和、差、积、商的导数

1、全国名校高中数学典型问题专题汇编(附详解)直接利用导数的运算法则求导求下列函数的导数：1 y 二X -3x 5x+6 ； y 二 X td n XX13 y 二(x+1)(x+2)(x+3) ；y -x+1分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则, 联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成.角军：1 yy (x-3x2-5x +6),二(x1) 3(x) 一5x + (6), =4x3 6x 5.2.广 X n X、y,二(x tan x)二(xsin x)1 cosx xsin x (cosx),cosxcos2(sin X

2、+cosx) cosx +xsin2x _ sin x -cosx + xcos2 x (xsin- x)2cnq v2 COS X3.解法2COS X22cos x解法二y/ =(x +1) (x + 2)，(x+3) +(x+l) (x + 2) (x+3)X3 +6x2 +llx +6 ,=(x + 1) (x +2) + (x + 1) (x +2) (x + 3) +(x + 1) (x + 2) =(x +2+x+ 1) (x +3) + (x + 1) (x +2)=(2x+3) (x+3) + (x+l) (x+2) = 3x2 +12x+ll.全国名校高中数学典型问题专题汇编

3、（附详解）y 二 3x2 +12x+ll.4解法一：厂二(x-i、lx+l 丿算的前提条件,运算过程出现失误,原因是不能正确理解求导法则,(xT) (x+1) 一 (xT) (x + 1)2(X+l)(x+1) (X-l)2(X+l)2-(X +1)2解法二：心三卜引二(-一EVETIX +1(X+1)2 (x+1)说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运特别是商的求导法同求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素从本题可以看岀，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心

4、应手.化简函数解析式在求解求下列函数的导数.1.2.y=sin12+cos1Z ;3.1+vx _L 1 Tx2 Xy二一 一Tx-十一卄x ； 4. y 二一sin-仃-2cos) 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，且易岀错可先对函数解析式进行合理的恒等变全国名校高中数学典型问题专题汇编(附详解) 全国名校高中数学典型问题专题汇编(附详解)换，转化为易求导的结构形式再求导数.解：1. y二jF+d r 77=x2+X3 +X4 ,.y 二2x +3x2 +4x1s i n3-+cos2-2 s i n2COS 一144丿44=l-2sln2-一-厂co

5、s J+COSX2 2 24 4,3 1、 1 .y 二1 + 一CUoa i S 1I1X.V4 4丿40(l+JX)2 丄(1 JX)2 2(l+x) 4-1 -X *1-x-1-x 1-x4, (4) (1X)4(lX)(1-X)2T)/X X 14 y = _sin -cos-二一-sin x ,2 2 2Ldnx X.I 2丿2说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导 时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作 用在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.根据点和切线确定抛物线的系数例已知抛物线y=/中bx+c通过点P(l

6、,l)，且在点Q(2-l)处与直线y二x -3 相切，求实数&、b、C的值.分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来.题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此, 通过解方程组来确定参数a b. c的值是可行的途径.解:曲线 y二ax+bx+c 过 P(l, 1)点，a +b +C =1 常 y二 2ax +b,二寫 y x4 =4a +b二 4a，+b =1 又曲线过 Q(2,-l)点， 4a+2b+c = -1 .联立解、得a二3, b二一 11, C二9.说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函 数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本 题常见的失 误是不注意运用点Q(2,-l)在曲线上这一关键的隐含条件.利用导数求和利用导数求和.1 Sn 二 1+2X+3X2 +nxF, (xHO, n 迂 N*)2、十* Sn M/ZC： +3C3 +nC： , (n 辻 N*)分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法 来解 决转换思维角度，由求导公式(XY二nxS可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁 明快.全国名校高中数学典型问题专题汇编(附详解)解：1 当X二1时，Sn =1+2 +3 卡+n =ln(n +1) 2当X时，1-X两边都是关于X