质能方程的启发

1、W,W'质能方程的启发物理问题：我看见质量为Ma的小球A与质量为Mb的小球B碰撞。A相对我的速度为Va，B相对我的速度为Vb；碰撞后A相对我的速度为Ua，B相对我的速度为Ba。有参考系A 、B 、I。I为我所在的参考系，A为小球A的，B为小球B的。A在伽利略变换下:Pa为A碰撞前的动量，Pa'为A碰撞后的动量；Wa为A碰撞前的能量，Wa'为A碰撞后的能量Pb为B碰撞前的动量，Pb'为B碰撞后的动量；Wb为B碰撞前的能量，Wb'为B碰撞后的能量有能量守恒和动量守恒：MaVa+MbVb=MaUa+MbUb (动量守恒)1/2MaVa2+1/2MbVb2=1/

2、2MaUa2+1/2MbUb2 (动能/机械能守恒)移项有Ma(Va-Ua)=Mb(Vb-Ub) 消去1/2，移项有Ma(Va2-Ua2)=Mb(Ub2-Vb2) 展开，有Ma(Va-Ua)(Va+Ua)=Mb(Ub-Vb)(Vb+Ub) 在中消去的项，有Va+Ua=Ub+Vb 是与质量无关的式子。再移项有Va-Vb=Ub-Ua 结论：在I看来，A与B碰撞前和碰撞后的相对速度大小不变，方向相反。A与B可得同样结论，仅仅需要把Ma或Mb其中一个视为无穷大值即可。B在允许存在绝对刚体的假设（完全弹性碰撞成立，虽然狭义相对论不允许），洛伦兹变换条件下，根据狭义相对论有:C为光速Ma0为A的静止时的静

3、质量，Ma为A碰撞前的质量，Ma'为A碰撞后的质量；Pa为A碰撞前的动量，Pa'为A碰撞后的动量；Wa为A碰撞前的质能，Wa'为A碰撞后的质能Mb0为B的静止时的静质量，Mb为B碰撞前的质量，Mb'为B碰撞后的质量；Pb为B碰撞前的动量，Pb'为B碰撞后的动量；Wb为B碰撞前的质能，Wb'为B碰撞后的质能Ma=Ma0/1-Va2/C2Ma'=Ma0/1-Ua2/C2Mb=Mb0/1-Vb2/C2Mb'=Mb0/1-Ub2/C2有质能Wa=Ma0C2/1-Va2/C2Wa'=Ma0C2/1-Ua2/C2Wb=Mb0C2/1-

4、Vb2/C2Wb'=Mb0C2/1-Ub2/C2有动量Pa=Ma0Va/1-Va2/C2Pa'=Ma0Ua/1-Ua2/C2Pb=Mb0Va/1-Vb2/C2Pb'=Mb0Ub/1-Ub2/C2质能与动量间的四维关系得Wa2-Pa2C2=Ma0C4=Wa'2-Pa'2C2Wb2-Pb2C2=Mb0C4=Wb'2-Pb'2C2有质能守恒和动量守恒：Pa+Pb=Pa'+Pb' (动量守恒)Wa+Wb=Wa'+Wb' (质能守恒）左右同乘以C后平方Pa2C2+Pb2C2+2PaPbC2=Pa'2C2+Pb

5、'2C2+2Pa'Pb'C2 左右平方Wa2+Wb2+2WaWb=Wa'2+Wb'2+2Wa'Wb' -，展开有Ma0C4+Mb0C4+2WaWb-2PaPbC2=Ma0C4+Mb0C4+2Wa'Wb'-2Pa'Pb'C2 化简，有WaWb-2PaPbC2=Wa'Wb'-2Pa'Pb'C2将上式展开Ma0Mb0(C4-VaVbC2)/(1-Va2/C21-Vb2/C2)=Ma0Mb0(C4-UaUbC2)/(1-Ua2/C21-Ub2/C2)Ma0、Mb0都不为零，C为常数，

6、皆可消去，可得出与质量无关的式子(C2-VaVb)/(1-Va2/C21-Vb2/C2)=(C2-UaUb)/(1-Ua2/C21-Ub2/C2)左右平方，整理得(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)(C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2)=(C4-2C2UaUb+Ua2Ub2)(C4-C2Va2-C2Vb2+Va2Vb2)等号左边标注：(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)(C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2)+C4-2C2VaVb+Va2Vb2+C4-C2Ua2-C2Ub2+Ua2Ub2展开有+C8-2C6VaVb+C4Va2Vb2-C6Ua2+2C4VaVbUa2-C2Va

7、2Vb2Ua2-C6Ub2+2C4VaVbUb2-C2Va2Vb2Ub2+C4Ua2Ub2-2C2VaVbUa2Ub2+Va2Vb2Ua2Ub2同理，对于等式等号右边+C8-2C6UaUb+C4Ua2Ub2-C6Va2+2C4UaUbVa2-C2Ua2Ub2Va2-C6Vb2+2C4UaUbVb2-C2Ua2Ub2Vb2+C4Va2Vb2-2C2UaUbVa2Vb2+Va2Vb2Ua2Ub2从二表中消去斜体的项。把所有的项移到等号左边：C6（Va2+Vb2-Ua2-Ub2-2VaVb+2UaUb） 2C4（VaVbUa2+VaVbUb2-UaUbVa2-UaUbVb2） C2（Va2Ua2Ub

8、2+Vb2Ua2Ub2-Va2Vb2Ua2-Va2Vb2Ub2+2UaUbVa2Vb2-2VaVbUa2Ub2） 即应有：+=0整理得C6(Va-Vb)2-(Ub-Ua)2添加减去2VaVbUaUb有2C4(VaVbUa2+VaVbUb2-UaUbVa2-UaUbVb2+2VaVbUaUb-2VaVbUaUb)=2C4VaVb(Ub-Ua)2-UaUb(Va-Vb)2=C4-2UaUb(Va-Vb)2-(-2)VaVb(Ub-Ua)2 整理得C2UaUb(Va-Vb)2-VaVb(Ub-Ua)2组合、有C2(Va-Vb)2(C4-2C2UaUb+Ua2Ub2)-(Ub-Ua)2(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)=0消去C2后，把减号后(Ub-Ua)2(C4-2C2VaVb+Va2Vb2)右移等号右边，即(Va-Vb)2(C2-UaUb)2=(Ub-Ua)2(C2-VaVb)2移项，并开方Va-Vb/C2-VaVb=Ub-Ua/C2-UaUb等式左右同除C2Va-Vb/(1-VaVb/C2)=Ub-Ua/(1-UaUb/C2) 注意到狭义相对论的速度叠加公式为： +/(1-/C2)令=Va,=-Vb或=U