实变函数期中试卷及答案_第1页
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文档简介

1、一、 判断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（ ）2.可数集的交集必为可数集。（× ）3.设P,QRn，则P,Q=0ÛP=Q。（× ）4.设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（× ）5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（ ）6.任意多个开集的并集仍为开集。（ ）7.任意多个开集的交集仍为开集。（× ）8.设AÍB，则m*A<m*B。（× ）9.设E为Rn中的可数集，则m*E=0。（ ）10.设E为无限集，且m*E=0，则E是可数集。（× ）二、填空题1.设，是上的

2、全部有理点，则 0,1 ；的内部 空集 ； 0,1 。2.设，则 0,1 ；的内部 空集 ；。3.设，则；的内部；。4.设P是Cantor集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； m*P=_0_。5. 设为上的开集的构成区间，则满足，且，。三、证明题1.证明：。证明：因为，所以，从而反之，对任意，即对任意，有为无限集，从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，。综上所述，。2.设A2n-1=(0,1n)，A2n=(0,n)，n=1,2，求出集列An的上限集和下限集。解：；设，则存在N，使时，因此时，即，所以属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而属于无限多，得，又显然，所以。若有，则存在N，使对任意，有，因此若时， 即，令，得，此不可能，所以。3.可数点集的外侧度为零。证明: 设对则则 4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明：记是不可数集，是可数集，因为，且为无限集（因为，否则的话，是至多可数集，与是不可数集矛盾），为

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