第五章广义积分ppt课件

1、广义积分广义积分 在前面所讨论的定积分事实上是有条件在前面所讨论的定积分事实上是有条件的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数的：一是积分区间是有限区间，二是被积函数在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广两个前提，因此需要对定积分作如下两种推广：无穷区间上的积分：无穷区间上的积分无穷限积分，无界函无穷限积分，无界函数在有限区间上的积分数在有限区间上的积分无界函数积分或瑕无界函数积分或瑕积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论积分，统称为广义积分或旁义积分，以前讨论过的定积分称为常义积分。过的定积分称为常义积分。定

2、定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间),a上上连连续续，取取ab ，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分类类似似地地，设设函函数数)(xf在在区区间间,(b 上上连连续续，取取ba ，如如果果极极限限 baadxxf)(lim存存在在，则则称称此

3、此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间,(b 上上的的广广义义积积分分，记记作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设设函函数数)(xf在在区区间间),( 上上连连续续, ,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),( 上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(. . 0)(limaadxxf bbdxxf0)

4、(lim极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散. .12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分.1sin122 dxxx解解 21sin12dxxx 211sinxdx 例例1 1 计算广义积计算广义积分分 bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 1

5、1dxxp当当1 p时时收收敛敛， 当当1 p时时发发散散. 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因因此此当当1 p时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为11 p；当当1 p时时广广义义积积分分发发散散.例例 4 4 证明广义积分证明广义积分 apxdxe当当0 p时收敛，时收敛， 当当0 p时发散时发散. 证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.定义定义 2 2 设函数设函数)

6、(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分类类 似似 地地 ， 设设 函函 数数)( xf在在 区区 间间),ba上上 连连 续续 ，而而 在在 点点b的的

7、左左 邻邻 域域 内内 无无 界界 . . 取取0 ， 如如 果果 极极 限限 badxxf)(lim0存存 在在 ， 则则 称称 此此 极极 限限 为为 函函 数数)( xf在在区区间间),ba上上的的广广义义积积分分，记记作作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上除点上除点)(bcac 外连外连续，而在点续，而在点c的邻域内无界的邻域内无界. .如果两个广义积分如果两个广义积分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收

8、敛，则定义都收敛，则定义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分为瑕点，以上积分称为瑕积分.例例5 5 计算广义积分计算广义积分).0(022 axadxa解解,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，

9、当当1 q时时发发散散. , 1)1( q 101dxxq 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq证证因因此此当当1 q时时广广义义积积分分收收敛敛，其其值值为为q 11；当当1 q时时广广义义积积分分发发散散.例例7 7 计算广义积分计算广义积分.ln21 xxdx解解 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点解解 3032)1(xdx 10313

10、2)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 例例8 8 计算广义积分计算广义积分注意注意 广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。检查是否有瑕点。 广义积分中，广义积分中，N-L公式，换元积分公公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入式、分部积分公式仍然成立，

11、不过代入上、下限时代入的是极限值。上、下限时代入的是极限值。如如 无穷限积分无穷限积分 aaFFdxxf)()()( bFbFdxxf)()()( aavduauvudv)(再如再如 瑕积分瑕积分)0()()( aFbFdxxfba)()0()(aFbFdxxfba bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()()0()0()(aFcFcFbF babavduabuvudv0)( 02)1)(1(1无无关关并并求求其其值值与与 dxxxI 例例9。证明。证明证证dxxxI 02)1)(1 (1 dxxx 1012)1)(1 (1 21II dxxxI 1021)1)(1(1 )1(tx

12、令dtttt 12)1)(1( 21III dxxxdxxxx 1212)1)(1(1)1)(1( 41112 dxx无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)(无界函数的广义积分瑕积分）无界函数的广义积分瑕积分） badxxf)(（注意：不能忽略内部的瑕点）（注意：不能忽略内部的瑕点） cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx三、小结三、小结积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点,

13、101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x 思考题解答思考题解答练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；5 5、 广义积分广义积分 1021xxdx_；6 6、 广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义

14、积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)1(xdx；5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为为何何值值时时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为为何何值值时时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .练习题答案练习题答案一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5