第 三章 概率论与数理统计基础ppt课件

1、概率论与数理统计根底概率论与数理统计根底二二概率分布的数字特征概率分布的数字特征一、概率分布的数字特征一、概率分布的数字特征1、期望、期望 思索这样一个例子：思索这样一个例子： 设射击手甲与乙在同样条件下射击，其命中设射击手甲与乙在同样条件下射击，其命中环数是一个随机变量。假设根据历史记录得环数是一个随机变量。假设根据历史记录得到他们分别有下面的命中概率分布表。试问：到他们分别有下面的命中概率分布表。试问：如何评定甲、乙的射击程度。如何评定甲、乙的射击程度。X甲10987650P(X)0.50.20.10.10.050.050Y乙10987650P(Y)0.10.10.10.10.20.20.

2、2假设甲射击手发了100颗子弹 由于他命中10环的概率为0.5，那么约有 50次命中10环，同理，约有20次命中9环， 平均命中环数为：同理可得E(Y)=5.6E(X)85. 80055561071082095010100185. 80005. 0505. 061 . 071 . 082 . 095 . 0101000010055100561001071001081002091005010期望是集中趋势的度量，反映平均意义 离散型随机变量X的期望值 假设X取有限个值x1,x2,xn 假设X取无限个值x1,x2,xnniiinnxpxxpxxpxXE111)()(.)()(111)(.)(.)(

3、)(iiinnxpxxpxxpxXE)(XEXxxpxXE)()(一般公式：例例 子子随机抛一个骰子，求朝上一面的点数随机抛一个骰子，求朝上一面的点数的期望值。的期望值。E(X)=1/6+2/6 +3/6+4/6 +5/6+6/6 =21/6=3.5点数x概率p(x)x.p(x)11/61/621/62/631/63/641/64/651/65/661/66/6在电脑/打印机销售一例中，电脑销售量的期望值为E(X)=0*0.08+1*0.12+2*0.24+3*0.24+4*0.32=2.60同理，可得打印机销售量的期望值为E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.23+3*0.27+4*

4、0.23=2.35.延续型随机变量延续型随机变量X X的期望值的期望值xxpxXE)()(对照离散型：()( )E Xxfx dx()( )()( )xxE Xx p xE Xxf x dx随机变量函数的期望随机变量函数的期望)(XgY xxpxgYE)()()(离散型：dxxfxgYEx)()()(连续型：baXY离散型：离散型：延续型：延续型：xxyxfxyYXEyxpxyYXE)()(:)()(:连续型离散型条件期望条件期望)(yYXE例子：例子：在个人电脑/打印机一例中，计算E(Y|X=2).即求每天售出2台电脑的条件下，销售打印机的条件期望。E(Y|X=2)=0*f(Y=0|X=2)

5、+1*f(Y=1|X=2)+2*f(Y=2|X=2)+3*f(Y=3|X=2)+4*f(Y=4|X=2)=1.875条件期望注：f(Y=1|X=2)=E(Y)=0*0.11+1*0.16+2*0.23+3*0.27+4*0.23=2.35非条件期望结论：条件期望普通不等于非条件期望。当然，假设两个变量相互独立，那么条件期望与非条件期望一样。(1,2)(2)f YXf x xyxyyxpyxgyxpyxgZE),(),(),(),()(:离散型二元随机变量函数的情况多元概率分布二元随机变量函数的情况多元概率分布的期望值的期望值),(YXgZ x ydxdyyxfyxgZE),(),()(:连续型

6、Z=XY例子：例子：继续个人电脑/打印机销售一例。E(XY)=1*1*0.05+1*2*0.06+1*3*0.02+1*4*0.01+4*0*0.01+4*1*0.01+4*2*0.01+4*3*0.05+4*4*0.15=7.06取每一对X和Y的值，乘以它们的结合概率，然后加总(,)xyxyfX Y期望的性质期望的性质E(C)=C C为常数为常数E(CX)=CE(X)E(X+C)=E(X)+CE(X+Y)=E(X)+E(Y)假设假设X与与Y相互独立，那么相互独立，那么E(XY)=E(X)E(Y)2、方差 期望值仅仅给出了随机变量的重心或取值的平均程度，但没有阐明单个值在均值附近是如何分布或分

7、散的。度量这种分散程度的最常用工具就是方差variance).调查两组成果甲组：40，50，60，70，80，90，100乙组：60，60，70，70，70，80，80 甲组平均成果：70 乙组平均成果：70 方差是离散程度的度量 dxxfXExXDxpXExXDxx)()()()()()(22连续型：离散型：)()()()var()(2222XEXEXEXEXXDX方差的性质方差的性质)()()()()()()(0)(2YDXDYXDYXXDCCXDXDXCDCD则相互独立与若变异系数变异系数 由于规范差由于规范差(或方差与度量单位有关，或方差与度量单位有关，因此假设度量单位不同，很难对两个

8、或因此假设度量单位不同，很难对两个或多个规范差进展比较。为理处理这个问多个规范差进展比较。为理处理这个问题，引入变异系数。题，引入变异系数。38.151008 . 72 . 15 .121008010BAVV无量纲纯数值无量纲纯数值例题：期中考试中，A班实行百分制，其平均分为80分，规范差为10，B班实行10分制，平均分为7.8，规范差为1.2，哪个班的成果更好呢？100XXV Xf(X)Aa均值大小的图示判别bB Xf(X)ABX小方差大方差方差大小的图示判别3 3、协方差、协方差YXYXXYEYXEYX)()(),cov(协方差是一种特殊方式的期望值，度量两个随机变量如何共同变动。假设两个

9、变量同方向变动，那么协方差为正；假设两个变量反方向变动，那么协方差为负；假设变量之间不存在线性关系，那么协方差为0.x yYXxyYXyxfxxYXyxpxxYX),()(),cov(),()(),cov(连续型：离散型：例子：例子：再一次回到个人电脑/打印机销售一例。计算电脑销售量X)和打印机销售量Y的协方差。COV(X,Y)=7.06-2.60*2.35=0.95阐明电脑销售量和计算机销售量是正相关的。()XYE XY协方差的性质协方差的性质),cov(2)()()(:,0),cov(,),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov()(),cov(21

10、21YXYDXDYXDYXYXYXYXYXYXXYXabbYaXXYYXXDXX则有不一定相互独立与若则相互独立与若度量两个随机变量的线性关系 4 4、相关系数、相关系数YXYX),cov(XY相关系数的性质相关系数的性质11XY!0, 0),cov(,XY但反过来未必成立从而则独立与若YXYX因果关系相关关系即假设两个变量的相关系数为即假设两个变量的相关系数为0 0，并不，并不意味这它们相互独立，它们能够存在非意味这它们相互独立，它们能够存在非线性关系。如线性关系。如Y=X2.Y=X2.正线性相关正线性相关负线性相关负线性相关非线性相关非线性相关不相关不相关典型相关关系图示典型相关关系图示描

11、画概率分布外形的数字特征 5 5、偏度、偏度S S和峰度和峰度(K)(K)对称右偏左偏低峰尖峰常峰偏度和峰度的计算公式偏度和峰度的计算公式4433)()(XXXEKXESS假设为正，那么概率密度函数为正偏或右偏S假设为负，那么概率密度函数为负偏或左偏K3称为顶峰，K=3称为常峰6 6、样本数据所表达的随机变量的数字、样本数据所表达的随机变量的数字特征特征引例：要想了解某一时点上居住在湘潭引例：要想了解某一时点上居住在湘潭一切居民的平均收入，显然需求知道湘一切居民的平均收入，显然需求知道湘潭居民总体的信息。但实践上很难搜集潭居民总体的信息。但实践上很难搜集到总体中每个成员的信息收入程度。到总体中每个成员的信息收入程度。实际中所能做到的是从总体中抽取一个实际中所能做到的是从总体中抽取一个“有代表性的或有代表性的或“随机的样本比如随机的样本比如抽取抽取100100名居民作为一个样本，然后名居民作为一个样本，然后计算抽取的样本的人均收入。计算抽取的样本的人均收入。注：样本容量注：样本容量n=100n=100 样本值样本值=100=100个即个即100100个收入取值个收入取值 样本均值：样本均值： 总体均值总体均值E(X) E(X) 未知，但客观存未知，但