弹性力学试卷2007(答案)

1、 六、试用最小势能原理推导平面应力问题的位移形式的平衡方程和相应的静力边界 条件。 （设该平面的厚度为 1 单位，不考虑体力） （15 分） 解：在平面应力状态中，s t t 0 ，应力应变关系为： z = zy = zx = E E E sx = e n e ,s e n e ,t g x + y ) y = y + x ) xy = 2 ( 2 ( 1- n 1- n 2( 1+ n) xy 1 1 1 单位体积应变能为：W = se g x x + s ye y + t 2 2 2 xy xy 整个弹性体的应变能为： U =ò W dV ò ò 总势能为：

2、P =U -L =ò W dV -L ò ò 最小势能原理（设该平面的厚度为 1 单位，不考虑体力） ： E é 1- n ù d P =ò e n e d e e n e d e g g dxdy ( ( x + y ) x + y + x ) y + xyd xy ú ò 2 ê 1 - n 2 ë û A -ò Xd u+ Yd v) ds =0 ( Ss 考虑到 ¶ u ¶ ¶ ¶ ¶ d e d = d u,d e

3、d v ,d g d v+ d u x = y = xy = ¶ x ¶ x ¶ y ¶ x ¶ y 代入最小势能原理并进行分部积分，利用格林公式，得： E ¶ ¶ 1- n¶ 1- n¶ d P =ò é ( e n e d uù + é ( e n e d vù + g v+ g u dxdy x + y ) y + x ) xyd xy d 2 ë û ë û ò 1- n ¶ x 

4、2; y 2 ¶ x 2 ¶ y A g g E ì ¶ ¶ 1- n ¶ 1- n ¶ xy xy ü -ò d u ( e n e +d v ( e n e + d v + d u dxdy x + y ) y + x ) ý ò 2 í 1- nî ¶ x ¶ y 2 ¶ x 2 ¶ y þ A -ò Xd u+ Yd v) ds ( Ss g E ì 1- n¶ é&#

5、182; xy =-ò e n e + ( x + y ) ò 2 í ê 1- nî ¶ x 2 ¶ y ë A g 1- n¶ ù é¶ xy ù ü d u +ê ( e n e + d vý dxdy y + x ) ú ¶ y 2 ¶ x ú û ë û þ 1- n 1- n æ E é ù ö æ

6、; E é ù ö +ò e n e l+ g -X ÷ d u +ç e n e m+ g - Y÷ d v ds ( ( ç x + y ) xy m ú y + x ) xy l ú 2 ê 2 ê 2 2 1- në 1- në û ø è û ø Ss è =0 由于 d u, d v 的任意性，有： 1+ n ¶æ ¶ u ¶ vö 1

7、+ n ¶æ ¶ u ¶ vö 2 平衡方程： Ñ u+ =0 ,Ñ2 v + =0 ç + ÷ ç + ÷ 1- n¶ xè ¶ x ¶ yø 1- n¶ yè ¶ x ¶ yø ¶ u ¶ v ¶ v ¶ u E æ ¶ v ¶ u ¶ v ¶ u 边界条件： E 2 æ + n &#

8、246; l+ Gæ + ö m =X , + n ö m+ Gæ + ö l= Y ç ÷ ç ÷ ÷ ç 2 ç ¶ x ¶ y ¶ x ¶ y ¶ y ¶ x ¶ x ¶ y÷ 1- nè 1- nè ø è ø ø è ø 6 七、设sx =- px , s - 0.5n x ,t 0 ，式中 p、为

9、已知常数。试证明此解能满足协 y = xy = 调方程，并求出图 3 所示矩形板内的体力及边界上的面力（画图） 。 （15 分） 解： （1）应力需满足应力协调方程： o Ñ2 sx + sy = 0 Ñ2 ( - px - 0.5n x) = 0 应力满足应力协调方程。 （2）求板内体力：由平衡方程 0.5 l l ( ) A B y C h/2 h/2 D 图3 -0.5 l t ¶ sx ¶ + yx +X =0 ¶ x ¶ y ¶ t ¶ s xy + y + Y =0 ¶ x ¶ y

10、æ t ö ¶ sx ¶ X =- + yx ÷ =p ç x ¶ y ø è¶ æ ¶ t ¶ s ö xy Y =- + y÷ =0 ç¶ ¶ y ø è x x -pl （3）求边界上的面力：由边界条件 sx l + t yx m =X t s Y xy l + ym = h AC 边： y =- ,l =0 ,m =- 1 X =0 ,Y =0.5nx 2 h BD 边： y = ,l =

11、0,m =1 X =0 ,Y =- 0.5n x 2 AB 边： x =0 ,l =- 1,m =0 X =0 ,Y =0 CD 边： x =l ,l =1,m =0 X =- pl ,Y =0 7 八、在平面应变问题中，以极坐标表示的应变分量与位移分量的关系为： ¶ ur 1¶ uq ur ¶ uq uq 1 ¶ ur e ,e + ,g - + ，试导出平面应变轴对称情况 r = q= rq = ¶ r r ¶ q r ¶ r r r ¶ q 下的变形协调条件。 （15 分） 解：解法一： 对几何方程求导，得变形协调条件： 2 2 2 ¶ e ¶ g ¶ e g ¶ e ¶ e ¶ q r rq r r + 2r q - r r - rq = 0 2 + 2 - ¶ r ¶ q ¶¶ r q ¶ r ¶ r ¶ q 2 对于轴对称情况， g 0 ，应变分量与 无关，协调条件变为： rq = r2 d 2e de de q 2r q - r r = 0 2 + dr dr