实用文库汇编之两角和与差的余弦公式证明

1、作者：风骤起作吊编号：31005CS8G015996287创作日期：2020年12月20 B实用文库汇编之两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教冇研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都 是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要 推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注.对于不同版本的教材采用的 方法往往不同，认頁体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于 提髙学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用. 下而将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公

2、式的方法设角a的终边与单位圆的交点为戸，乙POP=B、则ZPOx=a伏ro a m x-41过点P作PM丄兀轴，垂足为M,那么OM即为a_p角的余弦线，这里要 用表示久"的正弦、余弦的线段来表示OM.过点P作PA丄OP】，垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为乩 再过点P作PC丄AB.垂足为 C,那么 cos0=OA, sin0=AP,并且ZPAC= ZPOx=a. 于是 OM = OB+BM =OB+CP=OAcosa + APsina=coscosa+sinsina综上所述,cos (a;- 0)二 cos a cos /3+sin arsin Q说明：应用三角函数线推导差角公式这

3、一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一上的困难.此种证明方 法的另一个问题是公式是在工0均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考 虑 0的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等.两点间的距离公式推导差角公式的方法设 P1U1. yi)9 P1(X2. J2)>则有 IP1P2I=在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角a，和一戸，它们的终边分别交单位圆于P2>巴和凡点，单位圆与x轴交于Pp则P】(10)、B(cosa, sina)、P3(cos(a+), sin(a+Q)、畀(阿卜处讥-妙). 二 Z片0爲=&+ fi1

4、1闵| 二 |0闯二 |0剧二 |0旬二 1.早迟S片o爲.|目旬二园旬.J(COSQ+£)_1盘=J(co$# cos(0)+($in G$in(0).2-2cos(cz+ Q)= 2-2cosofcos Q- 2sin &sin(-Q) gos(4+0)= cosdcos 0 sin Qsin 0cos (- Q)= cos a cos "sin arsin Q说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位 圆上与角0有关的四个点昇(1,0)，禺(cosor,sin d),鸟(cos(&+Q),siti(& + 0)E(co

5、s(-£),sm(-Q)建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得 到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是 一个难点，另外对于爲，°，乙三点在一条直线和斤此三点在一条直线上时 这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设戸(cos&, sin &) ,j2(cos /?,sin. 0)I对=( COS Of- cos=2- 2(cos«rcos Q+sin czsin. 0)在OPQ中，PQ“|OPf+1。邮-2|0P|0Q|g"0Q ,商=1+1-2 c

6、os (-)， cos (a- /?) = cos or cos /3+sin arsin /5 说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的因为要求两角和与差的三角函 数，所以构造出和角和差角是必须实现的构造岀的和角或差角的余弦函数又 需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦泄理、两点间的 距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的 比较容易理解的一种方法但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能 使用，因此此种方法在必修四中又无法使用.另外也同样需要考虑POQ三点 在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设血8是两个任意角，

7、把弘0两个角的一条边拼在一起，顶点为0,过 B点作0B的垂线，交&另一边于A,交“另一边于C,则有SaAc=SggSb根据三角形而积公式，有£ M|0C|Sm 9+Q)二 £廖| +£ |旳，.|仙|。创测0+0) = |肋|0引+0刖0创 .|0创=|ON|cos G= |OC|uos 0|肋|= |CM|sm 4|加| = |0C|sin 0v |(24|OC|#0A |O4|(?C|sin g+0)= |O|sin«|OC|cos 0+|O4|cos 圈0C|sm 0 /. sin(a+)=sinacos+siny9cosa.根据此式和诱导

8、公式，可继续证岀其它和角公式及差角公式.(1) sin(a/)=sina+GB)=sinacos(-“)+sin(8)cosa=sinacos禺 sincosa：(2) cos(a+>9)=sin90-(a+)=sin(90-a)-=sin(90-a)cos-siny9cos(90-a) =cosacos-sinasiny9：(3) cos(a/)=cosa+(M)=cosacos(8)sinasin(“)=cosacos0+sinasin0 说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个 角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点缺点是公式还是在两个 角为锐角

9、的情况下进行的证明因此同样需要将角的范例进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平而直角坐标系xOy内，作单位圆O,以Ox为始边作角a,队它们的 终边与单位圆的交点为A，B,则CM =(cosa» sina), OB =(cos0 sm0).由向量数量积的概念，有刃帀=I列岡沖9- 0) = ex(D由向量的数量积的坐标表示，有OA-OB= (cos4,sinQ) (cos 図sin. 0)二 coscTcos ,5+sin 6Esin 戸COSdJfCOS0+sin Gsin 0说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个 角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的左义和坐标运算两种 形式求向量的数量积将二者之间结合起来，