第一曲面积分ppt课件

1、上一页上一页 下一页下一页 主主 页页教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式公式 教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式式(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式式(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式面的第一型曲面积分计算公式上一页上一页 下一页下一页 主主 页页第一型曲面积分的概念第一型曲面积分的概念第一型曲面

2、积分的计算第一型曲面积分的计算上一页上一页 下一页下一页 主主 页页设曲面形物体设曲面形物体 S 具有连续的面密度函数具有连续的面密度函数),(zyx 类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想类似第一型曲线积分、二重积分、三重积分的思想, niiiiiTSM10|),(lim 求其质量求其质量 M.采用采用“分割、近似代替、求和、取极限的方法，可得分割、近似代替、求和、取极限的方法，可得一、第一型曲面积分的概念一、第一型曲面积分的概念上一页上一页 下一页下一页 主主 页页定义定义1 设设 S 为可求面积的曲面为可求面积的曲面,),(zyxf为定义在为定义在 S 上的函数上的函数. 对曲面对

3、曲面 S 作分割作分割 T ，将，将 S 分成分成 n 个小曲面块个小曲面块 Si ( i = 1, 2, . . . , n ) ，Si 的面积记为的面积记为iS ,max|1的的直直径径iniST 在在 Si 任取一点任取一点),(iii 若极限若极限 niiiiiTSf10|),(lim 存在，则称此极限为存在，则称此极限为 f ( x, y, z ) 在在 S 上的第一型上的第一型曲面积分，记作曲面积分，记作 Sszyxfd),(上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 SSzyxMd),( 于是于是, 曲面形物体曲面形物体 S 的质量为的质量为第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性

4、质第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质类似，例如类似，例如.d的的面面积积SSS 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页定理定理22.1 设有光滑曲面设有光滑曲面 xyDyxyxzzS ),(),(:f (x, y, z) 在在 S 上连续上连续, xyDyxf),( SSzyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122 那么那么二、第一型曲面积分的计算二、第一型曲面积分的计算xyzOSxyD上一页上一页 下一页下一页 主主 页页证明证明: 由定义知由定义知 Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limkSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(2

5、2yxkkkykkxzz)(),(),(122而上一页上一页 下一页下一页 主主 页页0limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(光滑) 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页说明说明: zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(则有公式：则有公式：1) 如果曲面方程为如果曲面方程为 yzDzyf),( SSzyxfd),(),(zyxzyzyxzyxzydd),(

6、),(122 如果曲面方程为如果曲面方程为则有公式：则有公式： xzDzxf),( SSzyxfd),(),(zxyzxzxyzxyzxdd),(),(122 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页2) 若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下dS 的表达式的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分二重积分. 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分 ,d SzS其中其中S是球面是球面 222zyx 被平面被平面)0(ahhz 截出的顶部截出的顶部.解解yxDyxyxa

7、zS ),( ,:2222222:hayxDyx 221yxzz 222yxaa SzSd 20da0)ln(2122222haraa haaln2 yxDyxayxa222dd 22022dhararr2a oxzySha上一页上一页 下一页下一页 主主 页页xyD例例 计算曲面积分计算曲面积分 ,d)(22 SSyx其中其中 S 为立体为立体122 zyx的边界曲面的边界曲面.1 解解设设1, 1:221 yxzS1:222 yxzS 1d)(22SSyx 10220ddrrr 2412 1:22 yxDxy xyDyxyxdd001)(22上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 2d)(

8、22SSyx 10220dd2rrr 22 Dyxyxyyxxyxdd1)(22222222 Dyxyxdd2)(22)21(2222d)(22 SSyx所以所以上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例 计算计算 ,d)( SSzyx其中其中 S 为右半球面为右半球面0, 1222 yzyx例例 计算计算 ,d2 SSy其中其中 S 为为 HzRyx 0,222上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 求半径为求半径为R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心.解解: 设设 的方程为的方程为 yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标

9、cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 计算计算 ),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系取球面坐标系, 那么那么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d上一页上一页 下一页下一页 主主 页页zzd例例. 计算计算 ,d222zyxSI其中 是介于平面 之间的圆柱面 .222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后若将曲面分为前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 上一页