数值分析实验(3)

1、实验三 函数逼近与快速傅里叶变换 P95专业班级:信计131班 姓名:段雨博 学号:2013014907 一、实验目的1、熟悉matlab 编程。2、学习最小二乘法及程序设计算法。 二、实验题目 1、对于给函数(21125f x x=+在区间1,1-上取(10.20,1,10i x i i =-+= ,试求3次曲线拟合,试画出拟合曲线并打印出方程,与第二章计算实习题2的结果进行对比。 图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。 3. 给定数据点(,i i x y 如表所示 用最小二乘法求拟合数据的二次多项式,并求平方误差。 三、实验原理与理论基础1.最小二乘原理与线性拟合:在函数的最佳平方逼近中,(b

2、 a C x f ,如果(x f 只在一组离散点集.,1,0,m i x i =上给出,这就是科学实验中经常见到的实验数据.1,0,(m i y x i i =的曲线拟合,这里.1,0(m i x f y i i =,要求一个函数(*x S y =与所给数据.1,0,(m i y x i i =拟合,若记误差T m ,.(10=,设(,.(,(10x x x n 是Ca,b上线性无关函数族,在(,.(,(10x x x span n =中找一函数(*x S 使误差平方和220222(min (*=-=-=mi i i m i i m i i y x S y x S ,这里 (.(1000x a

3、 x a x a x S n n += (m n <。这就是一般的最小二乘逼近,用几何语言说,就称为曲线拟合的最小二乘法。数据拟合是根据测定的数据间的相互关系,确定曲线,.,;(10n a a a x s y =的类型,然后再根据在给定点上误差的平方和达到最小的原则,即求解无约束问题:=-=mi i n i n y a a a x s a a a F 121010,.,;(,.,(min确定出最优参数:,.,1,0(*n k a k=,从而得到拟合曲线.(*x s y =2、多项式拟合。3、定义1:设有数据,.,21m x x x X =和权系数,.,2,1(m i i =称:=mi i

4、 i ix g x f g f 1(,(为函数为权的内积。上以在和,.,21m x x x X g f =4、用正交函数最佳平方逼近:为避免出现正规方程组的系数矩阵是病态矩阵的情况,在选择多项式时需要考虑正交的多项式n n b a C span ,.,.,.1010=设是正交基,即:=k i ki k k i ,0,(22 于是正规方程组可以简化为:,.,1,0,(22n k f a k k k = (1解方程得到:.,.,1,0,/,(22*n k f a a k k k k =这里避免了求解病态方程组,提高了计算系数的精确度。对任意的,(b a C x f 其最佳平方逼近函数为:(/,(2

5、2*x f x a x s k knk nk k k k=由式(1以及=-=-+-=-=nk k k f a fs f s f s fsf 0*22*22*22,(,(,(, 导出平方误差为:=-=n k k k a f22*2222,(其平方根称为均方误差。 5、由题意决定,.,1(2x x span ,即决定拟合多项式,分别计算1(,(,ni j ijm k k k k =,1(,(,ni i j m k y k y -=,用(,i j k k 组成方阵A,用(,i k y -组成矩阵B ,利用A/B 求出该多项式的系数,再利用1(2niii f x y =-求出平方误差。四、实验内容解:

6、1、 >> i = 0:10; >> x = -1+0.2*i;>> y = 1./(1+25*x.2; >> p=polyfit(x,y,3; >> s=vpa(poly2sym(p s = - 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2+ 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x +0.484124924848907012275

7、84486332489>> f=polyval(p,x;>> plot(x,f,x,y,'o '2、>> x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1;>> y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46;>> p1=polyfit(x,y,3%三次多项式拟合p1 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266>> p2=polyfit(x,y,4%四次多项式拟合p2 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427>> y1

8、=polyval(p1,x;>> y2=polyval(p2,x;%多项式求值>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.'>> p3=polyfit(x,y,2%观察图像,类似抛物线,故用二次多项式拟合。p3 =3.1316 -1.2400 0.7356>> y3=polyval(p3,x;>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k-'%画出四种拟

9、合曲线3、M文件:function =zuixiaoercinihe2(x,yn=length(x;k00=0;for i=1:nk00=k00+1;endk01=0;for i=1:nk01=k01+x(i;endk02=0;for i=1:nk02=k02+x(i*x(i;endk11=0;for i=1:nk11=k11+x(i*x(i;endk12=0;for i=1:nk12=k12+x(i*x(i*x(i;endk22=0;for i=1:nk22=k22+x(i*x(i*x(i*x(i;endk0y=0;for i=1:nk0y=k0y+y(i;endk1y=0;for i=1:

10、nk1y=k1y+x(i*y(i;endk2y=0;for i=1:nk2y=k2y+x(i*x(i*y(i;endA=k00 k01 k02;k01 k11 k12;k02 k12 k22;B=k0y;k1y;k2y;C=AB;p=C(1;q=C(2;r=C(3;syms m;'拟合的二次函数为'f=p+q*m+r*m*ml=0;for i=1:nl=l+(p+q*x(i+r*x(i*x(i-y(i*(p+q*x(i+r*x(i*x(i-y(i; end'该拟合函数的平方误差为'end五、实验结果1、>> i = 0:10;>> x =

11、 -1+0.2*i;>> y = 1./(1+25*x.2;>> p=polyfit(x,y,3;>> s=vpa(poly2sym(ps =- 0.00000000000000016864439246388428423588689609742*x3 - 0.57518273581808898597955703735352*x2 + 0.000000000000000042557797397088199024277357508168*x + 0.48412492484890701227584486332489>> f=polyval(p,x;&g

12、t;> plot(x,f,x,y,'o ' 2、>> x=0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1;>> y=1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46;>> p1=polyfit(x,y,3%三次多项式拟合p1 =-6.6221 12.8147 -4.6591 0.9266>> p2=polyfit(x,y,4%四次多项式拟合p2 =2.8853 -12.3348 16.2747 -5.2987 0.9427>> y1=polyval(p1,x;>> y2=polyval(p

13、2,x;%多项式求值>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.'>> p3=polyfit(x,y,2%观察图像,类似抛物线,故用二次多项式拟合。p3 =3.1316 -1.2400 0.7356>> y3=polyval(p3,x;>> plot(x,y,'c-',x,y1,'r:',x,y2,'y-.',x,y3,'k-'%画出四种拟合曲线 3、>> x=0 0.5 0.6 0.7 0.8

14、0.9 1.0x =0 0.5000 0.6000 >> y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00 y= 1.0000 1.7500 1.9600 >> zuixiaoercinihe2(x,y ans = 拟合的二次函数为 f= m2 + m + 1 ans = 该拟合函数的平方误差为 l= 5.8178e-030 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 2.1900 2.4400 2.7100 3.0000 六、实验结果分析与小结 1、通过这次实习，我学会了如何使用 matlab 根据已知点或者函数进行线性拟合，并慢慢熟 悉编写函数后如何进行改错， 有些过程作了简单的注释， 也明白了课本中最小二乘法算法如 何逼近、如何运算，对第三章的理论