2019中考数学专题复习资料--阅读创新型考点剖析

1、中考数学阅读创新型考题复习要点剖析阅读创新型考题，是中考的创新题型之一，它要求在阅读过程中，必须认真感知 阅读材料中的有关数学符号，图形符号，公式，定义等，理解每个数学术语，在 阅读中自然语言与数学语言转换拼盘， 是一个内部语言转化的过程，最终要用自 己的语言来理解新认知的数学定义或定理或公式，继而对新知识进行同化和顺应，在数学阅读过程中，数学材料主要以归纳和演绎的方式呈现， 有时以新定义 的方式呈现，具有一定的严谨性，因此阅读者要求有严密的逻辑思维能力， 记忆、 理解、抽象、分析、归纳、类比、联想、迁移等思维活动都充分协调调动，才能 实现好的阅读效果.、典型例题1 .三角函数型阅读问题a b

2、例1（2018?贵阳）如图1,在RtABC中，以下是小亮探究 赤与儒之 间关系的方法:因为 sinA= , sinB=-,所以 c= , c= -,所以= = -. ccSinA sinBsinA sinB.一 .、 a b c根据你掌握的三角函数知识.在图2的锐角ZXABC中，探究7、 sinA sinBsinC之间的关系，并写出探究过程.解法1三者的关系如下:sinA sinB sinCa csinA sinC .同理可得,b csinB sinCsinA_ b sinBcsinC理由为：过 A 作 AD，BC,BE，AC,在 RtABE 中，sinA= BE,所以 BE=csinA ;,

3、BE在 Rt&EC中，sinC=1所以 BE=asinC；所以 csinA= asinC ,所以点评：阅读内容展示了两个重要信息：必须构造出直角三角形，会用不同的表达 式表示同一个量.构造一边上的高，并在不同的直角三角形中表示同一条高成为 解题的关键.解法2三者的关系如下:a b csinAsinBsinC理由为：如图3,作用BC的外接圆，并作直径 AE、BD,连接AD,CD,CE,则/BAD, /BCD,在 RtzABD 中，sin ZBDA=所以 BDc 一一BD=sDA，因为,BDA= /BCA，所以 BD= .二.; sin / BCA同理可得，BD= . aDA. ,AE= . J0

4、;因为同圆的直径相等，所以 sin / BAC sin / ABC所以asin / BACbcsin / ABC = sin / BCA点评：构造三角形的外接圆，借助直径上的圆周角是直角构造直角三角形，利用同弧上的圆周角相等，将AABC C的三个内角迁移到直角三角形，为三角函数的 使用创造了条件，利用同圆的直径相等，实现了结论的证明，这也是证明的好方 法，值得推广.解法3三者的关系如下:a b csinAsinBsinCBESinA=，所以 BE=CSinA，同理可证,11二1S= 2 absinC = - acsinB ； 所以 万 bcsinA=1二 absinC =21二 acsinB

5、, 2同除以abc,得sinAsinBsinCca，所以而b csinB sinC理由为：如图2,过B作BEXAC,在RtABE中,11设zABC 的面积为 S,则 S=万 AC gBE= 2 bcsinA ;点评：通过构造高构造直角三角形，借助同一个三角形的面积相等，把不同的面积表示法建立起等式，为证明奠定基础，同除以 abc和求倒数成为解题的两个关键细节，值得掌握2 .新定义几何图形型阅读问题例2(2018年浙江宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知4,在四边形 ABCD中，AD /BC,对角线BD平分/ABC, /BAC=zSADC

6、.求证：4ABC是比例三角形;(3)如图5,在(2)的条件下，当/ADC=90BD -时，求立的值.AC解析:(1)设 AC=x ,当 22 =3x4c时，x= - ；当 3 =2x 时, 3x= ?；当 x2 =3 X2 时，x= 76 ;2(2)证明：因为AD /BC,所以/ACB = /CAD ,因为/BAC= ZADC ,所以9BCsRCA ,所以CACA 即 CA2=BC AD,因为 AD /BC,所以/ADB= /CBD,因为 BD AD平分/ABC, 所以/ABD= /CBD,所以/ADB= ZABD ,所以 AB=AD ,所以 CA2=BC AB,所以9BC是比例三角形.- ，

7、一 一，1(3)解：如图5,过点A作AH XBD于点H,因为AB=AD,所以BH= - BD,所以 AD /BC, ZADC=90 ,所以/BHA= /BCD=90。，又因为/ABH= /DBC,所以9BH sRbc,所以AB 二 BHDB - BC ,1 _所以ABBC=DB BH,所以AB BC二万BD，因为ABBC=CA，所以122-BD2 = CA2, 2 , BD l所以=7 = 2 . AC评注：注重数学思想的渗透，这里主要体现了分类的思想，解答时，要根据新定义和所求结论来选择解题思想和解题方法，使得解答不漏不重；第二问的解答，相似是基础，新定义的意义是根本，以相似为解题出发点，以

8、新定义的内涵为解题目标，整合梳理即可得证；第三问是前两问的直接应用，这也体现了问题的呈现层次，展示了解题的顺序，体现了解题要步步为营的求解策略.3.介绍新法型阅读问题例3 （2018年？随州）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0；化为分数形式，由于0； =0.777，设x=0.777则10x=7.777，得9x=7 ,解得x三于是得0； = /口 I 3 La 13同理可得 0. 3 = g =3, 1.4 =1+0. 4 =1+ 9=9根据以上阅读，

9、回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】 (1) 0. s =, 5.5=；(2)将0:化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】。匕端=, 2.0册;(注:0J 15=0.315315 2.0=2.01818 )【探索发现】(4)试比较0.；与1的大小：0.；1 (填“”、或“二”*- 2*若已知0.8571 4=7,贝U 3.11428 =.(注：0.： 8571 ；=0.285714285714 )解：(1)由题意知 0匕=5、5.1 =5+ 8=53 ,99923=99 ；35111 (2) 0.23 =0.232323 ,设x=0.232323 ，WJ 100x=23

10、.2323 ，得：99x=23，解得：x= 23 ,0.鼠3*1 31535*1 18 111 同理 0. 3 1 5= 999 = 111 5 2.0X=2+ 10 99=成.所以 m不为: 11155(4)0.9 =1=1故答案为：=;3.71428 =3+ 714285 =3+ 5=受故3999999377 .队26答案为：万.点评：数学学习的四大关键：知识点的学习,数学方法的学习，数学思想的学习,数学应用能力的培养.数学方法走进考场，是个必然，也是一个新趋势.考点就是一面旗帜，是一个导向，是学习一个方向，因此在常态的数学学习过程中，要 夯实数学知识基础，掌握数学方法策略，筑牢数学思想灵

11、魂，培养数学应用能力, 让自己成为一名真正的数学强者.4 .方案型阅读问题例4（2018?衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图6所示的三种方案:方案二方察二 图6小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b 2= (a+b ) 2,对于方案一，小明是这样验证的:a2+ab+ab+b 2=a 2+2ab+b 2= (a+b)2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.万案一:方案二:【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以 解决.【解答】解：由题意可得,方案二：a2+ab+ (a+b) b=a 2+a

12、b+ab+b 2=a2+2ab+b 2= (a+b ) 2,方案二:a2+ G+b) b a+ b) b22=a2+2ab+b2-(a+b ) 25 .解题步骤阅读型问题例5(2018?吉林)某同学化简a (a+2b ) - ( a+b ) (a-b)出现了错误,解答过程如下：原式=a2+2ab - (a2-b2)(第一步)=a2+2ab - a2 - b2 (第二步)=2ab -b2 (第三步)(1)该同学解答过程从第二 步开始出错,错误原因是去括号时没有变zt_;(2)写出此题正确的解答过程.【分析】先计算乘法，然后计算减法.【解答】 解：( 1)该同学解答过程从第 二步开始出错，错误原因

13、是去括号时没有变号；故答案是：二；去括号时没有变号；(2)原式=a2+2ab - (a2-b2)=a2+2ab - a2+b2=2ab+b 2 6. 数学史型阅读问题例 6 (2018 ? 自贡)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J. Nplcr , 1550 - 1617年)，纳皮尔发 明对数是在指数书写方式之前，直到 18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr, 1707 - 1783 年)才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若ax=N (a0, a月)，那么x叫做以a为底N的对数， 记作： x=log aN 比如指数式24=16 可以转化为 4=log 216 ，对数式

14、2=log 525可以转化为 5 2=25 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： log a(M ?N ) =log aM+log aN (a 0, aw1 , M 0, N 0);理由如下：设 log aM=m ， log aN=n ，则 M=a m ， N=a nM ?N=a m ?an=a m+n ，由对数的定义得m+n=log a （M?N）X.m+n=log aM+log aN. log a (M?N) =log aM+log aN解决以下问题：(1)将指数43=64转化为对数式 3=log 464 ;(2)证明 log a；=log aM - log aN (a0, a 1 ,

15、 M0, N0)(3)拓展运用：计算 log 32+log 36 - log 34= 1 .【分析】(1)根据题意可以把指数式43=64写成对数式；(2)先设log aM=m , log aN=n ,根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m ,N=an,计算卷的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；(3)根据公式：log a (M?N) =log aM+log aN 和 log a=log aM - log aN 的逆用，将所求式子表示为：10g 3 (2X6+4),计算可得结论.【解答】解：(1)由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log 464,故答案为：3=log 464

16、;(2)设 log aM=m , log aN=n ,贝U M=a m, N=a n,.|=3F=am-n,由对数的定义得 m - n=log， a.又m - n=log aM - log aN ,Jog a；f=log aM - log aN (a0, a丹，M0, N0);(3) log 32+log 36 - log 34 , =log 3 (2X6+4),= log 33,=1 ,故答案为：1.7.填空型阅读问题例7 (2018?临安区)阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为9BC的三边，且满足a2c2- b2c2=a4- b4,试判断4ABC的形 状.解：,. a2c2 - b2c

17、2=a 4 - b4 (A). c2 (a2-b2) = (a2+b2) (a2-b2)(B). c2=a2+b 2 (C)./ABC是直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C ;(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况 ;(3)本题正确的结论为：AABC是等腰三角形或直角三角形.【分析】(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题;(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况;(3)根据题意可以写出正确的结论.【解答】解：(1)由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C,故答案为：C;(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为：没有考虑a=b的情况；

18、(3)本题正确的结论为： ABC是等腰三角形或直角三角形,故答案为：4ABC是等腰三角形或直角三角形.8 .寻找规律型阅读问题例8 (2018?滨州)观察下列各式：请利用你所发现的规律,【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.【解答】解：由题意可得：J1号 方+小小塌+J1号墟+.+小吃卷=1+ 1X2+1+ 2X3+1+ 3X4+ +1+ 9X10ni 11 1 .JJ 1. 1 1 1、=9+（1 -2+2一下耳4+ +10）=9+ T9=9 10 9 故答案为：9.9.公式推荐型阅读问题例9 （2018?枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的

19、秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长f22 2分别为a, b, c,则该三角形的面积为S=J；相评-卢二 J）勺.现已知MBC的三边长分别为1, 2,衣,则9BC的面积为.【分析】根据题目中的面积公式可以求得 ABC的三边长分别为1, 2,迷的面 积，从而可以解答本题.I222【解答】解：3=；/外2-但芍 三 产, v qZ.ZABC的三边长分别为1 , 2,屏,则9BC的面积为： S=&12x225+22产）2）勺=1 ,故答案为：1.10 .介绍新知识型阅读问题y =aX2阶行列式，并且规定： c(-1) = - 6+2= - 4 .a1x+ b1y =二L次方程组a2

20、x+ b2y =c d=axdbxc,例如：=3 x (2) - 2Xd1 2Dx。x =c1D的解可以利用2X2阶行列式表示为：；C2Dy例10 （2018年？常德）阅读理解：a, b, c, d是实数，我们把符号 称为2D其中D二a1 b1a2 b2Dxc1 b1C2 b2Dy =a1c1a2 C2问题：对于用上面的方法解二元一次方程组2 x+ y = 13x 2y = 12时,下面说法错误的21A. D=B. Dx= - 14C.Dy =27D.方程组的解为分析：根据行列式的定义，分别计算 D =结论.解:=-7,所以选项A正确;因为a1a2b1b2DxDxDy =C1C2b1b2Dy

21、=a1a2c1c2可得c1 b1C2 b2a1 C1a2 C2方程组的解:1221312=2DxD2- 1 X12= - 14 ,所以选项B正确;X12-1X3=21 ,所以选项C不正确;147即217x = 2,所以选项D正确;y = 3所以选C.点评：理解行列式的意义是解题的关键.这种先阅读后应用的考题方式是一种创新学习方式即自主学习，是数学学习的有效方式之一，值得推广.11 .定义新运算型阅读问题 例11 (2018年江苏扬州)Xt于任意实数 a、b,定义关于“ ”的一种运算如下：a b=2a+b.例如 3 4=2 X3+4=10.(1)求2 (-5)的值；(2)若 x y=2 ,且 2

22、y x=-1 ,求 x+y 的值.分析：理解新运算的意义，利用新运算转化为二元一次方程组问题求解即可.解：(1) 2 (-5)= 2 X2+ (-5) =-1 ;(2)根据新定义得2x y = 2K K (1)x+ 4y = 1K K (2)点评：利用新运算把陌生知识点问题转化成熟悉的二元一次方程组问题是解题的 关键.12 .定义新概念型阅读问题例12 (2018?内江)对于三个数a, b, c,用Ma , b, c表示这三个数的中位数，用maxa , b, c表示这三个数中最大数，例如： M - 2 , - 1, 0= - 1 ,-1 (氏-1)max - 2, - 1 , 0=0 , ma

23、x - 2 , - 1, a=解决问题：(1)填空：Msin45 ,cos60 ,tan60 =,如果 max3 , 5 3x, 2x2 q-6=3 ,则x的取值范围为二;(2)如果 2?M2 , x+2 , x+4=max2 , x+2 , x+4,求 x 的值；(3)如果 M9 , x2, 3x - 2=max9 , x2, 3x - 2,求 x 的值.【分析】(1)根据定义写出sin45 ,cos60 ,tan60 的值，确定其中位数；根据maxa , b , c表示这三个数中最大数，对于 max3 , 5 - 3x, 2x - 6=3 ,可得不等式组：则力5-3工3第2工-6(2)根据

24、新定义和已知分情况讨论：2最大时，x+4W2时，2是中间的数时，x+2 2 2,分别解出即可；(3)不妨设 y1二9 , y2=x 2,y3=3x 2 ,画出图象，根据 M9 , x2, 3x -2=max9 ,x2, 3x - 2,可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对 应的x的值符合条件，结合图象可得结论.【解答】解：(1) . sin45 =, cos60 =/, tan60 =V3,V2. Msin45 ,cos60 ,tan60 二万，. max3 , 5 3x , 2x 6=3 ,1.3)21-60Qx的取值范围为：J名故答案为：辛,旨(2) 2?M2 , x+

25、2 , x+4=max2 , x+2 , x+4,分三种情况：当x+4 W2时，IP x -2,原等式变为：2 (x+4 ) =2 , x= -3,x+2 2x+4 时，IP- 2x2时，即x0,原等式变为：2 (x+2 ) =x+4 , x=0 ,综上所述，x的值为-3或0;(3)不妨设yi=9 , y2=x2, y3=3x -2,画出图象，如图所示：结合图象，不难得出，在图象中的交点 A、B点时，满足条件且M9 , x2, 3x-2=max9 , x2, 3x - 2=y A=y b,此时x2=9 ,解得x=3或-3 .例13 (2018?娄底)已知：冈表示不超过x的最大整数.例：3.9=3，-k+1 k3+11.8 = -2.令关于k的函数f (k) =-r (k是正整数).例：f (3)=-m=i .则下列结论错误的是()A. f =0B. f (k+4 ) =f (k) C. f