 =1与与 =1是一对共轭双是一对共轭双曲线，一般形式是曲线，一般形式是 =1.因而本题有另一

6、种解法，设双曲线方程为因而本题有另一种解法，设双曲线方程为 =,于于是是(3 )2+(4 )2=100,解得解得=4.所求双曲线方程为所求双曲线方程为 =4,即即 =1.一般而言，若双曲线的渐近线方程为一般而言，若双曲线的渐近线方程为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则其共轭双曲线方程形式为则其共轭双曲线方程形式为f1(x,y)f2(x,y)=(0).6464y y- -3636x x2 22 23636x x6464y y2 22 22 22 22 22 2b by y- -a ax x2 22 22 22 24 4y y- -3 3x x | | | | | |1616y y- -9

7、 9x x2 22 26464y y- -3636x x2 22 2名师伴你行对应演练对应演练根据下列条件求双曲线方程：根据下列条件求双曲线方程：（1以坐标轴为对称轴的等轴双曲线两准线间的距离以坐标轴为对称轴的等轴双曲线两准线间的距离为为 ;（2以椭圆以椭圆 =1的长轴端点为焦点，过的长轴端点为焦点，过P( ,3);（3与双曲线与双曲线 =1有共同渐近线，且过有共同渐近线，且过点点P(3, ).2 24 49 9y y2 25 5x x2 22 21 16 6y y6 6x x2 22 22 24 42 24 4名师伴你行（1）两准线间的距离为两准线间的距离为4 , ,即即 ，即，即 .又等轴

8、双曲线的离心率又等轴双曲线的离心率e= ,a=4,b=4.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为x2-y2=16或或y2-x2=16.2 22 24 4c c2 2a a2 22 22 2c ca a2 22 22 2e ea a2 22 2名师伴你行（2）椭圆长轴端点为（椭圆长轴端点为（5,0）,所求双曲线的两焦点在所求双曲线的两焦点在x轴上，且轴上，且c=5，又设双曲线的，又设双曲线的方程为方程为 =1(a0,b0),P(4 ,3)在双曲线上，在双曲线上， =1,又又a2+b2=c2=25,联立解之得联立解之得a2=16,b2=9.故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为 =1.2 22 22

9、22 2b by y- -a ax x2 22 22 2b b9 9- -a a32329 9y y- -1616x x2 22 2名师伴你行（3与双曲线与双曲线 =1有共同渐近线的双曲线方程可有共同渐近线的双曲线方程可表示为表示为 =m(m0),由题意由题意m= =-1,故所求的双曲线方程为故所求的双曲线方程为 =1.1616y y- -9 9x x2 22 21616y y- -9 9x x2 22 21616) )2 2(4(4- -9 93 32 22 29 9x x1616y y2 22 2名师伴你行考点二考点二 双曲线的几何性质双曲线的几何性质【例【例2】双曲线】双曲线 =1(a1

10、,b0)的焦距为的焦距为2c,直线直线l过点过点(a,0)和和(0,b),且点且点(1,0)到直线到直线l的距离与点的距离与点(-1,0)到直到直线线l的距离之和的距离之和s c.求双曲线的离心率求双曲线的离心率e的取值范围的取值范围.【分析】直接用已知的【分析】直接用已知的“ 距离之和距离之和s c这个条件列这个条件列出只含有出只含有a和和c的不等式的不等式,再通过构造法再通过构造法,将此不等式变形将此不等式变形为一个只有为一个只有e=ca的不等式的不等式,再解不等式即可得解再解不等式即可得解.2 22 22 22 2b by y- -a ax x5 54 45 54 4名师伴你行【解析】直

11、线【解析】直线l的方程为的方程为 =1,即即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式以及由点到直线的距离公式以及a1,得到点得到点(1,0)到直线到直线l的距的距离离d1= .同理得到点同理得到点(-1,0)到直线到直线l的距离的距离d2= .s=d1+d2= = .由由s c,得得 c,即即5a 2c2.于是得于是得5 2e2.即即4e4-25e2+250,解不等式解不等式,得得 e25.由于由于e1,所以所以e的取值范围是的取值范围是 e .2 22 22 22 2b by y- -a ax x2 22 2b ba a1)1)- -b(ab(a2 22 2b ba a1)1)b(ab(a

12、2 22 2b ba a2ab2abc c2ab2ab5 54 4c c2ab2ab5 54 42 22 2a a- -c c1 1- -e e2 24 45 52 25 55 5名师伴你行【评析】【评析】e2= 这一关系在双曲线的有关运算这一关系在双曲线的有关运算中常常用到中常常用到 ，同时要注意三种曲线关于，同时要注意三种曲线关于 e 的范围的区别的范围的区别.2 22 22 22 22 2a ab ba aa ac c名师伴你行对应演练对应演练设双曲线设双曲线C: =1(a0)与直线与直线l:x+y=1相交于两个相交于两个不同的点不同的点A,B.(1)求双曲线求双曲线C的离心率的离心率e

13、的取值范围的取值范围;(2)设直线设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P,且且PA= PB,求求a的值的值.2 22 22 2y y- -a ax x12125 5名师伴你行(1)由由C与与l相交于两个不同的点相交于两个不同的点,故知方程组故知方程组 =1 x+y=1 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0 1-a20 4a4+8a2(1-a2)0，解得解得0a2且且a1.双曲线的离心率双曲线的离心率e= ,0a 且且e .即离心率即离心率e的取值范围为的取值范围为( , )( ,+).2 22 22 2y y- -a ax x有两个不同的实数解有两个不同的实数解,消去消去y并整理得并整理得1

14、1a a1 1a aa a1 12 22 22 22 22 26 62 22 22 26 6名师伴你行(2)设设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).PA= PB,(x1,y1-1)= (x2,y2-1)，由此得由此得x1= x2,由于由于x1,x2都是方程都是方程的根的根,且且1-a20, .消去消去x2,得得 ,由于由于a0,a= .12125 512125 512125 52 22 22 22 22 22 2a a- -1 12a2a- -x x12125 5, ,a a- -1 12a2a- -x x121217172 26060289289a a- -1 12a2a- -

15、2 22 213131717名师伴你行考点三考点三 双曲线性质的综合应用双曲线性质的综合应用 【例【例3】已知双曲线】已知双曲线C： =1(a0,b0)，B是右顶点，是右顶点，F是右焦点，点是右焦点，点A在在x轴正半轴上，且满足轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，过成等比数列，过F作双曲线作双曲线C在第一、三象限的渐近在第一、三象限的渐近线的垂线线的垂线l，垂足为，垂足为P.（1求证：求证：PAOP=PAFP;（2若若l与双曲线与双曲线C的左、右两支分别相交于点的左、右两支分别相交于点D，E，求双曲线求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围的取值范围.2 22 22 22

16、2b by y- -a ax x名师伴你行【分析】（【分析】（1如图如图8-2-1，根据条件写出，根据条件写出l的方程，求出的方程，求出点点P的坐标，利用向量的坐标运算进行证明的坐标，利用向量的坐标运算进行证明.（2将直线将直线l的方程代入双曲线方程，转化为关于的方程代入双曲线方程，转化为关于x的的一元二次方程有两个相异实根的条件求解一元二次方程有两个相异实根的条件求解.名师伴你行【解析】（【解析】（1证明：证法一：由题意知直线证明：证法一：由题意知直线l的方程为的方程为 |OA|，|OB|，|OF|成等比数列，成等比数列，xAc=a2, xA= , A( ,0)PA=(0, ) , OP=(

17、 , ), FP=( , ).PAOP= , PAFP= .PAOP=PAFP.由由c).c).- -(x(xb ba ay yc).c).- -(x(xb ba ay yx xa ab by y 解得解得P( ).c ca ab b, ,c ca a2 2c ca a2 2c ca ab b- -c ca a2 2c cababc cb b- -2 2c ca ab b2 22 22 2c cb ba a2 22 22 2c cb ba ac ca a2 2名师伴你行证法二：由证法二：由P( ) ,PAx轴，轴，PAOP-PAFP=PAOF=0.PAOP=PAFP. =1b2x2- (x-c

18、)2=a2b2，即，即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0.l与双曲线左、右两支分别相交于点与双曲线左、右两支分别相交于点D，E，设，设D(x1,y1),E(x2,y2),x1x2= a4,即即b2a2,c2-a2a2.e22，即，即e .c ca ab b, ,c ca a2 22 24 4b b- -a ab ba ac ca a4 44 42 22 24 42 24 4b ba ac c) )- -( (x xb ba ay y 2 22 22 22 2b by y- -a ax x（2由由得得名师伴你行【评析】渐近线是双曲线的特有性质，由焦点向渐近线【评析】渐近线

19、是双曲线的特有性质，由焦点向渐近线引垂线，垂足必在准线上；反之，过渐近线与准线的交引垂线，垂足必在准线上；反之，过渐近线与准线的交点和相应焦点的连线必垂直于该渐近线点和相应焦点的连线必垂直于该渐近线.名师伴你行对应演练对应演练双曲线双曲线C与椭圆与椭圆 有相同的焦点有相同的焦点,直线直线y= x为为C的一条渐近线的一条渐近线.(1)求双曲线求双曲线C的方程；的方程；(2)过，的直线过，的直线l，交双曲线于，两点，交双曲线于，两点，交交x轴于点点与的顶点不重合），轴于点点与的顶点不重合）， =1 =2B，且，且 时，求点的坐标时，求点的坐标.14 4y y8 8x x2 22 23 33 38名

20、师伴你行(1)设双曲线方程为设双曲线方程为 =1a0,b0）.由椭圆方程由椭圆方程 求得两焦点分别为求得两焦点分别为(-2,0),(2,0).对于双曲线对于双曲线C:c=2.又又y= x为双曲线为双曲线C的一条渐近的一条渐近线线, = ,解得解得a2=1,b2=3,双曲线双曲线C的方程为的方程为x2- =1.2 22 22 22 2b by y- -a ax x14 4y y8 8x x2 22 23 33 3a ab b3 3y y2 2名师伴你行(2)解法一解法一:由题意知直线由题意知直线l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.设设l的方程为的方程为 y=kx+4 , A(x1,y1

21、),B(x2,y2),则则Q( ,0),PQ= QA，( ,- 4 )= (x1+ ,y1). = (x1+ ) x1= - 4 = y1 y1= .A(x1,y1)在双曲线在双曲线C上上, ,16+32 +16 - k2- k2 =0,(16-k2) +32 +16- k2=0.k k 4 4k k 4 4k k 4 4k k 4 4k k 4 41 1 4 4k k4 4k k 4 41 10 01 1- -3 31 16 6- -) )1 1( (k k1 16 62 21 12 21 11 12 23 31 16 62 21 13 31 16 62 21 12 21 11 11 11

22、11 11 11 1名师伴你行同理有同理有(16-k2) +322+16- k2=0.若若16-k2=0,则直线则直线l过顶点过顶点,不合题意不合题意.16-k20,1,是二次方程是二次方程16k2x2+32x+16- k2=0的的两根两根,1+2= k2=4,此时，此时，0,k=2.所求的坐标为（所求的坐标为（2,0）.2 22 23 316163 31616. .3 38 8- -1 16 6- -k k3 32 22 2名师伴你行解法二解法二:由题意知直线由题意知直线l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.设设l的方程为的方程为y=kx+4 , A(x1,y1), B(x2,y2)

23、,则则Q( ,0),PQ=1QA,Q分分PA的比为的比为1,由定比分点坐标公式得由定比分点坐标公式得 = x1= (1+1) 0= y1= .下同解法一下同解法一.1 11 11 11 1 x x1 11 11 11 1y y4 41 1k k4 41 14 4k k4 4k k4 4名师伴你行解法三解法三:由题意知直线由题意知直线l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.设设l的方程为的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则则Q( ,0),PQ=1QA=2QB,( ,-4)=1(x1+ ),y1=2(x2+ ),y2,-4=1y1=2y2.1= ,2= .又又1+2=

24、- , + = .1 1y y4 42 2y y4 43 38 81 1y y1 12 2y y1 13 32 2k k4 4k k4 4k k4 4k k4 4名师伴你行即即3(y1+y2)=2y1y2,将将y=kx+4,代入代入x2- =1得得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.3-k20否则否则l与渐近线平行）与渐近线平行）,y1+y2= ,y1y2= .3 =2 .k=2,Q(2,0).3 3y y2 22 2k k- -3 32 24 42 22 2k k- -3 33 3k k- -4 48 82 2k k- -3 32 24 42 22 2k k- -3 33 3k k- -4 48 8名师伴你行解法四解法四:由题意知直线由题意知直线l的斜率的斜率k存在且不等于零存在且不等于零.设设l的方的方程为程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则则Q( ,0),PQ=1QA,( ,-4)=1(x1+ ),y1.1= ,同理同理2=