历年全国高考数学真题归纳解析考点5函数与方程函数模型及其应用

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点5】函数与方程、函数模型及其应用2009年考题1.（2009福建高考）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x.0的方程的解集不可能是（ ）A. B C D 【解析】选D.本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出检验即得. 2. （2009福建高考）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是（ ）A. B. C. D. 【解析】选A.的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的

2、零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合。3. （2009海南宁夏高考）用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,设f（x）=min, x+2,10-x (x 0),则f（x）的最大值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【解析】选C.画出y2x，yx2，y10x的图象，如右图，观察图象可知，当0x2时，f（x）2x，当2x3时，f（x）x2，当x4时，f（x）10x，f（x）的最大值在x4时取得为6，故选C。4. （2009湖南高考）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数

3、。当=时，函数的单调递增区间为（ ）A B C D 【解析】选C.函数，作图易知，故在上是单调递增的. 5. （2009江西高考）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（ ）A B C D不能确定w. 【解析】选B.设为和轴的交点，则在D内由题意得，。6、（2009重庆高考）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）ABCD【解析】选B.因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同

4、样因为与第三个椭圆无公共点，由可计算得综上知7.（2009山东高考）若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .【解析】设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 答案：.w8. （2009山东高考）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 【解析】因为是定义

5、在R上的奇函数，且满足,所以。所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示, 那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知，所以答案：-89. （2009上海高考）已知对于任意实数，函数满足. 若方程有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 .【解析】由奇函数的性质得f(0)=0,其余2008个实数解互为相反数，则这2009个实数解之和为0。答案：0.10.（2009山东高考）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，

6、其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。A B C x 【解析】方法

7、一（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.方法二（1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0<m1<m2<160,则 ,因为0<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×160×160,所以,所以即所以函数在(

8、0,160)上为减函数.同理,证明函数在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则因为1600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即所以函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.11. （2009上海高考）有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a

9、与学科知识有关。（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。【解析】（1）当而当，函数单调递增，且>0.3分故单调递减当，掌握程度的增长量总是下降.6分（2）由题意可知0.1+15ln=0.85.9分 整理得解得.13分由此可知，该学科是乙学科.14分w.w.w.2008年考题1.（2008广东高考）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48

10、x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则, 令 得 当 时， ；当 时，因此 当时，f（x）取最小值；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。BCDAOP2.（2008江苏高考）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管道的总长度为ykm

11、（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】（1）（i）由条件知做PQ 垂直平分AB，交AB于点Q，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP，所以， 所求函数关系式为（ii）若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（2）选择函数模型（i），令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。2007年考题1

12、.（2007湖南高考）函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）A4B3C2D1【解析】选B.由图像易知交点共有3个。2.（2007安徽高考）定义在R上的函数f (x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区 间-T,T上的根的个数记为n,则n可能为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 5【解析】选D定义在R上的函数是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期，则可能为5。（毫克）（小时）3.（2007湖北高考）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为

13、常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室【解析】（I）由题意和图示可知，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得（II）由题意可得，即得或或，由题意知至少需要经过小时后，学生才能回到教室答案：（I）（II）4.（2007上海高考）某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是 【解析】因为完成后，才可以开工，C完成后，才可以开工，完成A、C、D需用时间依次为天，且可以同时开工，该工程总时数为9天，。答案：35.（2007上海高考）方程的解是【解析】 （舍去），。答案： 6.（2007上海高考）方程的解是 【解析】答案：7.（2007广东高考） 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.【解析】(1)若 , ,显然在上没有零点, 所以 .(2)若 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上所求实数的取值范围是 . 8.（20