332函数的极值与导数课件（第二课时）

1、3.1.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:函数单调性与导数关系函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)增函数增函数f(x)减函数减函数 yxOabyf(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1 、 x3处函数值处函数值f(x1)、 f(x3) 与与x1 、 x3左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?f (x2)、 f (x

2、4)比比x2 、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?观察图像观察图像：函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. (极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的x0称为称为极值点极值点请指出下列函数的极值点xy-4.5-3-11.53.55极大值

3、点有：极大值点有：x=-3,x=1.5,x=5极小值点有：极小值点有：x=-4.5,x=-1,x=3.5（1）函数的极值是就函数在某一点）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值值或极小值（3）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（2）极值点不是一个点，而是横坐标）极值点不是一个点，而是横坐标x的取值的取值练习：练习： 下图是导函数下图是导函数 的图象的图象, 试找出函数试找出函数 的极值点的极值点, 并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.)

4、(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平的极值点处，如果有切线，切线水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？x yO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0, 0003)( ,)(23xfxxxfxxf进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即: 极值点两侧极值点两侧单

5、调性单调性互异互异 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0注意注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. (3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再

6、再列表判断单调列表判断单调性性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, f (x) 的变化情况如下表的变化情况如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以, 当当 x = 2 时时, f (x)有极大值

7、有极大值 28 / 3 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况小结小结注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，

8、是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考思考1. 判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则则f (x0)必为必为极值；极值； f (x)= 在在x=0 处取处取极大值极大值0，函数的极小值函数的极小值一定小于一定小于极大值极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值函

9、数的极值即为最值3x变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxx

10、fxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) )(xf +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 当当

11、x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 10 ;当当 x = 2 时时, f (x)有极大值有极大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 当当 x = 1 时时, f (x)有极小值有极小值 2 ;当当 x = 1 时时, f (x)有极大值有极大值 2 .求下列函数的极值点 1. 2.432y=8181xxx-+-43y=x2xx-+求下列函数的极值，并结合单调性，极值作出函数图像。 1. 2.8y = 2 xx+21y4 xx=+函数极值的应用 1.已知函数 ， （1）求函数的极值； （2）若函数图像与x轴有且仅有一个交点，求实数a的取

12、值范围？32(x)xfxxa=-+1)6()(23xaaxxxf 有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?解析 :f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根, 02.已知函数已知函数解得 a6或a设函数且的两根分别为fx-+a若 （ ）在（，）内无极值点，求 的范围？品味高考2fx =6ln ,(x)(1,f(1)y(0,6)(1)a;(2)f(x)xaRyf+=（2013. 重庆高考）设 （ ）a( x-5)其中曲线在点处的切线与 轴相交于点。确定 的值求函数的单调区间与极值。小结：小结：1个定义: 极值定义2个关键： 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极