141直角三角形三边关系

1、受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处米处断裂，树的顶部落在离树跟底部断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，米处，这棵树折断前有多高？这棵树折断前有多高？如图所示：如图所示： 4米米3米米y=0你会吗你会吗（图中每一格代表一平方厘米）（图中每一格代表一平方厘米）观察左图：观察左图：（1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（2 2）正方形）正方形Q Q的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。（3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。121上面三个正方形的上面三个正方形的面积之间有什么关面积之间有什么关系？系？SP+SQ

2、=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰等腰直角三角形直角三角形ABCABC三边长度之三边长度之间存在什么关系吗？间存在什么关系吗？ 活动一活动一 S Sp p=AC=AC2 2 S SQ Q=BC=BC2 2 S SR R=AB=AB2 2这说明这说明在等腰在等腰直角三角形直角三角形ABCABC中中, ,两两直角边的平方和等于斜边的平方直角边的平方和等于斜边的平方那么那么, ,在一般的直角三角形中在一般的直角三角形中, ,两直角边两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢的平方和是否等于斜边的平方呢? ?想一想想一想P的面的面积积(单位单位长度长度)Q的面的面积积(单位单位长度长度)R的面的面

3、积积(单位单位长度长度)图图2图图3P、Q、R面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系QPR图图2QPR图图3ABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=AB2(每一小方格表示每一小方格表示1平方厘米平方厘米)QPR图图1-3QPR图图1-4把把R R看作是看作是四个直角三角形的面积四个直角三角形的面积+ +小正方形面积小正方形面积。QPR图图3QPR图图4把把R R看作是看作是大正方形面积大正方形面积减去减去四个直角三角形的面积四个直角三角形的面积。432147225S S正方形正方形R R北京欢迎您！北京欢迎您！利用拼图来验证勾股定理：利用拼图来验证勾股定理：

4、cab 准备四个全等的直角三角形准备四个全等的直角三角形（设直角三（设直角三角形的两条直角边分别为角形的两条直角边分别为a，b，斜边斜边c）；cabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2cabcabcabcab=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为c24 +(b- a)22ab c2= 4 +(b-a)2 2ab 勾股定理

5、（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem)如果直角三角形如果直角三角形两直角边两直角边分别为分别为a、b，斜边为斜边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形直角三角形两直角边的平方和两直角边的平方和等于等于斜边的平方斜边的平方abc在西方又称在西方又称毕达毕达哥拉斯定理！哥拉斯定理！勾勾弦弦股股在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。我国古代学者把直。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为角三角形较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称，较长的直角边称为为“

6、股股”，斜边称为，斜边称为“弦弦”。勾勾股股 两千多年前，古希腊有个哥拉两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前

7、，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周国家之一

8、。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被记，它被记载于我国古代著名的数学著作载于我国古代著名的数学著作周髀算经周髀算经中。中。cab22acb22abcc2=a2 + b2a2=c2 b2b2 =c2 a2bca22结论变形结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；斜边的平方； 222abc受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处

9、断裂，米处断裂，树的顶部落在离树跟底部树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前米处，这棵树折断前有多高？有多高？如图所示：如图所示： 4米米3米米y=0求解过程求解过程ABC 4米米3米米 4米米3米米求出下列直角三角形中未知边的长度。求出下列直角三角形中未知边的长度。6x2524x10比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x xb=2a=1c=？b=?c=17a=15求下列求下列2个三角形中的第三条边的长。个三

10、角形中的第三条边的长。试一试试一试:做一做3260A225B811. 求下列图中字母所代表的正方形的面积求下列图中字母所代表的正方形的面积=92=144ABCD7cm2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则则正方形正方形A，B，C，D的面积之和为的面积之和为_cm2。49 练一练练一练 如图，已知等边三角形如图，已知等边三角形ABC的的边长为边长为2，求，求BC边上的高边上的高AD的长的长度？度？DCAB例例1、已知、已知ABC中中, C= Rt,BC= a

11、,AC= b ,AB=c(1)已知已知: a=1, b=2, 求求 c;(2)已知已知: a =15 , c =17, 求求 b; (3)已知已知: a = ,b= , 求求 c;(4)已知已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求求 a ,b.你能用刻度尺和圆规作一条线段你能用刻度尺和圆规作一条线段,使它的长度为使它的长度为5cm?5354acbACB (1)若若a = 24 ,b = 7, 则则c = (2) 若若a = 60 , c = 61 , 则则 b = (3)若若 a = ,b = , 则则 c = 7232511如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为

12、a a，b b，斜边斜边为为c c，那么那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方和等于斜边的平方(勾股定理勾股定理)（1）运用勾股定理的条件：）运用勾股定理的条件：（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？（4）如果一个直角三角形的斜边长为）如果一个直角三角形的斜边长为13cm，一条直角边长，一条直角边长为为5cm.你以求出另一条直角边的长吗？请说说你的做法。你以求出另一条直角边的长吗？请说说你的做法。（在直角三角形中）（在直角三角形中）（三边之间）

13、（三边之间）(已知两边求第三条边已知两边求第三条边)（运用勾股定理）（运用勾股定理）美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。 有趣的总统证法有趣的总统证法 12S梯形梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab12S梯形梯形 = c2 +2 ab = c2+ab 121212即：在即：在RtABC中，中，C=90 c2 = a2 + b2伽菲尔德证法伽菲尔德证

14、法 勾股定理（勾股定理（gou-gugou-gu theorem) theorem)如果直角三角形如果直角三角形两直角边两直角边分别为分别为a、b，斜边为斜边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形直角三角形两直角边的平方和两直角边的平方和等于等于斜边的平方斜边的平方abc在西方又称在西方又称毕达毕达哥拉斯定理！哥拉斯定理！cab22acb22abcc2=a2 + b2a2=c2 b2b2 =c2 a2bca22结论变形结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；斜边的平方； 222abc（1 1）运用勾股定理的条件：）运用勾股定理的条件：（2

15、 2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？（3 3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？（4 4）如果一个直角三角形的斜边长为）如果一个直角三角形的斜边长为13cm13cm，一条，一条直角边长为直角边长为5cm.5cm.你以求出另一条直角边的长吗？请你以求出另一条直角边的长吗？请说说你的做法。说说你的做法。（在直角三角形中）（在直角三角形中）（三边之间）（三边之间）(已知两边求第三条边已知两边求第三条边)（运用勾股定理）（运用勾股定理）1、下图中的三角形是直角三角形、下图中的三角形是直角三角形,其余是正其余是正方形方形,求下列图中字母所表示的正方形的

16、面求下列图中字母所表示的正方形的面积积.=625225400A22581B=144想一想想一想勾股定理应用一勾股定理应用一2.已知直角三角形已知直角三角形ABC中中,(1)若若AC=8,AB=10,则则 周长周长 = _. (2)同上题，同上题， =_ 3.一个直角三角形的面积一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边且其中一条直角边的长为的长为9,则这个直角三角形的斜边长为则这个直角三角形的斜边长为_ 4.如上图如上图,直角三角形的面积为直角三角形的面积为24,AC=6,则它则它的周长为的周长为_ABCSABC24121524 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部2929英寸（英寸（7474

17、厘米）厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，他觉得厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？么吗？ 我们通常所说我们通常所说的的2929英寸或英寸或7474厘厘米的电视机，是指米的电视机，是指其荧屏对角线的长其荧屏对角线的长度度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错议一议议一议荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米4658C160904040BA例例1、 如图所示是一个长方形零件的平面图如图所示是一个长方形零件的平面图,

18、尺寸如图所示尺寸如图所示, 求两孔中心求两孔中心A, B之间的离之间的离.(单位单位:毫米毫米) 练习：练习：如图，小方格都是边长为如图，小方格都是边长为1 1的正方的正方 形，求四边形形，求四边形D D的面积与周长的面积与周长 DABC练习练习：蚂蚁沿图中的折线从：蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为爬了多少厘米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米）GFE例例2 2：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好从某人头顶正飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好从某人头顶正上方上方40004000米处，过了米处，过了2020秒，飞机距离这人头顶秒，飞机距离这人头

19、顶50005000米，飞米，飞机每时飞行多少千米？机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图形，其中分析：根据题意，可以画出图形，其中A A点表示头顶点表示头顶的位置，的位置，C C，B B点表示两个时刻飞机的位置，点表示两个时刻飞机的位置，CC是直是直角，那么可以用勾股定理来解决问题了。角，那么可以用勾股定理来解决问题了。CAB解：解：由勾股定理，可以得到由勾股定理，可以得到ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2，即：即：5 52 2=BC=BC2 2+4+42 2，解得：解得：BC=3BC=3米。米。54020360013v即飞机的速度为即飞机的速度为540千米千米/时。时

20、。例例3 3折叠矩形折叠矩形ABCDABCD的一边的一边AD,AD,点点D D落在落在BCBC边上边上的点的点F F处处, ,已知已知AB=8cm,BC=10cm,AB=8cm,BC=10cm,求求CF CF 及及EC.EC.ABCDEF810106X8-X48-X在右图在右图(书本书本50页做一做页做一做)的方格图的方格图中，用三角尺化出中，用三角尺化出两条直角边分别为两条直角边分别为cm、12cm的直角的直角三角形，然后用刻三角形，然后用刻度尺量出斜边，并度尺量出斜边，并验证刚才得到的直验证刚才得到的直角三角形三边的关角三角形三边的关系是否成立。系是否成立。(每一小格代表平方厘米)1252

21、+122=13213想一想想一想: :印度有一数学家婆什迦罗曾提出过印度有一数学家婆什迦罗曾提出过“荷花问题荷花问题”:“平平湖水清可鉴平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边。忽被强风吹一边。渔人观看忙向前渔人观看忙向前, 花离原位二尺远；花离原位二尺远；能算诸君请解题，能算诸君请解题， 湖水如何知深浅？湖水如何知深浅？”分析：先把实际问题转化成数学问题。分析：先把实际问题转化成数学问题。求：求： ABAB的长的长已知：已知：AD = 0.5 AD = 0.5 尺，尺， AC = 2AC = 2尺，且尺，且CACAB = 90 BD =

22、 BC222BCABAC根据勾股定理得：根据勾股定理得： 解得解得 x = 3.75 (x = 3.75 (尺）尺）答：湖水深答：湖水深3.753.75尺。尺。解：解：设设AB= x,AB= x,则则BD = x + 0.5,BD = x + 0.5,所以所以BC = BD = x + 0.5,BC = BD = x + 0.5,在在RtABCRtABC中，中，BAC = 90BAC = 90 ，所以有：所以有： （ x + 0.5 x + 0.5 ）2 2 = x = x2 2 + 2 + 22 2C例例4 4、某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线某市要建造一图书馆，位置在如图所示的直线

23、ABAB上选取，该市有两所学校在点上选取，该市有两所学校在点C C和点和点D D的位置，的位置，CAABCAAB于于A A，DBABDBAB于于B B，已知，已知AB=25AB=25千米，千米，CA=15CA=15千米，千米，DB=10DB=10千米，试问：图书馆千米，试问：图书馆E E应该建在距点应该建在距点A A多少千米处，才多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？能使它到两所学校的距离相等？ACEBD解：解：设设AE=x，则，则BE=25-x，x由勾股定理得：由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152DE2=BE2+DB2=（25-x）2+102 x2+152 =（25-x）2

24、+102解得解得 x=10（千米）（千米）151025-x 如图：一个如图：一个3米长的梯子米长的梯子AB，斜靠在一竖，斜靠在一竖直的墙直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为2.5米，如果梯米，如果梯子的顶端子的顶端A沿墙下滑沿墙下滑0.5米，那么梯子底端也外米，那么梯子底端也外移移0.5米吗？说明理由。米吗？说明理由。ADCBO分析：要求分析：要求BD,可以先求出可以先求出BO和和OD即可即可梯子的长度前后会发生变化吗？梯子的长度前后会发生变化吗？定理应用定理应用_,_2OB75. 25 . 232222 AOAB._OB658. 175. 2_,_2OD5232222OCCD._OD236. 25 ._BD0.58 m 例例5 5. .如图如图, ,一圆柱高一圆柱高8cm,8cm,底面半径底面半径2cm,2cm,一只蚂蚁从点一只蚂蚁从点A A爬到点爬到点B B处吃食处吃食, ,要爬行的最短路程要爬行的最短路程( ( 取取3 3）是