投资组合理论(ppt 45页)

1、第四章 投资组合理论 本章内容本章内容v 分散化与资产组合风险分散化与资产组合风险v 组合线组合线v 有效集和有效边界有效集和有效边界v 马柯维茨的资产组合理论马柯维茨的资产组合理论n假设：风险厌恶、期望回报、方差n如已知每个投资工具的期望回报、方差以及协方差，则可以确定有效投资组合v 最优风险资产组合的确定最优风险资产组合的确定v 存在无风险资产时的有效组合的确定存在无风险资产时的有效组合的确定v 理论的局限性及对我国的借鉴理论的局限性及对我国的借鉴 YOUR SITE HERE分散化投资带来的风险的降低分散化投资带来的风险的降低Number of Securities证券数量证券数量St.

2、 Deviation 标准差标准差Market Risk 市场风险市场风险：系统风险：系统风险Unique Risk 独特风险独特风险YOUR SITE HERE非系统风险与系统风险非系统风险与系统风险美国股票美国股票1960-19701960-1970年随机选样的分散化效应表年随机选样的分散化效应表股数股数 月均收益率月均收益率 月均标准差月均标准差 与市场的相关系数与市场的相关系数R R 1 0.88% 7.0% 0.54 1 0.88% 7.0% 0.54 2 0.69% 5.0% 0.63 2 0.69% 5.0% 0.63 3 0.74% 4.8% 0.75 3 0.74% 4.8%

3、 0.75 4 0.65% 4.6% 0.77 4 0.65% 4.6% 0.77 5 0.71% 4.6% 0.79 5 0.71% 4.6% 0.7910 0.68% 4.2% 0.8510 0.68% 4.2% 0.8515 0.69% 4.0% 0.8815 0.69% 4.0% 0.8820 0.67% 3.9% 0.8920 0.67% 3.9% 0.89 YOUR SITE HERE极限YOUR SITE HERE通过资产组合分散风险举例YOUR SITE HERE互补风险资产组合可以分散投资的风险雨伞和冷饮（资金比例各占一半） 雨较多的年份雨较多的年份 少雨年份少雨年份 股市的

4、牛市股市的牛市 股市的熊市股市的熊市 需求大减需求大减 概率概率 0.4 0.3 0.3收益率收益率 30% 12% -20%公司的期望收益率为公司的期望收益率为9.6%，方差为，方差为431.03%，标，标准差为准差为20.76% 。YOUR SITE HERE冷饮的收益与风险 雨较多的年份雨较多的年份 少雨年份少雨年份 股市的牛市股市的牛市 股市的熊市股市的熊市 冷饮需求大增冷饮需求大增 概率概率 0.4 0.3 0.3收益率收益率 4% -10% 30%冷饮公司的期望收益率为冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为，方差为248.64%，标准差为，标准差为15.77% 。YOUR SITE

5、 HERE 组合的收益分布组合的收益分布 雨较多的年份雨较多的年份 少雨年份少雨年份 股市的牛市股市的牛市 股市的熊市股市的熊市 冷饮需求大增冷饮需求大增 概率概率 0.4 0.3 0.3收益率收益率 17% 1% 5% P P2 2=w=w1 12 2 1 12 2+w+w2 22 2 2 22 2+2w+2w1 1w w2 2Cov(rCov(r1 1 ,r ,r2 2)=49.44%)=49.44%，=7.03%=7.03%Cov(rCov(r伞伞,r,r冷饮冷饮)=Pr(s)r)=Pr(s)r伞伞(s)-E(r(s)-E(r伞伞)r r冷饮冷饮(s)-E(r(s)-E(r冷饮冷饮)Co

6、v(rCov(r伞公司伞公司,r,r冷饮公司冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.969.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96 YOUR SITE HERE投资者几种投资选择的期望收益与标准差情况表 资产组合资产组合 期望收益期望收益 标准差标准差全部投资于伞公司股票全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%一半伞股票一半冷饮股票一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03% YOUR SI

7、TE HERE风险资产组合的可行域与有效集风险资产组合的可行域与有效集可行域：是由所有合法的证券组合所填满的可行域：是由所有合法的证券组合所填满的Ep-pEp-p坐标系坐标系中的一个区域。这个区域的形状依赖于可供选择的单个证中的一个区域。这个区域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征（券的特征（ EiEi、ii）以及它们收益的相关性，还以来于以及它们收益的相关性，还以来于对投资组合中权数的约束（比如，不允许对投资组合中权数的约束（比如，不允许卖空卖空时，权数则时，权数则非负）非负）最典型的形状如图最典型的形状如图为什么是这种形状YOUR SITE HERE两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资

8、产，一是股票，一是债券。投资者假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为假定投资债券的资金为w wD D，投资股票的部分为投资股票的部分为1-w1-wD D记作记作w wE E，r rD D为债券收益，为债券收益，r rE E为股票收益，组合收益为股票收益，组合收益r rp p为为 r rp p= = w wD Dr rD D+w+wE Er rE E E(rE(rp p)=)=w wD DE(rE(rp p)+w)+wE

9、 EE(rE(rE E) ) p p2 2=w=w2 2D D D D2 2+w+w2 2E E E E2 2+2w+2wD Dw wE ECOV(rDrE)COV(rDrE) P P2 2=w=wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EDEDEYOUR SITE HERE1 1、=1=1时，时， P P2 2=(W=(WD D D D+W+WE E E E) )2 2 或或 P P=W=WD D D D+W+WE E E E 组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。2 2、当、当1 1时，组合标准差会小于各部

10、分证券标准差的时，组合标准差会小于各部分证券标准差的 加权平均加权平均值。值。3 3、当、当=-1=-1时，时， P P2 2=(w=(wD D E Ew wE E D D) )2 2 组合的标准差为：组合的标准差为： P P=|=|w wD D E Ew wE E D D| | 此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0 0，相关性对资产组合标准差的效应（1） P P2 2=w=wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EDEDEYOUR SITE HERE由于：由于： w wD

11、D D D-w-wE E E E=0=0， 所以有所以有w wD D = = E E /( /( D D+ + E E) )w wE E = = D D /( /( D D+ + E E)=1- )=1- w wD D 公式表明：公式表明：当当=1=1时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值当当1 1，组合的标准差会减小，风险会降低；，组合的标准差会减小，风险会降低；当当=-1=-1，在股票的比重为，在股票的比重为w wD D = = E E /( /( D D+ + E E) )，债券的比重为债券的比重为1- 1- w wD D时，

12、时，组合的标准差为组合的标准差为0 0，即完全无风险。，即完全无风险。标准差可以降低到标准差可以降低到0 0的资产恰当比例为：的资产恰当比例为： P P2 2=w=wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EDEDEYOUR SITE HERE股票股票E E(r(rp p) )为为20%20%，方差为，方差为15%15%，债券，债券E(rE(rB B) )为为10%10%，方差为，方差为10%10%。 给定相关性下的资产组合的标准差给定相关性下的资产组合的标准差投资比重投资比重 =-1 =-0.5 =0.5 =1=-1 =-0.5

13、 =0.5 =1 w wD D w wE E 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 收益收益 方差方差 1.00 0.00 10.0 1.00 0.00 10.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 10.010.0 0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92 0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92 0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14

14、.0 11.88 0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88 0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88 0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88 0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92 0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92 0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0

15、 15.0 20.0 15.0 0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 最小方差的资产组合最小方差的资产组合( (根据表中的数据，不再细分根据表中的数据，不再细分) ) w wD D 0.55 0.55 0.70 1.000.55 0.55 0.70 1.00 w wE E 0.45 0.45 0.30 0.000.45 0.45 0.30 0.00 E(rE(rP P) 14.5 14.5 13.0 10.0) 14.5 14.5 13.0 10.0 2 2P P 0.00 3.03 8.82 10.00.00 3.03 8.82

16、10.0相关性效应举例 YOUR SITE HERE资产组合机会集合线（组合线）资产组合机会集合线（组合线） E(rE(rp p) ) =-1 =-1 =0.5 =0.5 =-0.5 =-0.5 =-1 =1 =-1 =1 A A 0 0 不同下标准差的几何表达其实现实中很少存在完全相关的资产YOUR SITE HERE想想：组合线为什么不可能如下图想想：组合线为什么不可能如下图资产组合机会集合线（组合线）资产组合机会集合线（组合线） E(rE(rp p) ) 0 0 ABYOUR SITE HEREF假设：假设：F投资者是风险厌恶型的投资者是风险厌恶型的F在投资中根据在投资中根据来选择资产来

17、选择资产F不存在无风险资产，既不存在借贷不存在无风险资产，既不存在借贷F所有的资产都是风险资产所有的资产都是风险资产YOUR SITE HEREN种风险资产最小方差组合的确定种风险资产最小方差组合的确定1 VC ) w(r ) w(1NNN2N12N22211N121121212121p12121NiinpniiinnniiinnpwwwwwVCwwrwrrrwwrwrrrwwrwr组合的期望回报YOUR SITE HERE基本模型基本模型(允许卖空的情况下）允许卖空的情况下）1rrw top2ipwsubjectVCwwMIN解此模型需要估计的指标有：N个期望收益N个方差N（N-1）/2个不

18、同的协方差YOUR SITE HERE利用利用Lagrangianfunction可以解出权重向量可以解出权重向量w)()(11,11)11()1(rVCAIVCBDgNhgwrhgwppNp）的向量为（)()(111IVCArVCCDg2111, ,ABCDIVCICrVCrBrVCIA111IYOUR SITE HERE风险资产的最小方差界限的图示风险资产的最小方差界限的图示E(r) 预期报酬率EfficientFrontier 有效界限GlobalminimumvariancePortfolio整体最小方差组合MinimumvarianceFrontier 最小方差界限Individua

19、lAssets 个别资产St. Dev.标准差YOUR SITE HEREYOUR SITE HERE风险资产与无风险资产的组合风险资产与无风险资产的组合无风险资产的特征：无风险资产的特征：1 1、收益固定、收益固定2 2、风险为零、风险为零YOUR SITE HERE无风险资产和单个风险资产的组合雨伞公司和国库券 雨较多的年份雨较多的年份 少雨年份少雨年份 股市的牛市股市的牛市 股市的熊市股市的熊市 需求大减需求大减 概率概率 0.4 0.3 0.3收益率收益率 30% 12% -20%公司的期望收益率为公司的期望收益率为9.6%，方差为，方差为431.03%，标准，标准差为差为20.76%

20、 。无风险资产（国库券），回报率无风险资产（国库券），回报率3%投资比例投资比例50%组合收益组合收益6.3%，标准差，标准差10.38%。想想：国库券收益与股票收益的关系想想：国库券收益与股票收益的关系YOUR SITE HERE国库券的收益与通货膨胀水平密切相关，而股票收国库券的收益与通货膨胀水平密切相关，而股票收益与通货膨胀水平往往负相关。因此，当通货膨益与通货膨胀水平往往负相关。因此，当通货膨胀严重时，政府常会加息，这会增加国库券的收胀严重时，政府常会加息，这会增加国库券的收益；而由利率的上升把更多的资金引向债券市场，益；而由利率的上升把更多的资金引向债券市场，股票市场的资金减少，股价

21、会下跌；当经济紧缩股票市场的资金减少，股价会下跌；当经济紧缩时，政府常会减息，这会把资金引向股票市场，时，政府常会减息，这会把资金引向股票市场，股价会上涨。股价会上涨。YOUR SITE HERE无风险资产和单个风险资产的组合线（不允许借入资金投资风险资产）stock比重 bond比重rp01030.250.755.194.650.50.510.386.30.750.2515.577.951020.769.6p34.650510150510152025组合的标准差组合的收益AYOUR SITE HERE允许借入资金投资风险资产（买空无风险资产）允许借入资金投资风险资产（买空

22、无风险资产）stock比重 bond比重rp01030.250.755.194.650.50.510.386.30.750.2515.577.951020.769.61.25-0.2525.9511.251.5-0.531.1412.9p34.656.39.611.2512.97.95051015010203040组合的标准差组合的收益YOUR SITE HERE投资者几种投资选择的期望收益与标准差情况表投资者几种投资选择的期望收益与标准差情况表 资产组合资产组合 期望收益期望收益 标准差标准差全部投资于伞公司股票全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%一半伞股票一半国库券一半伞股票一半国

23、库券 6.3% 10.38%一半伞股票一半冷饮股票一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03% 以以3%的利率借款的利率借款50%投资雨伞公司投资雨伞公司 12.9% 31.14% YOUR SITE HERE资本配置线（资本配置线（CAL）YOUR SITE HERE E(rp)=9% p (rf)=3% F 0 21% 资本配置线的形成图如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rE(rp p)=9%)=9%， P P=21%=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就

24、是收益与标准差就是E(rE(rp p)=3%)=3%， P P=0=0。从线上可直观地看到，风险增加，收益也从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为增加。由于直线的斜率为6/21=0.296/21=0.29，每，每增增1 1单位风险，可获单位风险，可获0.290.29单位收益。即每单位收益。即每增增1 1单位收益，将增单位收益，将增3.5(21/6=3.5)3.5(21/6=3.5)单位风单位风险。险。YOUR SITE HEREr rc c= = yryrp p + +（1-y1-y）r rf fE(rE(rc c)= YE)= YE（r rp p） + +（1-y1-y）

25、r rf f根据根据C C=y=yp p=21y=21y，有，有y=y= c c/ / p p，将，将y y代入有代入有E(rE(rc c)=)=r rf f + +yE(ryE(rp p)-r)-rf f = =r rf f +(+(c c/p p)E(r)E(rp p)-r)-rf f=3+(6/21)=3+(6/21)c c从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为线，其截距为r rf f，斜率为斜率为6/216/21。即。即 E(rE(rp p)-r)-rf f/ / p p 该斜率也称为酬报与波

26、动性比率该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。期望收益。 资本配置线的数学表达cpfpfcrrErrE)()(YOUR SITE HERE根据前面的公式，我们可以得到以下两式：根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rE(rc c)=)=r rf f + +yE(ryE(rp p)-r)-rf f 2 2C C=y=y2 22 2p p 将两式代入效用函数，有将两式代入效用函数，有 MaxUMaxU=E(r=E(rc c)-

27、0.005A)-0.005A 2 2C C=r=rf f+yE(r+yE(rp p)-r)-rf f-0.005Ay-0.005Ay2 22 2p p对对y y求导数：求导数：( (MaxUMaxU)=E(r)=E(rp p)-r)-rf f-0.01Ay-0.01Ay2 2p p 令导数为令导数为0 0，有：，有：y y* *=E(r=E(rp p)-r)-rf f/0.01A/0.01A2 2p p 最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。 最优资本配置推导（风险资产与无风险资产的投资比率：由投资者的风险偏好决定）YOUR SITE

28、HERE还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A A为为3 3，求投资者的最优，求投资者的最优风险资产组合比例风险资产组合比例y y* *的值。有的值。有 y y* *=9%-3%/(0.01=9%-3%/(0.013 321212 2)=45.35%)=45.35% 根据结果，应将资金的根据结果，应将资金的45.35%45.35%投资于风险资产，投资于风险资产，54.65%54.65%投资于无风险投资于无风险资产。资产。整个资产组合的收益和风险为：整个资产组合的收益和风险为：E(rE(rc c)=3%+(45.35%)=3%+(45.35% 6%)=

29、5.72%6%)=5.72% C C=45.35%=45.35% 21%=9.52%21%=9.52%酬报与波动性比率酬报与波动性比率= =（5.72-35.72-3）/9.52=0.29/9.52=0.29。最优资本配置举例1YOUR SITE HERE如果假定投资者的风险厌恶程度如果假定投资者的风险厌恶程度A A为为1.51.5，其结果为，其结果为y y* *=9%-3%/ (0.01=9%-3%/ (0.011.51.521212 2)=90.7%)=90.7%E(rE(rc c)=3%+(90.7%)=3%+(90.7% 6%)=8.44%6%)=8.44% C C=90.7%=90.

30、7% 21%=19.05%21%=19.05%酬报与波动性比率酬报与波动性比率= = （8.44-38.44-3）/19.05=0.29/19.05=0.29风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到个资产组合的期望收益也提高到8.44%8.44%，风险溢价提高到，风险溢价提高到5.44%5.44%，标准差也提高了一倍，达到标准差也提高了一倍，达到19.05%19.05%。酬报与波动性比率与风险厌恶程度无关酬报与波动性比率与风险厌恶程度无关风险厌恶程度只反映资本配置线上不同的点。风险厌恶程

31、度只反映资本配置线上不同的点。最优资本配置举例2YOUR SITE HERE 资产配置线资产配置线 E(rE(rp p) ) 6.5%6.5% 机会集合线机会集合线 0 0 YOUR SITE HERE 资产配置线资产配置线B =-0.5B =-0.5 E(rE(rp p) ) 15% B 15% B 资产配置线资产配置线A A 14.33% A 14.33% A 机会集合线机会集合线 6.5% 1.74% 1.79% 6.5% 1.74% 1.79% 为什么最优资产配置线不是以下图形中的任意一条YOUR SITE HERE两条两条CALCAL以以r rf f=6.5%=6.5%为起点，通过为

32、起点，通过A,BA,B两点。两点。A A点代表了在股票与债券的点代表了在股票与债券的=-0.5-0.5时具有最小方差组合时具有最小方差组合A A，该组合债该组合债券比例为券比例为56.7%56.7%，股票比例为，股票比例为43.3%43.3%。它的。它的E(r)E(r)为为14.33%(14.33%(风险溢价风险溢价为为7.88%)7.88%)， 为为1.74%1.74%。由于由于TBTB利率为利率为6.5%6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为为: : S SA A=E(rE(rA A)-r)-rf f/ A A=(14.33-6.5)/1.7

33、4=4.5=(14.33-6.5)/1.74=4.5B B点，点，=-0.5,-0.5,债券股票各债券股票各50%50%，E(r)=15%(E(r)=15%(风险溢价为风险溢价为8.5%)8.5%)， = =1.79%1.79%。斜率为：。斜率为：S SB B=E(rE(rB B)-r)-rf f/ B B=(15-6.5)/1.79=4.75=(15-6.5)/1.79=4.75由于由于B B的斜率大于的斜率大于A A，B B更优。相同方差更高收益。更优。相同方差更高收益。我们知道，两条线切点所对应的组合我们知道，两条线切点所对应的组合P P最优。最优。 上图的说明 YOUR SITE HE

34、RE目的是找出目的是找出w wD D（投资债券的比率），投资债券的比率），w wE E值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函数就是斜率，即目标函数就是斜率，即S SP P，有：有：S Sp p=E(rE(rp p)-r)-rf f/p p 只要满足权重和只要满足权重和=1=1，就可以求斜率的最大值，有就可以求斜率的最大值，有 Max SMax Sp p=E(rE(rp p)-r)-rf f/p p因为因为w wI I=1=1，将将 E(rE(rp p)= )= w wD DE(rE(rp p)+ )+ w wE EE(rE(rE E)代入，有代入，有

35、 Max SMax Sp p= = w wD DE(rE(rp p)+ )+ w wE EE(rE(rE E)-r)-rf f/p p 将将 P P2 2= w= wD D2 2 D D2 2+ w+ wE E2 2 E E2 2+2 +2 w wD Dw wE E D D E EE E代入上式，有代入上式，有MaxSMaxSp p=w=wD DE(rE(rp p)+w)+wE EE(rE(rE E)-r)-rf f/w/wD D2 2 D D2 2+w+wE E2 2 E E2 2+2w+2wD Dw wE E D D E EE E 用用1-w1-wD D代替代替w wE E ，有：有：Ma

36、xSMaxSp p= =wwD DE(rE(rp p)+(1-w)+(1-wD D)E(r)E(rE E)-r)-rf f/w/wD D2 2 D D2 2+(1-w+(1-wD D) )2 2 E E2 2+2w+2wD D(1-w(1-wD D) ) D D E EE E用用w wD D 对对S Sp p 求导，令导数为零，有求导，令导数为零，有 w wD D=E(r=E(rD D)-r)-rf f E E2 2-E(r-E(rE E)-r)-rf fCov(rCov(rD D,r,rE E)/E(r)/E(rD D)-r)-rf f E E2 2+E(r+E(rE E)-r)-rf f

37、D D2 2-E(r-E(rD D)-)-r rf f+E(r+E(rE E)-r)-rf fCov(rCov(rD D,r,rE E)w wE E=1-w=1-wD D 最优值的计算 1（确定一种无风险资产和两种风险资产最优组合的风险资产一种无风险资产和两种风险资产最优组合的风险资产的投资比率的投资比率YOUR SITE HERE把上例中的数据代入，得到的解为把上例中的数据代入，得到的解为w wD D=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-10-6.5+20-=10-6.515-20-6.5(-6.123)/10-6.515+20-6.510-10-6.5+20-6.5(-6.123)= 46.7%6.5(-6.123)= 46.7%w wE E