积分求导顺序可换ppt课件

1、2 含参量反常积分含参量反常积分含参量反常积分的定义、1敛的定义含参量反常积分一致收、2敛的判别方法含参量反常积分一致收、3本节研究形如本节研究形如adxyxf),(的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。况可类似处理。)(,),(为瑕点bdxyxfba含参量反常积分的定义、1设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上, 若对每一个固定的若对每一个固定的 , 反常积分反常积分 ycbxayxR,),(, bax),( yxfcdyyxf),(,),()(bax

2、dyyxfxIcx都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 , ba称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 或或 x, ba简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.敛的定义含参量反常积分一致收、2对于含参量反常积分对于含参量反常积分 和函数和函数 )(xIcdyyxf),(都有若, 0, 0baxNMN,),(Mdyyxf则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上一致收敛于上一致收敛于 .)(xIcdyyxf),(, ba敛的判别方法含参量反常积分一致收、3 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积

3、分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要cdyyxf),(, ba都有条件是, 021baxMAAcM.),(21AAdyyxfu 一致收敛的充要条件;含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要cdyyxf),(, ba, ba11)(),(1nnnAAxudyyxfnn条件是条件是:对任一趋于对任一趋于 的递增数列的递增数列 (其中其中 ),函数函数项级数项级数 在在 一致收敛一致收敛. nAcA 1 魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数设有函数 ,使得使得)(yg.,),(),(ycbxaygyxf，dyygc收敛若)(.,),(上一致收敛在则badyyxfc魏尔斯特

4、拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass判别法判别法假设|( , )|( ),f x yg yaxb cy , xa b一致收敛。证明证明( , )|( , )|( )AAAAAAf x y dyf x ydyg y dy( )cg y dy由于 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准绳，有且 收敛，那么 关于( , )cf x y dy( )cg y dy000,|( )|AAAcA AAg y dy 从而 , xa b ( , )( )AAAAf x y dyg y dy所以 关于 , xa b一致收敛。( , )cf x y dy魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass判别法判别法假设

5、dycxaxFyxf,),(| ),(|,dcy一致收敛。证明证明AAAAAAdxxFdxyxfdxyxf)(| ),(|),(adxxF)(由于 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准绳，有且 收敛，那么 关于adxyxf),(adxxF)(|)(|, 000AAdxxFAAAaA从而,dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以 关于,dcy一致收敛。adxyxf),(例 1 在 内一致收敛0sindxxex)0(),00解由于xxexe0|sin|而积分 收敛，00dxex所以 在 内一致收敛0sindxxex)0(),00.,上一致收敛在ba，上一致有界含参量反常积分若,)(cNiNc

6、dyyxf),(,bax在对参数则含参量反常积分一致地收敛于对参量, 0),(,yxgx时是单调递减且当关于函数yyxgbaxii)(,)(cdyyxgyxf),(),(u 狄利克雷判别法;u 阿贝耳判别法:;,),()(上上一一致致收收敛敛在在若若badyyxfic ,),(,)(x，yyxgbaxii且且对对参参量量的的单单调调函函数数为为函函数数 则含参量反常积分则含参量反常积分上一致有界上一致有界在在，bayxg,),( cdyyxgyxf),(),(.,上一致收敛上一致收敛在在ba二、一致收敛积分的性质1. 连续性定理由于 在 内一致收敛，所以adxyxf),(,dc证明证明|),(

7、|, 000AdxyxfdcyAAaA因此，当 时，,dcyAdxyyxf),(设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。),(yxf,| ),(dycxayxy,dcadxyxfyI),()(,dcadxyxf),(又 在 上连续，所以作为 的函数在 延续，于是),(yxf,;,dcAaAadxyxf),(y,dc,|, 0, 0时当yAaAadxyxfdxyyxf),(),(从而，当 时，有 | y3),(),(),(),(| )()(|AAAaAadxyxfdxyyxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理证毕。2. 积分顺序交换定理adcdcadyyxfdxdxyx

8、fdy),(),(设 在 上连续， 关于在 上一致收敛，那么 在可积，并且),(yxf,;,dcay,dcadxyxf),(adxyxfyI),()(,dc3. 积分号下求导的定理积分号下求导的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),(设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收敛，那么),(),(yxfyxfy,;,dcay,dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在 可导，且,dc证明证明aydxyxfy),()(由于 在 延续，由连续性定理),(yxfy,;,dca在 延续，,dc 沿区间 积分 ，由积分顺序交换定理，得到)(,dycyc)(yaaayc

9、yycayycdxcxfdxyxfduuxfdxdxuxfduduu),(),(),(),()(adxyxfdydy),()(在上式两端对 求导，得y定理证毕。含参量反常积分的性质:注 连续性连续性含参量反常积分上连续在设，cbayxf),),(cdyyxfxI),()(.,)(,上连续在则上一致收敛在baxIba极限运算在一致收敛的条件下连续性定理说明，.换顺序与积分运算可以可以交.),(lim),(),(lim000dyyxfdyyxfdyyxfcxxccxx即: 可微性可微性若上连续在区域与设，cbayxfyxfx),),(),(,上收敛在bacdyyxfxI),()(且上可微在则致收敛

10、，baxI,)(,cxdyyxf),(上一在,ba.),()(cxdyyxfxI:注注可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即.),(),(dyyxfxdyyxfdxdcc:注 可积性可积性若上连续在区域设，cbayxf),),(cdyyxfxI),()(且上可积在则上一致收敛在，baxIba,)(,baccbadxyxfdydyyxfdx.),(),(若上连续在设，cayxf),),(,),()(上一致收敛任何闭区间在关于dcydxyxfic;,),(上一致收敛任何闭区间在关于baxdyyxfc.),(),()(中有一个收敛与积分dxyxfdydyyxfdxiicaac且则

11、另一个也收敛,accadxyxfdydyyxfdx.),(),(:1例含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. ),(dxxxy021cos:证,111cos22xxxyRy有由于收敛而反常积分021xdx判别法知故有魏尔斯特拉斯M证明反常积分证明反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. ),(dxxxy021cos:2例证明含参量反常积分证明含参量反常积分 dxxxexy0sin, 0 d在在 上一致收敛上一致收敛. :证收敛由于反常积分dxxx0sin), 0,(上一致收敛它在对于参量当然dy，单调且对任何对每个函数, 0),(dxeyxgxy. 1),(0,0 xyeyx

12、gxdy都有含参量反常积分由阿贝耳判别法知，dxxxexy0sin, 0 d在在 上一致收敛上一致收敛. :3例证明含参量反常积分证明含参量反常积分 dxeux02), a在在 上一致收敛上一致收敛 . )0( a:证.),22axuxeeau有收敛而无穷积分02dxeax判别法知故有魏尔斯特拉斯M含参量反常积分含参量反常积分 dxeux02), a在在 上一致收敛上一致收敛 . )0( a例例4 证明证明证证 （1用分段处理的方法用分段处理的方法. |sin|2Ayxydxe|sin|2Aytdteyy02|sin|dteyyt|sin|2yy由于 0sinlim0yyy|sin|2Ayxy

13、dxesin|(1)2yy22|sin|yxxeyey又2|sin|2yxAeydxy ，（ ）|sin|2Ayxydxe), 0 y例例4 计算积分计算积分 0) , 0 ( , sinsinabpdxxaxbxeIpx解 00sinsincosbpxpxabxaxIedxexydyxsinsincosbabxaxxydyx0cosbpxadxexydy220cosbbpxaapdyexydxdypyarctanarctanbapp例例 5 利用积分号下求导求积分利用积分号下求导求积分 012)()(nnaxdxaI解解 由于由于 10212)(1)(1nnaxax00 aa012)()(n

14、naxdxaI由于 aaxaaxdx2arctan1|002故 02axdxdad022)(axdx2/3)21(2a0222axdxdad032)(2axdx2/5)23)(21(2a由数学归纳法易证02axdxdadnn012)(!) 1(nnaxdxn2122!)!12() 1(2nnnan于是 012)()(nnaxdxaI212!)!2(!)!12(2nann例例6 计算积分计算积分 0)(222dxexax解解 0)(222dxexax02)(2dxeaxax0)(22dxeexaxa令 txaxdtet202)()1 (2dxxaexax0)(2xadexax0)(2dxexax在第二项积分中令 yxa得