矩阵的满秩分解

1、第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强矩阵行的初等变换：(1)交换矩阵的任意两行；一、矩阵的一、矩阵的Hermite标准形：标准形： (2)对矩阵的某一行乘以一非零的任意常数；(3)矩阵的某一行乘以一个常数加到另一行.注：矩阵的等价于矩阵一相应行初的等变换左乘初等矩阵；矩阵的等价于矩阵一相应列初等变换右乘初的等矩阵；第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及

2、其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强( )0 0 00 m nmrmn nIACrank ArPPCAQQC设，则存在可逆方阵，使得rIOOO即任意矩阵经初等变换，均可变换为形如的简单形式. AA如果仅对矩阵 作，则 变换后的最简单形式是什行初等变换么矩阵？等价标准形等价标准形第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章

3、矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强0()min (1)0 (2).m nrrHCrHermank HrmnHHrmrHrIIHite：设， ，若矩阵满足下条件：的前 行是非零行，后行全为 ；中包含一个 阶的子单位矩阵 ，且 的元1是 所在行的首个是非零元.则称 是定义1标准形Hermite关于标准形的注： (1)Hermite标准形是一阶梯矩阵； (2)(1)1iir 第 行首个非零元为，且该非零元所在的列中，其他元素全为0.第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其

4、应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强Hermite：下列矩例1阵均为标准形：10020010050011010H 203060000070 0000000000001011iiH AHermiteHPAHAPHermiteH任一非零矩阵 ，通过行的初等变换，可变换为标准形 ，即存在可逆方结论：的阵 ，使得称为标准形.第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分

5、解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强AHermiteP：求矩阵 的标准形及变换矩阵例2，其中 121212412336363A (| ).A IAHermiteHIP对增广矩阵作行的初等变换，将矩阵变换为标准形 ，则由单位阵 变换后获得的矩阵即为变换矩阵解：第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程

6、数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 121211002412301036363001 ( | )A I(2) (1) 2(3) (1) 3121211000036121000000301411333(121332) 3(1) (2)3120000012000000301(|)H P第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文

7、强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 1.ABABHermite：若矩阵 经行初等变换可化为矩阵 ，则定与 有相同的标准形理AAHermiteH：设矩阵 的标准形为证明.AABHermiteHPPBH下证 的标准形也是，即证存在可逆矩阵 ，使得AAHermiteH矩阵 的标准形为11(1)APPAH存在可逆矩阵 ，使得 第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强

8、AB 经行初等变换可化为矩阵22(2)PP AB即存在可逆矩阵 ，使得 (1)(2)由式和式得到221ABP AP PH121PP P令，则有APBHABHermiteH 的标准形也是.第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 2.ABm nPPABAB：设 、 均是的矩阵，且存在可逆矩阵 ，使得，则矩阵 的列向量与 的列向量有相同的线性定组合关系理定理2的

9、注释：1212()()nnAAAABBBB设矩阵， ， ， ，12.miiABRin其中 ， ， ，第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 12121212.kkiiikiikiAAAxxxx Ax Ax AO定理2说明，若对于向量 ， ，存在实数 ， ， ， ，使得 12kiiiBBB则对向量， ，同样有1212.kiikix Bx Bx BO.A定理2

10、说明，若对矩阵 作行初等变换，不会改变其列的线性组合关系第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 1212()()nnAAAABBBB：设， ， ， ，证明1212()()nnPAPAPAPABBBB则有 ， ， ，12.iiPABin即 ， ， ，112.iiAP Bin， ， ，12kiiiAAAA若矩阵 的列向， ， ， 有线量性关系：1212kiik

11、ix Ax Ax AO1212kiikiP x Ax Ax AO则有 第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 1212kiiikPxAPAOAPxx1212kiikiBBOBxxx12kiiiBBBB， ， ，反之若矩阵有线的列向量 性关系：1212kiikix Bx Bx BO12112kiikiPx Bx Bx BO则有 1211112kiikiP B

12、P BP BxxxO1212kiikiAAOAxxx第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强123424630121712419AAAAA，：设，例3 A求 的列最大无关组，并将其余列向量用列最大无关组表示. AAHermiteH进行，将先对矩阵行初等变化为标解换准形：第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第

13、四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强(1()2)2463012315121712171241912419A (2) (1)(3) (1)1231500280014(2) ( 2)123 1500140014(1) (2) (3) (2)1233412030014()0000HHHHH，第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等

14、工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强13HHHH对于矩阵 ，和是 的列最大线性无关组 214134.23HHHHH且 ，13214132.324AAAAAAAA所以由定理 知， ， 是矩阵 的列最大线性无关组，且 ，第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强(1) ( )(2

15、) ( )m nACrank AmArank AnA设，若：，则称 是的；，则称行是满秩列定义2：满秩的.二、矩阵的满秩分解：二、矩阵的满秩分解： (1) m nm nmnACmACn若矩阵是行满秩的，则；若矩阵是列满秩的，则注： ；(2)AA矩阵 是的矩阵 是既是的，又是满秩行满秩列满秩的.第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 ( ) m nm rr

16、 nAF GAFACFCGCAAG设，若存在列满满秩分解秩矩阵和行满秩矩阵，使得则称 有，称为 的满定义3：秩分解. ( )0m nACrank ArA定理3设，则 必有：满秩分解.第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强( )0rank Ar证明： m mn nPCQC存在可逆矩阵，使得000rIAPQrr mrm rPOQIIOrrr mm rIFPG

17、IOQO记第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强1212mmirFPppprFppppC即 是由矩阵， ， ，的前 列组成的子矩阵， ， ，且列满秩； 11221rnniqqqqGQrGqqqC即 是由矩阵的前 行组成的子矩阵，且行满秩；AF GA是 的满秩分解.满秩分解不唯一满秩分解不唯一第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应

18、用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强A求矩阵 的满秩分解的一般方法： 1AAHermeittHsep :对矩阵 进行，求出 的标初等变换准形行；121212(2)()rnrim riiAAAAHermiteHiiiFAs epCtAA:设， ， ，的标准形 中每行首个非零元所在的列为 ， ， ， ，令 ， ，；第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其应用第四章矩阵分析及其

19、应用第四章矩阵分析及其应用 高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 1113nimr mrstepHAHermiteHHCHHGCH:设 的标准形，令 ；.AAF G则 的满秩分解为 第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强7140035124121

20、3.3600152451520A的满：矩阵例求秩分解4 . AAHermiteH先对进行，将 化行矩阵为标初等解变准形换：(71)7140035120051241213124121336001536001524515202451520A第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强 (2) (1)(3) (1)(4) (1)32120051200512412130

21、041283600150000024515200051510 4(2)12005001320000000515105(4) (4)12005001320000000000H第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强13AF所以由矩阵 的第 、第 列构成列满秩矩阵 137014()3025FAA，12HermiteHG由标准形 的非零行，即第 、第 行构成行满秩

22、矩阵 ：1200500132G第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强A所以矩阵 的满秩分解为： 701412005300013225AF G第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院

23、理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强xxx | 22H,rank,rFCFrmFFH 1 ）（0FFH 2 ）（FFH 3 ）（rHFFxxFxF H) ( FxFxHH)( )(FxFxH0 | 22Fx0F 0 , Fx,rank,rGCGnrHGG 1 ）（0HGG 2 ）（HGG 3 ）（r第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用第四章矩阵分解及其应用高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学高等工程数学 理学院理学院理学院理学院理学院理学院 杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强杨文强,rank,rFCFrmFFH 1 ）（0FFH 2 ）（FFH 3 ）（r,rank,rGCGnrHGG 1 ）（0