矩阵(一) (1810)

1、矩陣(一) (18 / 10)1. 矩陣的運算2. 注意事項1. 矩陣的運算 k 2. 注意事項 (設 A, B 為矩陣) ² 不是任何兩個矩陣也可相乘² AB = 0 不代表 A = 0 或 B = 0 (*)² AB 不一定 = BA (很多時 AB 存在，而 BA 不存在)² (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 的充要條件是 AB = BA (*) (伍冠斌同學提供)矩陣(二) (19 / 10) (吳文海)1. 矩陣的表示2. 矩陣性質 :1. 矩陣的表示通常用 大階字母表示 (e.g A, B, C.)0 可能表示 (三階零方陣)

2、I 可能表示 (三階單位方陣) (2 ´ 3 矩陣) (3 ´ 3 矩陣, 3階方陣) 英文字母 a i j之後數字的義意 : 笫一個數字 (i) : 該英文字母的行數 (橫) 笫二個數字 (j) : 該英文字母的列數 (直) 如果 A 是一個 (n ´ m) 矩陣， 而 B 是一個 (m ´ k) 矩陣, 則 AB 存在， 而且是一個 (n ´ k) 矩陣2. 矩陣性質 :) AB+CB = (A+C)B) AB+AC = A(B+C) (AB+BC) = ? ) 不能從 AB=AC 推出 B = C 矩陣(三) (23 / 10) 1. 轉

3、置和逆方陣 (轉置) 如果 AB = BA = I 則 A 是 B 的逆方陣，即 A = B-1 (B 也是 A的逆方陣，即 B = A-1)1.1 性質比較 : 轉置逆方陣(A ± B) T = AT ± BT(A ± B) -1 = ?(AB)T = BTAT(AB)-1 = B-1A-1(aA)T = aAT(aA)-1 = A-11.2 如 A = AT 則 A 是對稱方陣, 如 A = -AT , 則 A 是反對稱方陣 是對稱陣 是反對稱陣 1.3 不是每一方陣也有逆方陣 (有的話叫 可逆方陣，否則叫 不可逆方陣)如要證明 B 是 A 的逆方陣，你便要證

4、明 AB = BA = Ie.g. A2 + aA + bI = 0 (零矩陣) A(A + aI) = -bI (注意不是 A(A+a) 因為你不能把矩陣加上實數) A(A+aI) = (A+aI) A = I A-1 = (A+aI)矩陣(四) (24 / 10) (陸永強)1. 如何證明 A 是 B 的逆方陣2. 轉置和逆方陣的性質 (二)1 如何證明 A 是 B 的逆方陣 (A = B-1) 證明 AB = I 及 BA = I e.g. 如要證 (A-1) = (AT)-1 你要證 (A-1)T(A) = I (*) 及 (A) (A-1) = I e.g. 如要證 B-1A-1 =

5、 (AB)-1 你要證 (AB)(B-1A-1) = I (*) 及 (B-1A-1)(AB) = I2. 轉置的性質 (二)(A-1)= (A)-1(*) (A-1)T(A) = (AA-1)T = IT = I(*) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = A I A-1 = AA-1矩陣(五) (31 / 10)1. 行列式的性質2.行列式的化簡1. 行列式的性質 = 0 2.行列式的化簡 = (b - a)(c - a) = (b - a)(c - a) = (b - a)(c - a)(c - b)矩陣(六) (1 / 11) (王少鑫)1. 化簡行列式的常用方法2.

6、 如何驗證一方陣的逆方陣是否存在1. 化簡行列式的常用方法 利用 一行(或列) 加 k ´ 另一行(或列), 使其中一行 (或列) 的所有值相同 把相同的值抽出 = k 把行相減 = k (注意 : C2 - C1® C1 會改變正負值) 如 = 2(a + b + c)(ab + bc + ca - a2 - b2 - c2)2. 如何驗證一方陣的逆方陣是否存在 逆方陣存在的充要條件是對應的行列式的值 ¹ 0 如 的逆方陣存在的充要條件是 ¹ 0 ¹ 0 Û 2(a + b + c)(ab + bc + ca - a2 - b2 -

7、 c2) ¹ 0 Û - (a + b + c)(a - b)2 + (b -c)2 + (c - a)2 ¹ 0 Û a + b + c ¹ 0 及 a, b, c 的值不是完全相同矩陣(七) (5 / 11)1. 計 An 的快速方法 找一個 P 短題目時"P"是"送"的 使 P-1AP = (P-1AP)n = P-1 An P = An = P P-1 矩陣(八) (6 / 11)1. 如何找到一個 P 使 P-1AP = (設 A 為二階方陣) 一位讀數學的人應問矩陣(七)中的P是如何求得的 ?

8、 步驟.一. 解二次方程 | A - lI | = 0, 設方程的解為 l1 和 l2步驟.二. 找出 (i = 1, 2) 使 A = li (i = 1,2) (有無限個 (i=1,2) 符合要求, 你可代入實數出選出某個符合要求的 )設 P = 則 P-1AP = 一位讀數學的人應問為何這個方法可以成功 ? 矩陣(十) (27 / 11)1. 矩陣與平面圖形的變換表達變換有兩個方法 : 方法一 方法二 : 用矩陣1.1 平移 : (參考 pg 216 例8-26)1.2 放大 一定是放 "大" 嗎 ? 不是，只有 k > 1 時是 你能用矩陣表示這關係嗎 ? 求

9、這 "變換矩陣" 的方法 * 如 (1,0) 變了 (a,b) (0,1) 變了 (c,d) 則代表變換的矩陣 = E.g. 考慮下列變換 = M 如果經過變換後，分別變成 ， 求 M 方法和 上面的 * 相同 即 M = (參考 1998 I Q2)1.3 位移(1,0) ® (1,0)(0,1) ® (k,1) 你能證明位移後三角形面積不變嗎 ? (提示 三角形面積 = )矩陣(十一) (28 / 11)1. 矩陣與平面圖形的變換1.4 旋轉 繞原點逆時針方向轉 q (1 , 0 ) ® (cos q , sin q) (0 , 1) &#

10、174; (- sin q, cosq) 代表這變換的矩陣是 如果順時針方向轉 q，則變成 =1.41. 性質 i) 從幾何意義看 先 逆時針方向轉 q, 然後再 順時針方向轉 q, 結果當然是沒動過, 所以 = I 同樣道理 = I 所以 = ii) = (轉 n次 q = 轉 一次 nq) iii) =(可用來證複角定理)1.42常用技巧 (用來簡化方程)矩陣(十二) (30/11) (伍冠斌)1. 反射對平面上的任何一點，可以得到關於定直線y = x tan 的對稱點(1,0)(cos2,sin2)(0,1)(sin2,cos2)代表反射的矩陣是2. 性質從幾何意義看，即點(x,y)反射再反射，結果是沒有動過。= I=3. 注意代表反射的矩陣是可能是(=0)(=)(=) (=) (=)矩陣(十二) (3/12) 1. 變換的幾何意義 平移 : (沿 x 軸平移 a 個單位, 沿y軸平移 b 個單位)(參考 pg 216 例8-26) 放大 : (比例因子 = k) 位