微积分(1)极限的概念

1、 事实上， 上述命题不成立。 即： 如果 lim 比如数列 an = (-1n ，显然有 lim a1 + a2 + n ®¥ n a1 + a2 + n ®¥ n + an + an 未必有 lim an = a 。 = a， n ®¥ = 0 ，但 lim an 不存在。 n ®¥ 例 8.已知 lim an = a ，求证： lim an = a 。 n ®¥ n ®¥ 证明：由 lim an = a ，可得对 "e > 0 ， $N1 Î n

2、 ®¥ * ，当 n > N1 时，有 an - a < e ， 又因为 an - a £ an - a ， 所以，当 n > N1 时，有 an - a < e ， 即 lim an = a 。 n ®¥ 思考： 例 8 的结论反过来是否成立？即： 如果 lim an = a ， 是否有 lim an = a ？ n ®¥ n ®¥ （1）当 a = 0 时，上述命题成立。即：如果 lim an = 0 ，则有 lim an = 0 。 n ®¥ n 

3、4;¥ 证明：由 lim an = 0 ，可得对 "e > 0 ， $N1 Î n ®¥ * ，当 n > N1 时，有 （*） an - 0 < e ， 又因为（*）式等价于 an - 0 < e ， 所以可得 lim an = 0 ； n ®¥ （2）当 a ¹ 0 时，上述命题不成立。即：如果 lim an = a ，未必有 lim an = a 。 n ®¥ n ®¥ 11 比如数列 an = (-1n ，显然有 lim an = 1 ，但 l

4、im an 不存在。 n ®¥ n ®¥ 类似地，利用数列极限定义的否定形式： lim an ¹ a Û $e 0 > 0 ， "N Î n ®¥ * ， $n0 > N 时，使得 an0 - a ³ e 0 。 我们可以证明某些数列是发散的。 例 9.证明数列 (-1n 是发散数列。 分析：我们只需证明，任意的实数 a 都不是数列 (-1n 的极限，即对任意的 实数 a ， lim(-1n ¹ a 。 n ®¥ 证明：记 an = (-1n

5、。 （1）若 a = 1 ，取 e 0 = 1 ，当 n0 为任意奇数时，有 an0 - 1 = 2 > e 0 ； （2）若 a = -1 ，取 e 0 = 1 ，当 n0 为任意偶数时，有 an0 - (-1 = 2 > e 0 ； （3）若 a ¹ ±1 ，取 e 0 = min a + 1 , a - 1 ，对 "n Î * ，有 an - a ³ e 0 。 综合（1） 、 （2） 、 （3） ，可得数列 (-1n 是发散数列。 例 10.证明数列 sin n 是发散数列。 分析：我们只需证明，任意的实数 a 都不是数列 sin n 的极限，即对任意的 实数 a ， lim sin n ¹ a 。 n ®¥ 证明：记 an = sin n 。不妨假设 a < 0 。 取 e0 = 1 ，对 "N Î 2 * p 5p æ ， $n0 Î ç 2 Np + , 2 Np + 6 6 è ö ÷ ，且满足 n0 > N ，使得 ø an0 - a = sin n0