对数学十个核心概念的思考20120320

1、对数学核心概念的思考对数学核心概念的思考北京教育科学研究院 吴正宪 北京顺义区教育研究考试中心 张秋爽 义务教育数学课程标准 （2011 年版）提出了 10 个核心概念。它们是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。与实验稿相比，在这 10 个核心概念中， 有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；有一些是名称或内涵发生了变化的：数感、符号意识、数据分析观念； 有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。 这 10 个核心概念可以分成三层：第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、

2、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。 下面就结合一些课堂实例对其中新增的四个核心概念“运算能力、模型思想、几何直观、创新意识”的理解与大家交流。一、一、如何提高学生的运算能力如何提高学生的运算能力运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。一是指运算；二是指运算能力。运算能力不仅仅会算

3、和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。提到运算的意义，我们觉得要让学生积累运算的原型，不断补充进而完善学生对于运算含义的准确把握。运算的多种“原型”包括：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。提到算理和算法的关系，我们认为“法理”需要平衡。直观演绎，清晰算法是外在模型,算理是内在的魂。而现在的孩子在学习新知识之前不是一张白纸，他们往往学会了一些所谓的计算方法，但是对于方法背后的道理却是知

4、之甚少或一无所知，怎样引起他们对算理的关注与探究呢？教学中可以借助直观模型，架起算理与算法之间的一座桥梁，使学生能够直观地感悟计算的道理。北京黄城根小学的史冬梅老师的一节两位数乘两位数 ，结合三年级学生的思维特点，借助直观模型也很好地处理了算理与算法的关系。片段一：片段一：“算对了算对了”就是真明白了吗？就是真明白了吗？教师出示问题 1412 等于多少.在学生独立试做并利用计算器验证出结果后，全班学生证明计算结果正确之后，老师说：“既然我们已经认同了 1412=168 是正确的，大家又会计算过程,是不是就可以下课了呢？”不能下课的呼声顿时而起.“妈妈教会我计算，但是我不知道为什么这样计算。 ”

5、 “竖式计算方法为什么上下摞着写， ” “是谁发明这样计算的，人类怎么想到这种方法的， ”看似一句简单的“是否可以下课” ，引发了学生的深度思考。教师创设这样的问题情境，没有把学生的思维停留在计算的结果，而是为学生提供质疑的空间，让使学生带着需求进入后续知识的研究。片段二：在点子图上刻画思维轨迹片段二：在点子图上刻画思维轨迹“我们除了用竖式计算和用计算器计算之外，同学们还有很多计算方法，例如1272；1462；1443；1426；1210+124；1252+124，这样计算有道理吗？” 学生开始疑惑和茫然，此时教师提供点子图建议学生在图中找答案。 （每行有 14 个点，有这样的 12 行）学生

6、在点子图中演绎计算道理。如下图所示。 学生在点子图中找到计算的道理，并证明实以上几种方法都是正确的。史老师接着追问：“哪个图能恰当的体现竖式的计算过程？”史老师在这节课上没有将会写“竖式”作为最终的教学目标，而是在学生已经能够初步掌握竖式计算方法的基础上，提供给学生直观的点子图作为研究素材，使学生的种种思维轨迹在点子图上留下足迹，使学生丰富多彩的学习成果得以证明。学生计算的方法不完全相同，但都是采用“先分后合”的思路，这一点恰恰就是乘法竖式计算的基本思路。其中最后的追问也体现了直观与抽象的关系，让学生进一步理解计算的道理。片段三：在点子图中，把抽象的算理和外显的算法进行勾连片段三：在点子图中，

7、把抽象的算理和外显的算法进行勾连“竖式计算中用到的四句口诀（二四得八，一四得四，一二得二，一一得一）计算的是哪部分？为什么第二层的积要错位写？能在点子图上找到竖式计算的过程并说明道理吗？”提出的问题引发学生思考，学生开始在点子图上寻觅竖式计算的步骤。在点子图中找每个算式对应的位置。如下图所示：接着将点子图抽象成矩形，并用数形结合表示计算的过程和道理，如下图： 然后，说明第二层积为什么要错位书写的道理。 最后将所有的积相加，就是 1214 的计算结果。在点子图中寻觅竖式计算的足迹，帮助学生还原最简单、最直观的道理和方法，使算理与算法融为一体。在进行学生前测时，多数学生掌握的是计算的流程，但是为什

8、么这样计算，竖式是怎样演变来的，人类为什么这样规定计算流程，激发了学生的学习需求。点子图将“冷冰冰”的算法和“神秘秘”的算理，揭示得如此透彻，让学生清楚“法中见理，理中得法，原本不可剥离” 。回顾以往的教学，不少老师认为计算教学没什么道理可讲，或者不重视引导学生探索计算的过程，或者当学生刚刚探索出方法后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的情况下就开始追求计算方法，这就很可能造成学生在没有真正理解道理的情况下，只能靠记忆法则来习得方法和技能。这显然对学生的发展是不利的，而这节课恰恰体现了算理与算法有机融合的鲜活而典型的案例。因此，教师要给学生提供可以操作、圈画的素材

9、，促使学生有意识地审视自己的操作过程，自觉地把操作过程中所获得的认识进行整理提升，使抽象的算理变得直观形象，使学生在明理中顺利、自然的掌握了算法，促进学生思维的发展，提高运算能力。二、如何建立模型思想二、如何建立模型思想“模型思想”是新增的核心概念， 标准指出：”模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识” 。标准首先说明了模型思想的价值，即建立了

10、数学与外部世界的联系。小学阶段有两个典型的模型“路程速度时间” 、 “总价单价数量” 。 方程是个建模的过程，怎样帮学生建立好这个数学模型？从事件中寻找等量关系，列出方程，可以说是一种建立数学模型的过程；如何让学生更好的经历这个建模的过程，使学生更轻松的接受这个模型，我认为单方面去让学生经历从事件中提取还不能够让学生充分接受。 “数学源自生活，又回归于生活”这就告诉我们，建立数学模型应该是提取加还原的过程，所以，在教学中，前期我们可以搜集较为丰富的生活事件，引导学生不断地经历提取等量关系，列方程的过程；但在后期应让学生面对方程这个已有模型，让学生去赋予它更多现实含义，当学生能够把模型与生活建立

11、联系时，他才真的开始接受这个模型了。1.1.方程是个建模的过程方程是个建模的过程下面以陈千举老师方程一课的教学流程为例，说明如何在体现模型思想的同时，又渗透了从算术思维向代数思维的过渡？【片段片段 1】1】借助天平建立方程借助天平建立方程 陈教师大胆地在教具上做文章，把过去由教室一手操作的电脑中的天平变成了孩子们可以任意动手摆动得纸制天平。动态演示，直观解读，让学生在直观教具模型的动态演示中感悟理解方程的意义。因此课堂上出现了学生可以自己可以动一动的天平模型。 随着天平上物体的变化，学生把“未知的物体”作为“已知量”参与“寻找等量关系”的探索，天平让学生很容易认识到左右两边物体质量的关系，有利

12、于直接寻找到表示左右两边相等的式子。寻找等量关系对于建立方程概念显得很是重要。动态天平模型的出现，为学生理解“含有未知数的等式叫做方程”给与了重要的认知支持。【片段片段 2】2】寻找内隐的天平寻找内隐的天平 并不是所有的情景都是称质量，离开了天平情景，学生该怎么做呢？对寻找心中的天平，找出等量关系是关键。 师：下面请同学们看图，你能在此图中找到一组相等的关系吗？生 1：每块月饼质量4=380 师：每块月饼质量不知道，我们可以用什么来表示？生 2：我们可以用字母表示。 师：你能利用一个式子来表示这组相等的关系吗？（组织学生自己写：） 生 3：4x=380 生 4: 4A=380 师：没有天平了，

13、你们通过心中的天平也找到了等量关系，列出了方程。看来，天平的威力还真不小。 师：再看这幅图，先说说图意，其中的等量关系是什么？请用个式子表示这组相等的系。（学生独立思考、写出答案后交流。 ）生 5：一个大水壶能盛 2000 毫升水，刚好倒满 2 个热水瓶和 1 纸杯，纸杯的容量是 200毫升。生 6：这幅图的等量关系：两个热水瓶的盛水量200 毫升=2000 毫升 相等关系可以用 2x+20=2000。 师：你是用什么表示每个暖瓶的盛水量的？ 生 6：我是用 x 来表示的。师：生活情境中找到等量关系，就可以找到方程的影子。 （教师请一名学生和自己站在一起） ，问：我们两个在这儿一站，有方程吗？

14、 （1）指名让学生为站在一起的老师和学生构造方程，师在其中有目的地追问相应的等量关系。（2）同学身高 x 厘米，我们两个相差 32 厘米，陈老师身高 180 厘米。师：这次你都能列出哪些方程？ （x32=180 180 x=32 18032=x）教师创设看似寻常不过的情境，在学生寻找方程的过程中，让学生不仅再一次加深了对方程意义的理解；更重要的是让学生感受到方程就在我们的身边，生活中处处有方程。【片段片段 3】3】在讲故事中理解方程在讲故事中理解方程 陈老师的课堂别开生面，学生在讲故事中感悟理解方程的意义，也给我们带来了新的思考即“面对着抽象的数学概念，小学生需要什么样的数学学习？”20+x=

15、100 赋予生活意义，讲个故事。生 1：有 20 个黑鸡蛋，黑鸡蛋和白鸡蛋共 100 个，白鸡蛋多少个？生 2：有 100 个馒头，陈老师吃了 20 个，还剩多少个？生 3：到超市买东西，付给售货员 100 元，售货员找回 20 元，花了多少元？生 4：叔叔要去 100 千米外的河北出差，还剩 20 千米，已经行了多少千米？ 生 5：一个动画片两集全场 100 分钟，已经播了 20 分钟，还剩多少分钟就播完？从具体事件中寻找等量关系，列出方程，可以说是一种建立数学模型的过程。老师让学生亲自经历这个建模的过程，使学生自然接受这个数学模型。他引导学生从生活中提取数学模型，又将数学模型回归于生活他说

16、“建立数学模型应该是提取加还原的过程” 。因此他在在教学中，引导学生搜集丰富的生活资源，不断地经历提取等量关系，列方程的过程，从而理解方程得意义。最后把抽象的方程与生活情境建立联系，让学生换个思路理解方程，为方程增添些许生命力，从而加深和丰富学生对方程意义地理解。 2.2.乘法分配律是个建模的过程乘法分配律是个建模的过程在学习乘法分配律时，我们可以先通过学生熟悉的生活情景：买套服、买桌椅、买套餐等情景入手，体会乘法的意义，进一步列出算式；接着可以根据这些算式的特点，试着写几个这样的等式，通过计算验证它们结果相等，最后分析算式的特点，进而总结出乘法分配律。在学生理解运算律的过程中，将图、式、数、

17、情景进行沟通和联系，体现多重表达方式。除此之外，我们还可以利用图形的直观性，帮助学生理解乘法分配律。当然，在学生理解了乘法分配律后还可以让学生根据算式编故事。例如，北师大版教材的例题：给厨房贴瓷砖，正面是一个长方形，横着贴 6 块，竖着贴9 行。侧面也是一个长方形，横着贴 4 块，竖着贴 9 行。一共需要多少块瓷砖？方法 1：6949=90（块）方法 2：（64）9=90（块）对于解决生活中的实际问题，可以直接用平面图形求面积和或面积差，应用的也是乘法分配律。先让学生说明每个算式的意义，接着让学生在图中指一指每个算式所对应的面积，最后把两种方法书写在一起，让学生进行比较，进一步明确等式左边和右

18、边的结构特点。这样采用多种表征去认识乘法分配律，能够加深学生对运算律的认识与把握。对于乘法分配律的内容，通过学习新知，学生有了理解，但如何真正内化理解了呢？如何通过学习活动让不同水平的学生各有所获呢？于是，教学时教师便提出：你能用“43+63”说一道实际问题，表达出乘法分配律的内容吗？用自己喜欢的方式摆一摆，画一画、写一写。可以用文字的，也可以用图表的。怎样把你的想法记录下来，并让大家能一眼看懂？学生作品如下：文字式 实物图式图文并茂式 抽象符号式平面图形式 线段图式总结概括式反馈时，依据思维程度的不同由低到高呈现学生的思考结果，让学生交流几种思路，这样使不同思维层次的学生面临不同的挑战，促使

19、学生经历从实物抽象到用数学符号表示的过程，这就是解构的过程。模型思想的建立需要一个循环往复的过程，从大量的生活实例（具体形象、旧知识）来抽象出运算定律再用自己的方式解读。这也是一个建构和解构的过程，这两个过程缺一不可，共同承担学生建立模型思想的全过程。除方程、乘法分配律这两个学习内容能够帮助学生建立模型外，教材中还有很多内容：植树问题、鸡兔同笼及一些基本的数量关系、函数等，建议大家从低年级开始就可以渗透，做到前有孕伏，后有照应。三、如何在教学中体现几何直观？三、如何在教学中体现几何直观？几何直观是标准中新增的核心概念，主要是指“利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、

20、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用” 。 （运用图来分析问题和解决问题，运用图直观表示正反比例关系、利用统计图来直观地描述数据等。 ）1.1. 运用图分析问题和解决问题运用图分析问题和解决问题把画图作为一种解决问题的策略。由于孩子年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会发生一些困难，如果适时的。让孩子们自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键。因此我们认为，画图应该是孩子们掌握的一种基本的解决问题的策略。为什么说画图很重要呢？主要是比较直观，通过画图能够把一些抽象的数学问

21、题具体化，把一些复杂的问题简单化。如：这个问题是一道出现了不同单位“1”的分数应用题，对学生的思维具有挑战性。利用线段图理解分数的意义，转化单位“1” ，用份数来解答问题。 这道题转化为把 52 本书平均分成 13 份，姐姐占 3 份，妹妹占 10 份。通过画线段图把这种复杂的数量关系变得简单明了，将抽象的数学问题直观化、可视化。解决问题的策略也跃然纸上。2 2运用图像表示正反比例关系运用图像表示正反比例关系函数是刻画现实世界的一个重要数学模型，它刻划的是变量与变量之间依赖关系的模型，函数是联结两类对象的桥梁，体现了对应关系。函数有多种表示形式：解析式、表格、图像、自然语言。这就是人们通常所说

22、的函数的多重表示。多重表示的方法不仅可以加强概念的理解，也是解决问题的重要策略。如下图所示：图 1、图 2 用都采用了表格形式反应两类对象之间的关系。图 1 表示的是总量一定，每杯盛水的数量与杯数之间的关系。学生能够知道，每杯水的数量越多，杯数越少。可以表示为 xy=600；图 2 表示汽车行驶的速度与时间之间的关系，速度不变，时间越长，行的路程越长。可以表示为 y=90 x。 图图 1 1 图图 2 2图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义，函数关系用图像来表示，它的直观性是其他表示方式所不能替代的，它是“看见”两种量之间的关系和变化情况的途径之一。图 3、图 4 采用了图像反应两类对

23、象之间的关系。图 3 反应了正方形周长与边长的变化情况图，随着边长的增加，周长也增加，而且它们之间总是 4 倍关系，图像是一条直线；图 4 反应的是面积一定时，长与宽这两类对象之间的关系，长增大，宽就减少，它们之间的积是固定不变的，图像是一条曲线。图图 3 3 图图 4 4北京实验一小郭雯砚老师执教的成正比例的量 ，这节课上郭老师紧紧抓住了“图像”作为帮助学生认识和理解正比例的重要素材。图像反应的是我们学校给住宿的同学买苹果的情况。给出数据和具体的情境。师：给出数据后，你又能从图中发现哪些信息？（12 千克苹果 48 元。 ）你怎么看出来的？生 1：从横轴上找到 12 千克，向上找到直线上对应

24、的点，再向左找到纵轴上的值。生 2：还能看出 40 元可以买 10 千克苹果。生 3：还有每千克苹果 4 元。师：学校又买来一些香蕉，哪个更贵呢？学生觉得两幅图像分开画不太容易观察，利用电脑把两个图像合在一起。这时，学生都认为香蕉更贵，表示香蕉购买情况的这条直线更陡一些。师：为什么直线越陡，价格就越贵？生 1：同样的数量，比如都是 6 千克，从横轴上 6 千克的位置向上看，香蕉的黄线在苹果的上面，说明香蕉的总价比苹果的多，所以香蕉更贵。生 2：同样的总价，比如都是 48 元，向右看可以买 10 千克香蕉或 12 千克苹果，买的苹果比香蕉多，所以香蕉比苹果贵。师：如果还买了一些橙子，我们已经知道

25、橙子的价格比苹果贵，你觉得这条直线应该画在哪里？生 3:画在苹果的上面。生 4:画在香蕉的上面。生 5:画在苹果和香蕉之间。由此可以看出，图像已经成为了学生分析变化关系，理解变化关系，呈现变化关系的重要工具了。的确，图像让抽象的变化关系变得直观，变得让学生有更容易有“感觉”了。这是学生第一次接触函数图像，在此之前他们甚至都没有见过图像，不知道图像是什么样的。教师应在这部分内容的教学中，大胆地为学生设计猜想、探究、实验和验证的活动，让学生有机会将已有的旧知识与新形式建立联系，在图像的观察、绘制和分析中丰富对变化的认识，让零散的连起来，让静止的动起来，让具体数变得抽象起来，这个过程就是函数思想渗透的重要过程。3.3.利用统计图直观描述数据利用统计图直观描述数据第二学段（标准例 38）： 对全班同学的身高的数据进行整理和分析。说明 在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析。例如，条形统计图有利于直观了解不同