第三节 雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法

1、精选ppt1第三节第三节 向量范数和矩阵范数向量范数和矩阵范数一、一、 向量范数向量范数非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：x0,nxR 且且x00 x ,nxxxRR ,nxyxyx yR 则称则称 为为 中向量中向量 的的范数范数。xnRx非负实值非负实值函数函数存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足x定义：定义：设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对nRRnxR ( )f x精选ppt2 常用的几种常用的几种向量范数：向量范数： 设设12(,)Tnxx xx 1- -范数：范数： 2- -范数：范数： - -范数：范数： 11niixx 12

2、221()( , )niixxx x 1maxii nxx 上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P- -范数范数111()nppipixxp 精选ppt3二、二、 矩阵范数矩阵范数非负性：非负性：齐次性：齐次性：三角不等性：三角不等性：A0,n nAR 且且A00A ,n nAAARR ,n nABABA BR ,n nABA BA BR 定义：定义：设设 是是 的一个映射，若对的一个映射，若对n nRR ( )f An nAR ，存在唯一实数存在唯一实数 与之对应，且满足与之对应，且满足A则称则称 为为 中矩阵中矩阵 的的范数范数。n nR AA精选ppt4列范数：列范数：111max

3、nijj niAa 记记()ijn nAa 行范数：行范数：11maxniji njAa 谱范数：谱范数：12A 其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值1 TA A谱半径谱半径1()maxii nA 12()TA A 常用的几种常用的几种矩阵矩阵范数：范数：精选ppt5 第第四节四节 解解线性方程组的迭代法线性方程组的迭代法求解求解,n nAxb AR 0det()A 迭代法迭代法从一个从一个初始向量初始向量出发出发, ,按照一定的按照一定的递推递推格式格式, ,产生逼近方程组的产生逼近方程组的近似解序列近似解序列。迭代法迭代法是一种是一种逐次逼近逐次逼近的方法的方法, ,与直接法比较与直接

4、法比较, , 具有具有: : 程序简单程序简单, ,存储量小的存储量小的优点。优点。特别适用于求解系数特别适用于求解系数矩阵为矩阵为大型稀疏矩阵大型稀疏矩阵 的方程组的方程组。思思路路与与不动点迭代相似不动点迭代相似 ， 将方程组将方程组 等价改写等价改写成成 形式，从而建立形式，从而建立迭代格式迭代格式A xb xBxf 1()( )kkxBxf ，从从 出发，生成迭代序列出发，生成迭代序列0( )x( )kx精选ppt6一一、雅克比雅克比迭代法迭代法设方程组设方程组10;(),();det()ijn ninAxb AabbA 将系数矩阵将系数矩阵分裂分裂为为：ADLU其中其中1122(,)

5、nnDdiag aaa 0L 21a31a1na0032a2na1,n na 000U 12a13a1na0023a2na1,nna 00精选ppt7如果如果01 2(, , )iiain原方程组可化为原方程组可化为11()xDL U xD b Bxf其中其中11();BDLUfD b 相应的迭代格式相应的迭代格式10 1 2()( );, , ,kkxBxf k 上述方法称为上述方法称为雅克比雅克比迭代法，简称迭代法，简称J法或法或简单简单迭代法迭代法分量形式：分量形式：11111 2( )( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 精选ppt8二二、高斯

6、高斯- -塞德尔塞德尔迭代法迭代法高斯高斯- -塞德尔塞德尔迭代法是迭代法是雅克比雅克比迭代法的一种改进迭代法的一种改进。在在雅克比雅克比迭代公式中，计算迭代公式中，计算 时，利用已经算时，利用已经算1()kix 高斯高斯- -塞德尔塞德尔迭代法迭代法的分量形式：的分量形式：111111 2()( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 111121()()(),kkkixxx 出来的出来的新的新的 值，从而得到值，从而得到 高斯高斯- -塞德尔塞德尔迭代法。迭代法。精选ppt9例例1 1：利用利用雅克比雅克比和和高斯高斯- -塞德尔塞德尔迭代法求解方程组迭代法求解方程组10311010 21331x2x3x 145 14解：解：123114310( )( )()()kkkxxx 113252310( )( )()()()kkkxxx 112314310( )( )()()kkkxxx 雅克比雅克比迭代格式迭代格式精选ppt10123114310( )( )()()kkkxxx 1113252310()( )()()()kkkxxx 11112314310()()()()kkkxxx 高斯高斯- -塞德尔塞德尔迭代格式迭代格式计算结果计算结果000()T