子空间描述有两种

1、微分形式的应用之子空间描述一、子空间描述子空间描述有两种，一种是代数的，一种是几何的。比如x y -仁0,z2 x-1 =0用代数的方式定义了三维空间上的抛物线。同样映射： R1R3(s) =1-s2,-s2,s用几何的方式定义了三维空间上的同样的抛物线。代数描述是给定这个子空间的满足的条件，用方程组gi(x) =0,i =1,.,n表示。即子空间上每个点都满足这个方程组；同样满足这个方程组的点都属于这个子空间。构成方程组的函数可以作为生成元来构成了代数理想，这个理想可以表述为A =x c (x)gi (x)|(x)是解析函数；i(顺便解释一下理想，理想是这样一个集合， 任何元素和这个集合的元

2、素相乘后就会变成这个集合的元素。)求解方程组的过程就是在这个理想中寻找简单的生成元的过程，也是确定 子空间维数的过程。对于多项式函数的理想的约化就是寻找Grobner基。同样地，子空间上每个点都能零化这个理想；同样零化这个理想的点都属于这个子空间。研究这些子空间或理想整体特征的就是代数几何的任务。几何描述的子空间采用映射形式，将参数空间M映射到实际空间 N。:：M > N,y 二(s)这个映射如果是浸入映射，参数遍历空间M中的点时，像点就遍历了一个子空间。如果描述的是同一个子空间，这两种描述的关系是*A =0称是A =0的解。二、子空间的局部描述子空间的局部描述也分为两种，余切空间和切空

3、间比如dx -dy =0, zdz d 0是余切空间描述，而-2zfx-2zfy 爲是切空间描述，他们都给出同样的抛物线这一点处的切线。给定了方程组的描述，对方程组的函数的微分就可以给出余切空间的描述。同样地给定了映射描述的解，就可以给出切矢量。余切空间给定了切空间无穷小位移满足的条件。用一些微分形式的方程 1 =0,i =1,.,m描述；这些微分形式可以通过外代数构成理想，描述为I =ri(x) kIk任意阶的解析的微分形 式i理解余切空间的诀窍是寻找这个理想的简单生成元的过程，也是确定这个理想的秩的过程。一般给定任意一组微分形式 0,i =1,.,m，总能够确定切空间的基矢量Vj, j =

4、1,.,s，满足. 打=' - ji ，k, i =1,m； j =1,skr。这些基矢量就能够构成切空间C二7 cj(x)Vj ci(x)是解析函数但是这个切空间不一j4定是某个子空间的切空间，Frobenius定理表明，只有vi, vjc (x)vk才能满足。可积条件更简洁的叙述为C,C C，实际上这个可积性取决于微分形式的理想，Frobenius定理表明，可积性还可以表述为d, =Wij，这个表述更简洁的表述为dI I如果描述的是同一个切空间，这两种描述的关系是icl I，C称为I的特征矢量空间。三、微分形式与切矢量的缩并运算我们知道 df (x)二二fdxi代表函数的值的变化值

5、(在给定一维子空间时)。如果给定一维子空间的切矢量 v二vi，这个变化值就可以描述为 dtivdf二dtv'i f，这就给出了微 分形式与切矢量缩并运算的意义。iv = jivdx" = ijdx" = iVjj 二 ivi微分形式表示某种变化量，微分形式与切矢量的缩并表示微分形式在切矢量表示的子空间的变换值。比如在引力场中做功用微分形式表示为xdx + vdv + zdzw2，与v二yf x - xf y的缩并，代表在水平旋转圆周上移动作功r结果ivw=0表明这样移动做功为 0.0-微分形式代表函数，不代表变化量。因此0-微分形式与切矢量缩并为0.切矢量与两个1-

6、形式外积构成的2-微分形式 缩并运算与2-微分形式 的缩并运算iv 二iv jjdx' dxj = jjVdx一 ijVdx' =2 jjVdx四、微分形式的秩给定一个微分形式，s-微分形式国=©ii,.,isdxi.dxis我们可以选择与dx',i =1,.,n不同的基底。比如如果选择最少的r个基底，g=g；dxj,i =1,.,r，使得=a,.,ir gi.gir，这就表 明，微分形式比较特殊，可以进一步简化。选择合适的基底就将n-维余切空间基底简化为r-维余切空间基底表示。这个最小的r就是微分形式的秩。比如力学中辛形式国=dq zvdpi +dH /dt

7、在给定合适的能量表达后就能够简化二 dq ( dpi Hqdt)巴小 dt二dqi (dp Hqdt)(dpi Hdt) H,pdt(dq -H,pidt) (dpiH,qdt)这个微分形式的秩为 2d，d是力学自由度数。再如面形式(zdx dy xdy dz ydz dx) / r= (zdx-xdz) dy ydz dx)/r= (zdx-xdz) dy (xdz-zdx) ydx/x)/ r= (zdx-xdz) (dy-ydx/x)/r=(zdx - xdz) (xdy - ydx) /(rx)s的秩为2。因此任何2-形式都可以表述为-i形式，其秩为2s.i五、微分形式的特征矢量空间n

8、-维空间中微分形式的秩r如果小于n,这个微分形式就存在 n-r维特征切空间。微分形式的特征矢量V为能零化这个微分形式。iv，=0当然，如果微分形式秩为r，切简化为.二ah,.,irgi1 . gir，那么特征矢量又可以由下面 条件决定ivgi =0,i =1,.,r例如 = xd x yd y zdz的特征矢量是:x- y,z:x-x z组成的2-维切矢量空 间， 国=(dqj H,pdt) ( dp +H,qdt)的特征矢量是 H,p cq - H,dt组成的一维切矢量 空间， =(zdx dy - xdy dz ydz dx)/r的特征矢量是 x:x - g Zz组成的一维 切矢量空间。如

9、果可积，在包含特征矢量积分出来的n-r维子空间为子空间的 s维子空间上，这个微分形式为 0,这个子空间便是微分形式方程的解.比如:=xdx ydy zdz = 0的解为2 2 2x y - z const，或者映射：(r, ) .(x = Rsincos ,y = Rsin" sin ,z = Rcos，其中R是任意常数。-=(zdx dy - xdy dz ydz dx) /r =0的解为包含径向直线的曲面，即任意函数f(H)二c on st表示的曲面，或者映射:(s，r) > x = r sin v(s)cos (s), y = rsin)(s)sin (s), z = r

10、 cos： (s)其中班s),' (s)是任意的函数。微分形式表示的方程主要求解和分析主要依赖特征矢量子空间。1-微分形式二有n-1维特征矢量，如果他们可积，就能构造曲面f (X)=0，这些特征矢量是这个曲面的切矢量。同时二-g(x)df (x)。给定一些微分形式集合，他们就能构造出微分形式理想。这个微分形式理想I的特征 矢量v满足ivII特别地，对于微分形式理想中的1-微分形式，有i八=0。六、微分形式的外积我们将函数f(x)看作0-微分形式，对其微分 df(x) = : ifdxi就构成了 1-微分形式。1-微分形式 *二/ (x)dxi< =1,.s线性组合还是1-微分形式

11、-c .(X)- 二 c .(X) < dxi两个1-微分形式和r通过外积构造出2-微分形式J - idxi jdxj - 弓 jdx" dxj =女弓 j - v j j )dx" dxj一个1-微分形式 的外微分构造出2-微分形式dv - ddx' = .:pidxj dxi两个1-微分形式和二的外积的直观可以结合几何描述理解。df (x) =_f(x)dx'反映了函数f值的变化量，dg(x)二_g(x)dx'反映了函数g值的变化量，df dg二< fgdx' dxj则给出了 f, g空间上的面积元。在给定二维子空间： R2

12、> M,x二(s,t)后，给出这个面积值cs'j取df Adg " f (®(s,t)疋jg(书(s,t)暂i dsAdt两个1-微分形式和二的外积的直观也是个面积值， 其边矢量分别为,二在二维子 空间的求值。如果v - 0 ,那么相关。即存在两个函数a( x),b( x)，使得a v - b：=0，实际上，任意一个切矢量v二vlj与其缩并，就有0 = iv( ；) = iv，-礼，这里 a - ivT - v$ ,b - -iv - -v' '。如果df dg =0那么函数f, g互为函数，即存在 W(f,g)=0 ；如果只在某个x = x

13、0 点上df dg = 0,那么函数f ,g在点x = x0处相切。r 还可以理解为中与，无关的部分与-外积。三维空间上函数偏导数 ；xf，就是指在y,z固定时，x变化时f的变化率。相当于约束在x子空间上求值。- df Adydz:X f dx dy dz可以这 样理解df dy dz代表df中dy和dz无关的改变量与dy dz外积； dx dy dz则代表dx中dy和dz无关的该变量与dy dz外积，这样通过比例就消除了依 赖dy和dz的成分。也可以理解为f在dy dz = 0确定的一维空间方向上的方向导数。这个一维子空间如果用函数g = 0, h = 0定义，那么约束导数Cx f g _0

14、,h -0df dg dh dx dg dh=CxgCygIf UkCxhCy h:zfJg；:zhBygCyh：:zg:zh可见，对于约束在函数定义的子空间上的导数，很方便。对于一些微分形式， 如果可积，就能够定义子空间， 我们可以计算约束在这样定义的子空间上的导数。比如约束在 =(zdx dy - xdy dz ydz dx)/r =0定义的子空间上的导数可以这样计算：:xf (x, y,df dx df(zdxdyxdydzydzdx)dx(zdxdyxdydzydzdx) df (zdx dy xdy dz ydz dx)dx xdy dzZ：z f X：x f y：y f约束在- x

15、dx ydy zdz二0定义的子空间上的导数这样计算汙(x, y,z):xy2 2z2 =const,匕2 2df d (y z )2 2dx d ( y z )2 2df d(y 2z ) (xdx ydy zdz) dx d(y2 2z2) (xdx - ydy zdz)df(2 ydy4 zdz) (xdxydy zdz)dx(2 ydy4zdz) (xdxydy zdz)df(2 ydyxdx 4 zdzxdx-2yzdydz)dx(2 ydyxdx 4zdzxdx-2yzdydz)-2yx：zf 4zx：yf -2yz：xf_2yz对于约束可积的微分形式理想定义的子空间上的导数可以这

16、样计算先在这个理想中寻找与这个理想的秩r的相同秩的r-微分形式元素 ，仿照上面的方法计算约束在=0定义的子空间上的导数。那么如果微分形式不可积怎么办？比如热力学关系中用=dE TdS PdV =0在给定状态方程(比如 f(E,V,S) =0 )之前，并不能定义一个子空间，因为不可积。即这个微分形式并不能给出这些变量 E,T,S,P,V之间的关系，但是可以给出他们一些量的变化量的关系。建立他们所有关系可以对他们进行微分，于是有d "T dS-dP dV =0蛍1Pdd-dE-ddV=OTTTd"1dEdTdS=OPPP而且可以确定，只有两个独立的变量。 比如于是，利用这些关系

17、，可以推导很多热力学公式,G：tP)sdP dS dP dS dT dVdT dS 一 dT dV dT dSdP dS dT dVdT dV dP dV("P)vC'T S)v(z P)t(：-V S)t(：；pT)V变换依赖变量dP dS/dE dP=dP dS/dE dP'ESP dT dS/dE dP dP dV/dE dP ；:EV P七、微分形式的外微分微分形式的外微分这样计算尬=5 i dx" /.adxis1sd，diijsdxi1 . dxi=Jn.isdxi dxi1 . dxis外微分可以从下面积分公式理解d =二：也就是说外微分对应的微分形式的在一个区域中的量值，是由原来微分形式在区域边界上量值决定的。比如三维空间中 = a(r) dr = aidxi，有d- da(r) dr =dadx j ai dxj dx=( a) ?C a) m 二 dr a对于© =a(r) “p = a pk =ai * £jkdxj zdxk1 ijk jk 一 1 ijk mjkd - da dx